книги / Функциональный анализ

лиза, так и монографии, посвященные специальным его вопро­

сам.

Настоящее издание отличается от первого большим объемом материала и его большей специализацией. Введены две новые главы и содержание оставшихся глав существенно переработано и дополнено. В ряде мест изложение доведено до уровня совре­ менных исследований. Естественно, что при этом стали больше сказываться вкусы авторов, так как изложение всех вопросов функционального анализа на современном уровне является не­

видов, А. Г. К остю ч ен ко, С. Г. К рейн, В. И. С о б о л е в ; гл. V — С. Г. К р е й н; гл. VI — П. П. 3 а б р е й к о, М. А. К р а с-

ц е н к о; IX — М. Ш. Бирма н, Л. Д. Ф а д д е е в ; X.— Н. Я. В и- л е н к и н .

Читатель, знакомый с содержанием первого издания, заме­ тит, что во втором больше внимания уделено линейным тополо­ гическим пространствам и геометрии банаховых пространств. Детально рассмотрены важнейшие классы функциональных про­ странств. Достаточно полно изложена теория линейных уравне­ ний, спектральная теория и операторное исчисление в банахо­ вом пространстве. Приведены основные факты эргодической теории. Исследованы дифференциальные и интегральные опера­ торы.

Шире развернута теория вполне непрерывных несамосопря­ женных операторов в гильбертовом пространстве, изложена тео­ рия расширений симметрических операторов, теория возмуще­ ний. Включен новый раздел об операторах в пространствах с индефинитной метрикой.

Заново написана глава о коммутативных банаховых алгеб­ рах, при этом описано современное состояние почти всех вопро­ сов из этой области (пожалуй, не охваченной осталась лишь тео­ рия однородных алгебр).

Много результатов, полученных в последнее время, включено в главу об операторах в пространстве с конусом.

Значительно переработано содержание главы по квантовой механике. Здесь больше внимания уделено спектральной теории операторов квантовой механики.

Авторам кажется, что расширение и осовременивание мате­ риала справочника не слишком испортило стиль его изложения.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Читатель, который интересуется лишь основами функциональ­ ного анализа, найдет их изложенными достаточно популярно.

По-прежнему в справочник не вошли такие разделы как тео­ рия представлений групп, теория некоммутативных операторных алгебр, теория банаховых многообразий, приближенные методы решения операторных уравнений и дрГЛишь частично затронута общая теория полуупорядоченных пространств.

При пользовании справочником следует иметь в виду, что в нем отсутствуют леммы и теоремы и нет занумерованных фор­ мул. Элементарными частицами изложенного материаяа следует считать пункты, отмеченные в оглавлении. Для получения справ­ ки рекомендуется разыскать пункт по оглавлению, либо по ал­ фавитному указателю и прочитать весь пункт. В нем обычно содержится связное и относительно замкнутое изложение цикла вопросов.

Идя навстречу критике, авторы изменили методику составле­ ния списка литературы. Все утверждения, имеющиеся в книге, можно найти в учебной и монографической литературе или в спе­ циальных статьях, при этом ссылки на соответствующую литера­ туру, помещенную в библиографии, даны в конце каждого пунк­ та. Если результаты какой-либо статьи уже помещены в учебнике или монографии, то в список литературы она не вносится, по­ этому литературные ссылки ни в какой степени не могут служить для выяснения исторических и приоритетных вопросов. Мы при­ носим извинения тем читателям, которых больше всего интере­ суют эти вопросы.

Всем лицам, помогавшим созданию этой книги, мы выражаем глубокую благодарность. Особенно полезной была критика и по­ мощь, которую оказал редактор обоих изданий справочника В. Ф. Гапошкин.

С. Крейн

В случае бесконечного % линейная система Е называется

бесконечномерной.

Пусть {еа} — произвольное множество символов еа. Рассмат­

ривается совокупность символов вида ^ Х аеа, где числа Ха от­ личны от нуля лишь для конечного числа индексов а. Эта сово­ купность становится линейной системой £, если в ней опреде­ лить действия:

двух элементов хи х2 из множества М также принадлежит М. Пусть S — произвольное подмножество элементов из Е. Со­

вокупность всевозможных линейных комбинаций элементов S образует линейное многообразие, называемое линейной оболоч­ кой множества 5.

