книги / Функциональный анализ

Свойство Рисса — Фишера является следствием свойства Фату; обратное неверно. Предидеальное пространство Е называется совершенным, если норма в нем обладает свойством Фату. Каж­ дое совершенное пространство полно.

Пусть Е — предидеальное пространство. Через Е обозна­ чается пространство всех измеримых на й функций, для кото­ рых имеет смысл и конечна норма

II* Ilf = inf lim|| хп ||£,

где inf берется по всем последовательностям неотрицательных функций хп из £, сходящимся почти всюду к \х\. Пространство Е является минимальным совершенным пространством, содер­ жащим Е и таким, что

Говорят, что функция х из Е имеет абсолютно непрерывную норму, если

lim 1ь„*|| = 0.

где %D — характеристическая функция множества D, a Dn — лю­ бая убывающая последовательность измеримых множеств с пу­ стым пересечением. Через Е° обозначается совокупность всех функций из £ с абсолютно непрерывной нормой. Линейное мно­ гообразие Е° может содержать только нуль* (например, в про­ странстве Loo(Q)).

Если Е° = £, то пространство называется правильным. При­ мерами правильных пространств служат пространства 1р(й), пространства Лоренца, пространства Орлича, Л/'-функция кото­ рых удовлетворяет Д2-условию. Наконец, Е° может быть пра­ вильным подпространством £, содержащим ненулевые функции (например, в пространстве Марцинкевича или пространстве Ор­ лича без Д2-условия). Многообразие Е° является предидеальным пространством (идеальным, если Е идеально). Во многих слу­ чаях Е° не имеет замкнутого дополнения в Е (например, в про­ странствах Орлича без Д2-условия).

Правильные пространства обладают рядом интересных свойств. Так, для сходимости последовательности функций хт из правильного пространства Е к функции х необходимо и доста­ точно, чтобы последовательность хт сходилась к х по мере и чтобы нормы функций хт были равностепенно абсолютно непре­ рывными. Последнее означает, что

lim suplxo.*,J = 0

Пространство Е1, двойственное к симметричному простран­ ству £, также симметрично; его фундаментальная функция сов­ падает с Я/ф.еМ - Среди всех симметричных пространств с за­ данной фундаментальной функцией ф(Я) наиболее узким яв­ ляется пространство Лоренца Аф, а наиболее широким Мф* (ф*(Я) =А/ф(Я)); при этом

является оператором проектирования, который принято назы­ вать проектором Хаара. Каждый проектор Хаара действует в любом симметричном пространстве Е и имеет норму 1. Пусть

соп — последовательность разбиений со„ = {й{\ \ ... , D/"}} множе­

ства £2, причем шах mes £2(л) —►0. Тогда последовательность соот- 1<t<in

ветствующих этим разбиениям проекторов Хаара Р^п сильно

сходится к единичному оператору в каждом правильном сим­ метричном пространстве Е. Разбиения соп можно выбрать так, что последовательность Р&п будет сильно сходиться к единич­

ному оператору на наперед заданном произвольном сепарабель­ ном подпространстве пространства Loo. Если пространство Е не является правильным и Е Ф Loo, то при х е £ \ £ ° последова­ тельность функций Р®пх некомпактна.

При изучении симметричных пространств особую роль играют пространства Лоренца. Если норма симметричного пространства обладает свойством Фату (совершенное пространство), то она может быть представлена как supremum некоторого множества норм Лоренца. В пространствах Лоренца описаны все крайние точки единичных шаров. Например, если фундаментальная функ­ ция ф(А) строго вогнута, то крайними точками единичного шара являются все функции с нормой 1, модули которых принимают лишь одно ненулевое значение.

Л и т е р а т у р а : [101], [109].

Это неравенство остается справедливым, если производная суще­ ствует на отрезке [а, р] всюду, за исключением счетного мно­ жества его точек.

к x'(to). Другими словами это означает, что при всяком f ^ E ' скалярная функция f{x(t)) дифференцируема в точке to и [f (x(to))]' = f (x'(f0)). Если функция x(t) имеет в каждой точке отрезка [а, р] слабую производную, то сохраняется написанная выше оценка нормы приращения функции. В частности, если слабая производная равна нулю во всех точках отрезка, то функция постоянна. Аналогично определяются производные лю­ бого порядка от векторнозначных функций.

Ли т е р а т у р а : [35], [39], [58].

2.Интеграл Римана. Если функция x(t) со значениями в ба­ наховом пространстве Е непрерывна на отрезке [а, р], то для нее можно определить интеграл Римана как предел интегральных

сумм:

Здесь предел понимается в смысле сходимости по норме про­ странства £, когда диаметр разбиения а = U < h < ... < tN = = р стремится к нулю. Предел существует и не зависит от спо­ соба разбиения отрезка на части.

