книги / Функциональный анализ

Если /?о(^)>0 и выполнены условия 1) предыдущего пунк­ та, причем аи а2у ..., an-i положительны, то в интервале (— оо, ап) может находиться только дискретная часть спектра.

в теории дифференциальных операторов. Особое значение он имеет в задачах квантовой механики. Для дифференциальных операторов квантовой механики он изложен в гл. IX.

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

6.Разложение по собственным функциям. В регулярном слу­ чае для самосопряженного расширения А существует полная

"ортонормированная система собственных функций, по которой разлагается в ряд Фурье любая функция из L2(a,b). Если эта функция принадлежит области определения, самосопряженного расширения, т. е. является достаточно гладкой и удовлетворяет соответствующим граничным условиям, то ее ряд Фурье схо­ дится равномерно.

В сингулярном случае у самосопряженного расширения мо­ жет появиться непрерывный спектр и вместо разложения в ряды появляются разложения в интегралы, которые также называются разложениями по собственным функциям диффе­ ренциального оператора 1(у).

Ло, порожденного выражением 1(у), существует матричная функция

а {X) — (aJk (X)) (/, k = 1, 2, ... , 2п)

такая, что для любой функции f ( x ) ^ L 2(a,b) справедлива фор­ мула

242 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

где интеграл сходится в L 2, da-

Имеет место аналог равенства Парсеваля:

а—оо /, k=\

Кратность спектра оператора А не превосходит 2п. Ядро резольвенты оператора А задается формулой

где интеграл сходится в L^{a,b) по каждой из переменных х

иs при фиксированной другой.

Вслучае, когда выражение 1(у) регулярно на одном из концов интервала (а, £>), например на конце а, и соответствую­ щий оператор А0 имеет индекс дефекта п, предыдущие разло­

жения упрощаются. Всякое самосопряженное расширение в этом случае описывается с помощью системы из п гранич­ ных условий на конце а. В разложениях можно брать тогда не все решения и(х, Я) уравнения 1(у) = Ху, а только те, которые удовлетворяют на конце а соответствующим граничным усло­ виям. Из них линейно независимыми будут п решений. Мат­ рица распределения а (Я) будет порядка п. Так, для выражения второго порядка

ние уравнения 1{у) = Ху, удовлетворяющее граничному условию

{pu'-Qu)x=a = 0.

Вещественный коэффициент 0 соответствует данному самосо­ пряженному расширению.

Функция а(Я) может быть найдена следующим образом: пусть и\(х,Х) и u2(xtX)—два решения уравнения 1(у) = Ху та­ кие, что

их(а, Х) = 1, р (а) и\ (а, X) = О,

и2(а, X) = 0, р(а)и2(а, X) = — 1.

Так как индекс дефекта равен единице, то при каждом не­ вещественном X лишь одна комбинация вида и\(х,Х) + М {X)и2(х, X) принадлежит L2(a, b). По функции М(Х) на­

ходится функция а (Я):

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

7.Примеры.

1.Пусть дифференциальное выражение

Нл) = — У"

рассматривается на интервале (0, оо). Линейно независимыми решениями уравнения —у" = iy будут

чами в спектральной теории дифференциальных операторов^ называются задачи о восстановлении дифференциального вы­ ражения данного порядка по тем или иным спектральным характеристикам самосопряженного оператора, порожденного этим выражением. Здесь рассматривается один вариант поста­ новки обратной задачи.

Пусть для некоторого дифференциального выражения вто­ рого порядка

Цу) = — y " + q { x ) y

известна спектральная функция сг(Я), соответствующая некото­ рому самосопряженному расширению А оператора Л0, порож­ денного выражением 1(у) на (0, оо).

Требуется найти коэффициент q(x) в выражении 1(у) и вид граничного условия, соответствующего оператору А.

Для этой задачи имеется несколько методов решения, один

который в силу формулы Грина будет симметричным. Опера­ тор L'Q является положительно определенным. Замыкание L0 оператора L'o будет также симметричным оператором, кото­ рый называется минимальным оператором, порожденным вы­ ражением 1и.

Область определения минимального оператора состоит из

быть получен как замыкание оператора L', определенного формулой IJv = lv на множестве всех бесконечно дифференци­ руемых в G + Г функций v(x).

Индекс дефекта оператора L0 равен оо. Дефектное подпро­ странство U, ортогональное к области значений оператора L0, состоит из всех решений уравнения Lu = 0. Эти решения на­ зываются L-гармоническими функциями. Гладкая L-гармони- ческая функция и определяет на границе Г некоторую функцию Ф, значения которой совпадают с граничными значениями функ­

В связи со сложной природой граничных значений L-гармо­ нических функций области определения самосопряженных рас­ ширений оператора L0, вообще говоря, не допускают описания с помощью граничных условий в классической форме. Эти об­ ласти описаны с помощью граничных операторов, не допускаю­ щих в общем случае представления в рамках математического анализа. Здесь приводится лишь описание самосопряженных расширений, отвечающих тремосновным краевым задачам ма­ тематической физики.

Ли т е р а т у р а : [3], [43], [157], [170].

3.Самосопряженные расширения, отвечающие основным краевым задачам. Жесткое расширение L^ оператора L0 опре­

деляется формулой L^u = lu на множестве Wl{G) всех функ­ ций из Wt{G),- обращающихся в нуль на границе Г.

Областью определения корня квадратного Lj/2 и з жесткого' расширения L^ является множество W\ (G), состоящее из всех функций из W2(G)f обращающихся в нуль на Г.

Таким образом, D (L^) и D(Ljl2) характеризуются одним и тем же граничным условием, но разными условиями гладкости.

Решения уравнения L^u = f называются решениями первой однородной краевой задачи для уравнения 1и = /. Для этих решений справедливо важное неравенство

Для области определения сопряженного к L0 оператора L справедливо представление

D{L) = D{Lo)®L»'U®U

(см. § 4, п. 3). Функции из D(Lo) и L^lU принадлежат Wl(G), следовательно, «негладкость» функций из области определения

совпадает с пространством W\(G). Таким образом, здесь при переходе от D(L°) к D((L°),/?) граничное условие снимается.

Решения уравнения L°u — f называются решениями второй однородной краевой задачи для уравнения lu = f.

Для этих решений также справедливо неравенство

более общо, измерима, то картина значительно усложняется. Область опре­ деления соответствующего самосопряженного расширения может уже содер­

смысле, но и в смысле Соболева. В связи с этим оператор дифференцирова­ ния по конормали расширяется. На функциях из W\ (G) он определяется

с помощью обычных обобщенных производных. Дополнительно он опреде­ ляется на некотором множестве «не гладких» L-гармонических функций.

Пусть <p(s)— граничное значение L-гармонической функции и(х) mW\(G)\

Оператор Р\ определенный на таких функциях <р, является симметриче­ ским и положительным в 12(Г). Его индекс дефекта равен нулю. Замыка­ ние Р оператора Р' является положительным самосопряженным оператором. Каждой функции <p ^ D ( P ) соответствует L-гармоническая функция у-1ф. Совокупность Up(G) всех этих L-гармонических функций уже содержит все функции, на которых нужно доопределить оператор дифференцирования по

конормали. Если w = v + и, где v е w\ (G), а u ^ U P(G), то полагают

Dvw= 4 v + р ^ ■

Оказывается, что оператор L, рассматриваемый на всех тех функциях из области определения оператора DV для которых