книги / Функциональный анализ

|det2( /- z 4 ) |< e x p ( V * |z |8M |Q .

ках иметь устранимые особенности. Весьма важным является

неравенство Карлемана

справедливое во всех регулярных точках h оператора А.

В частности, для вольтеррова оператора Гильберта — Шмидта

Ли т е р а т у р а : [20], [24].

8.Проекционные операторы. Самосопряженными операто­ рами, имеющими наиболее простую структуру, являются про­

екционные операторы. Пусть L — подпространство простран­ ства Я. Оператором проектирования на подпространство L или, короче, проекционным оператором PL называется оператор, ста­ вящий в соответствие каждому элементу х его проекцию у на подпространство L:

Для элемента X G L, по определению, PLx = х.

Проекционный оператор самосопряжен, его квадрат равен ему самому, и следовательно, он положителен. Наоборот, если линейный ограниченный оператор Р обладает свойствами Р* = = Р и Р2 = Р, то он является оператором проектирования про­ странства Я на свою область значений.

Норма проекционного оператора равна 1.

Если L конечномерно, то PL конечномерен и, следовательно, вполне непрерывен. Если L бесконечномерно, то Рь не вполне непрерывен.

9. Алгебры операторов. Алгебра всех ограниченных операто­ ров, действующих в гильбертовом пространстве Я, обозна­ чается через 3?{Н). Пусть 99?—некоторое подмножество 3?(Н). Коммутантом 99?' множества 99? называется совокуп­ ность всех операторов, коммутирующих с любым оператором из 99£. Коммутант содержит единичный оператор и является подалгеброй алгебры 3? (Я). Коммутант 90?" коммутанта 99£' содержит исходное множество операторов 99?. Оказывается, что

щему: алгеброй Неймана называется *-алгебра с единицей, замкнутая в слабой операторной топологии.

Если множество 99? инвариантно относительно операции •*, то 99?' — алгебра Неймана, а 991" — наименьшая алгебра Ней­ мана содержащая 99?. Пусть для любого 99? через 99?* обозна­ чена совокупность всех сопряженных операторов к операторам

состоит из операторов, пропорциональных единичному. Фак­ торы представляют собою наиболее простые алгебры Неймана. Если 51 — фактор, то 51 U 51' порождает 3?{Н).

Если самосопряженный оператор А входит в алгебру Ней­ мана 51, то любая непрерывная функция /(А )е 51. Спектраль­ ная функция Е% также принадлежит 51. Для того чтобы опе­

Л и т е р а т у р а : [44], [63].

10. Операторы во внешнем произведении гильбертовых про­ странств. Для гильбертова пространства Я можно построить

пространство HW (см. гл. I, § 1, п. 4), элементы которого яв­

и доопределив линейно на всем пространстве. Полученное про­ странство .в бесконечномерном случае будет предгильбертовым,

204 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

его пополнение будет гильбертовым пространством Шк\ назы­ ваемым гильбертовым внешним произведением k экземпляров пространства Н.

Всякий линейный ограниченный оператор А в пространстве

Н порождает линейный оператор AW в пространстве #(*), опре­ деленный на одночленах формулой

А(х1А х2 А ... Ax k) = Ах{ Д Ах2 А ... А Ахк

и распространенный на остальные элементы по линейности и

где xu ... , xh — произвольный набор элементов из Я, а опре­ делители, стоящие слева и справа, являются определителями Грама.

Ли т е р а т у р а : [3], [20].

§3. Спектральное разложение самосопряженных операторов

1.Операции над самосопряженными операторами. Сумма двух ограниченных самосопряженных операторов есть снова самосопряженный оператор. Более того, любая линейная ком­ бинация самосопряженных операторов с вещественными коэф­

фициентами является самосопряженным оператором. Сумма положительных операторов ecib также положительный опе­ ратор.

Произведение ограниченных самосопряженных операторов будет самосопряженным в том и только том случае, когда эти операторы перестановочны. Если при этом сомножители поло­ жительны, то и произведение положительно.