Справедлива оценка

J x(t)dt < | \\x{t)\\dt

и т е о р е м а о с р е д н е м

Р

j x(t) dt = ($— а)х,

а ■

где х — элемент замкнутой выпуклой оболочки множества зна­ чений функции x(t) на отрезке [а, р].

Функция

*

y (t) = J X (т) dr

а

является непрерывно дифференцируемой и у' {t)—x{t). Для лю­ бой непрерывно дифференцируемой функции y(t) справедлива

98ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

фо р м у л а Н ь ю т о н а — Л е й б н и ц а

Jу' (t) dt = у (Р) — у (а).

а

Так же, как и в классическом анализе, вводится понятие не­ собственного интеграла. Например, если функция непрерывна на [а, р] при любом р > а, то под ее интегралом на [а, оо] по­ нимают

ОО3

Если предел по норме пространства Е существует, то гово­ рят, что интеграл сходится. Интеграл абсолютно сходится, если

оо

J||*(*)|М*< оо.

а

Из абсолютной сходимости интеграла следует обычная схо­

димость.

.Можно рассмотреть интегралы, зависящие от параметра. На них переносятся классические теоремы о непрерывной зависи­ мости от параметра, об интегрировании и дифференцировании по параметру.

Ли т е р а т у р а : [39], [58].

3.Аналитические функции. Пусть G — область комплексной

плоскости. Рассматриваются функции х(г), определенные в G и принимающие значения в комплексном банаховом простран­

G, если она имеет в каждой точке этой области производную.

Если х{г) аналитична в G, то при любом линейном функцио­ нале f ^ E ' скалярная функция f(x(z)) аналитична в G: Спра­ ведливо и обратное утверждение: из слабой аналитичности сле­ дует сильная. Эти обстоятельства позволяют получать свойства аналитических функций со значениями в £ из свойств скалярных

аналитических функций.

Аналитическая функция в окрестности каждой точки z0е G разлагается в ряд Тейлора

оо

х (z) = 2о (in (z — го)".

где ап *—элементы пространства £, равные (1//г!)л:(гг>(^о)- Обрат­ но, всякий ряд такого вида определяет аналитическую функцию внутри круга сходимости, радиус г которого находится из фор ­ мулы Коши — А д а м а р а

Интеграл от непрерывной функции по спрямляемой жордановой кривой определяется аналогично тому, как определялся ин­ теграл Римана в предыдущем пункте. Для аналитической в об­ ласти G функции остается справедливой интегральная теорема Коши и вытекающая из нее и н т е г р а л ь н а я ф о р м у л а К о ш и

где Г — спрямляема^ жорданова кривая, ограничивающая об­

ласть G1 такую, что Gi с: G и z <= G\.

Для производных функции х(г) справедливы формулы

*"•’<*>- i S r l

п= —оо

Вчастности, такое разложение имеет место в окрестности изолированной особой точки, что дает возможность провести обычную классификацию таких точек (существенно особая точ­ ка, полюс, устранимая особенность).

Функция х(г) называется целой, если она аналитична во всей

сюда вытекает, что функция |U(z)|| не может достигать макси­ мума внутри области G.

Л и т е р а т у р а : [27], [58].

4.Интеграл Бохнера. Суммируемые функции. Наиболее упо­

100 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Бохнера. Здесь излагается конструкция этого интеграла для функций, заданных на отрезке; однако она почти без измене­ ний переносится на функции, определенные на пространствах с мерой.

Функция, заданная на отрезке [а, р], со значениями в бана­ ховом пространстве £, называется простой, если она принимает лишь конечное число значений Xj на измеримых множествах Д,-:

х(1) = х} (te=A}), UAj = [а, р].

(При определении простой функции на множестве бесконечной меры требуется, чтобы mes(Aj)< оо и чтобы x(t) = 0 на допол­ нении к UAj.)

Функция x(t) называется сильно измеримой, если существует последовательность простых функций xn(t), сильно сходящаяся почти всюду к функции x(t). Функция x(t) называется слабо измеримой, если для всякого / е Е; скалярная функция f(x(t)) измерима на [а, р]. Для сепарабельного пространства Е понятия слабой и сильной измеримости совпадают. В общем случае для сильной измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы она была слабо измеримой и чтобы все ее значения, за исключе­ нием, быть может, совокупности значений на множестве меры нуль, принадлежали некоторому сепарабельному подпростран­ ству пространства Е. Если функция x(t) сильно измерима, то ее норма ||x(f)|| является измеримой скалярной функцией.

Для простой функции x(t) интеграл определяется естествен­ ным образом:

а

Функция x(t) называется суммируемой (или интегрируемой по Бохнеру) на отрезке [ос, р], если существует сходящаяся в ней почти всюду последовательность простых функций xn{t) такая, что

а

При этом интегралом от суммируемой функции x(t) назы­ вается

аа

Предел понимается в смысле сходимости по норме.