Совокупность самосопряженных операторов замкнута отно­ сительно слабой сходимости, т. е. предел слабо сходящейся (см. гл. I, § 5, п. 3) последовательности самосопряженных опе­ раторов есть самосопряженный оператор.

В совокупности самосопряженных операторов можно ввести соотношение порядка, полагая А ^ В, если А — В — положи­ тельный оператор. При этом неравенства между операторами обладают основными свойствами обычных неравенств между вещественными числами. Однако, если для двух разных веще­

ственных чисел одно всегда больше другого, то этого в общем случае нельзя сказать о двух различных самосопряженных опе­ раторах, так как возможен случай, когда форма ((Л — В)х,х) для одних х будет больше, а для других х меньше нуля. В этом случае операторы А и В называются несравнимыми. Так как существуют и сравнимые и несравнимые самосопряженные опе­ раторы, то говорят, что в множестве всех самосопряженных операторов имеется частичное упорядочение или полуупорядо­ чение. Наличие полуупорядочения позволяет ввести в множе­ стве самосопряженных операторов обычным путем ряд поня­ тий, как, например, ограниченные сверху или снизу множества операторов, нижние и верхние грани ограниченного множества операторов, монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности операторов и др.

Важным свойством ограниченных последовательностей са­ мосопряженных операторов является следующее:

Если {Ап} — монотонно возрастающая последовательность самосопряженных операторов, ограниченная сверху самосопря­ женным оператором В, то последовательность {Ап} сильно схо­ дится к самосопряженному оператору А ^ В и

A = sup Ап.

п

Каждому самосопряженному оператору А соответствует полуупорядоченная алгебра К л всех ограниченных самосопря­ женных операторов, перестановочных с А. Алгебра К л , вообще говоря, некоммутативна. Эта алгебра содержит сам оператор А и любой многочлен

Р (Л) = а0+ а\А + CL2A2+ ... + ипАп

от Л с вещественными коэффициентами. Соответствие много­ членов от оператора многочленам от вещественной перехменной линейно и мультипликативно, т. е. если

Р (/) = aQ (/) + РУ? (/),

то

P(A) = aQ(A) + №(A),

и если

P(t) = Q(t)R(t),

то

P(A) = Q(A)R(A).

Более глубоким фактом является положительность этого

Из положительности соответствия следует, что если монотонно возрастающая последовательность многочленов {Рп(/)}, ограни­

также монотонно возрастает, ограничена оператором KI и, сле­

довательно, имеет сильный предел В = limРп(А). Этот оператор

п

естественно обозначить через F(A) и назвать функцией от опе­ ратора А. Оператор F (А) принадлежит Ка и, более того, пере­ становочен с любым оператором из Ка -

В частности, для положительного оператора А можно ввести функцию В — УА . Оператор В положителен, и В2 = А_Он од­

нозначно определяется этими свойствами. Определить У А можно как предел последовательности многочленов ВПу определяемых из рекуррентного соотношения

В0= 0,

В , „ - В , + Ч,(А-В>).

Для любого самосопряженного оператора А оператор А2 по­ ложителен, поэтому естественно обозначить У А2 = \ А |.

Л и т е р а т у р а : [1], [39], [45], [50], [52].

2. Разложение единицы, спектральная функция. Важнейшим классом функций от операторов являются функции, соответ­ ствующие характеристическим функциям интервалов веществен­ ной оси. Так как квадрат характеристической функции равен ей самой, то и квадрат соответствующего самосопряженного опе­ ратора будет равен ему самому, т. е. оператор будет проекцион­ ным. Через Ех обозначают оператор, соответствующий характе­

Как было описано выше, всякому ограниченному самосопря­ женному оператору отвечает разложение единицы Ех- Операторфункция Е%при этом называется спектральной функцией опера­ тора А. По спектральной функции строится спектральная мера:

дающий скачок спектральной функции в этой точке. Спектраль­ ная мера обладает замечательным свойством ортогональности:

208ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

3.Функции от самосопряженного оператора. Спектральное представление оператора позволяет ввести более широкий класс функций от оператора, включающий ранее определенные функ­ ции. Полагают

м+о

П А ) - S

т

если последний интеграл существует. В частности, он существует для любой непрерывной функции. Соответствие между функ­ циями вещественной переменной и функциями от оператора об­ ладает следующими свойствами:

Л и т е р а т у р а : [1], [24], [39], [45], [50], [52].

4. Неограниченные самосопряженные операторы. Если А —

линейный неограниченный оператор с всюду плотной в Н об­ ластью определения D (Л), то его сопряженный оператор А* будет определен на тех элементах у, для которых функционал (Ах, у) является ограниченным (см. гл. Ill, § 1, п. 4). В гиль­ бертовом пространстве это означает, что

но и совпадение областей определения D(A) и D(A*) операто­ ров А и А*. Таким образом, при проверке самосопряженности оператора необходимо для каждого элемента у, для которого функционал (Ах, у) ограничен, показать, что y ^ D ( A ) , а затем проверить справедливость предыдущего тождества.

Неограниченный самосопряженный оператор всегда замкнут. Для неограниченных самосопряженных операторов остаются верными с некоторыми видоизменениями основные результаты

спектральной теории, изложенной выше для ограниченных са­ мосопряженных операторов, в частности, верна спектральная теорема. А именно: пусть А — неограниченный самосопряженный оператор с областью определения D(A). Тогда этот оператор по­

4) ВЕк = Еф, если В — любой ограниченный оператор, пе­ рестановочный с А. При этом ограниченный оператор В назы­ вается перестановочным (или коммутирующим) с неограничен­ ным оператором А, если из x ^ D ( A ) следует B x ^ D ( A ) и АВх — ВАх.

Элемент х принадлежит D(A) тогда и только тогда, когда

оо

J I2d (Ехх, х) < оо.

Для этих х

Интеграл J XdEKx понимают как предел собственного инте-

—оо

аN

Ь—> оо.

Самосопряженный оператор А называется полуограниченным снизу, если (Ах, х) ^ а(х, х) при всех x<=D(A). В этом случае

оо

А х — j hdExx.

а

Аналогично определяется полуограниченный сверху оператор. Если функция /(Я) конечна и измерима по отношению ко всем мерам, порожденным функциями а (Я) = (E%z,z) (г<=#), то можно определить оператор f(A). Этот оператор, вообще го­ воря, не ограничен. Его областью определения D(f(A)) служит

совокупность элементов х, для которых

оо

j \f(K)\2d{Exx, х) < ОО.

Множество D(f(A)) плотно в //, оператор f(A) задается фор­ мулой

—оо

иявляется самосопряженным (для вещественной функции /(Я)).

является резольвента. Если Я0 не принадлежит спектру операто­

В случае сепарабельного гильбертова пространства совокуп­ ность всех функций от самосопряженного оператора А допу­ скает «внешнее» описание. Если через К а обозначить совокуп­ ность всех линейных ограниченных операторов, коммутирую­ щих с Л, то множество функций от Л совпадает с совокупностью всех замкнутых операторов, коммутирующих с любым операто­ ром из К а .

Л и т е р а т у р а : [1], [24], [39], [45], [50], [52].

5. Спектр самосопряженного оператора. Спектр самосопря­ женного оператора Л представляет собой замкнутое множество вещественной оси, состоящее из всех точек роста функции Е%. Скачки функции Е%соответствуют собственным числам операто­ ра Л; оператор Е\+0 — £\_0 является оператором проектирования на собственное подпространство, отвечающее собственному чис­ лу Я. Собственные числа образуют точечный спектр оператора Л.

, Остаточный и точечный спектры самосопряженного операто­ ра (см. гл. III, § 2, п. 3) совпадают.