Линейное многообразие М называется максимальным, если оно не совпадает со всей системой £ и не содержится ни в каком другом линейном многообразии, кроме Е. Линейная оболочка максимального линейного многообразия и любого не принадле­ жащего ему элемента совпадает с Е.

Если S и Т — два подмножества линейной системы, то под алгебраической суммой S 4- Т множеств S и Т понимается мно­

всякого линейного многообразия линейной системы Е сущест­ вует алгебраически дополнительное линейное многообразие.

Классом смежности по линейному многообразию М назы­ вается совокупность элементов X = х М, где х — фиксирован­ ный элемент из Е. Два класса смежности либо совпадают, либо не пересекаются. Совокупность классов смежности будет линей­

элементы классов X и У. Аналогично класс XX строится по эле­ менту Хх, где х е X. Эта линейная система называется фактор- системой Е/М линейной системы Е по линейному многообра­ зию М. При переходе к фактор-системе все элементы каждого класса смежности отождествляются и рассматриваются как один новый элемент.

С помощью понятия фактор-системы решается следующая за­ дача: дано произвольное множество символов {еа}. Требуется отождествить эти символы с элементами некоторой линейной системы так, чтобы элементы <Sa удовлетворяли заданной си­ стеме линейных соотношений

ству {еа} строится свободная линейная система Е. В ней рас­ сматривается линейное многообразие М всех линейных комби­

ветствие еа ‘->е?а решает поставленную задачу. При этом суще­ ственным является то, что между элементами <Sa не будет ника­ ких линейных соотношений, кроме заданных и получающихся из них линейными комбинациями. (Если заданных соотношений «слишком много», то система £4 может состоять только из 0).

Л и т е р а т у р а : [27], [29], [30], [39], [78].

4. Произведения линейных систем. По двум заданным ли­ нейным системам Е и F различными способами можно строить линейную систему G так, чтобы каждой паре элементов i e £ и и е £ отвечал бы некоторый элемент из G, называемый произве­ дением х и и. Самый простой способ состоит в рассмотрении формальных символов хи (х <= Е, и е F) и построении по ним свободной линейной системы G. Однако получающееся при этом произведение хи не обладает никакими алгебраическими свой­ ствами, при построении G алгебраические операции в Е и F никак не учитываются. «Разумные» определения произведения получаются, если потребовать, чтобы эта операция удовлетворяла определенным алгебраическим соотношениям. Этого можно до­ биться, производя факторизацию G по некоторым линейным многообразиям, как это описано в предыдущем пункте.

Оказывается, что каждый класс смежности при этом содержит один и только один элемент хи и поэтому обозначается {х, и). Алгебраические операции над классами определяются равен­ ствами

{Х[у U]} "4" {-^2> ^2} === {^1 ”1“ Х2>^1 ”1“ ^2}» Я {Х(>

Под прямым произведением £ X F линейных систем Е и F и

понимают совокупность пар fcu} ( n e E . u e f ) , для которых алгебраические операции определены указанным выше способом.

Совокупность Е' элементов вида {х, 0} может быть отожде­

мерностей Е и F.

Аналогично определяется прямое произведение конечного числа линейных систем.

2) Т е н з о р н о е п р о и з в е д е н и е . Факторизация G про­ изводится по многообразию Mi, состоящему из всех линейных комбинаций элементов вида

Класс, отвечающий элементу хи, обозначается через х<8>и. Однако теперь такого вида классы не исчерпывают всю сово­

купность классов смежности. Любой класс смежности предста-

k

вим неоднозначно в виде 2 xt ® «г (*г- ^ Е, щ e f , k =

«=1

= 1, 2, ...). Справедливы соотношения

xi + х2) ® щ = Xi ® «1 Ч- х2®щ, Xi ® (ы, + и2) — Xi ® «1 + хх® ы2,

Я (х! ® «,) = (Ях,) ® ил = хх® (Яи,).

Полученная линейная система называется тензорным произ­ ведением E®F линейных систем Е и F.

Аналогично определяется тензорное произведение конечного числа линейных систем.

3) В н е ш н е е п р о и з в е д е н и е . Пусть линейные системы Е п F совпадают. К многообразию Mi, рассмотренному в 2), до­ бавляются еще элементы вида хх ( х е £ ) и их линейные комби­ нации с элементами Mi. Фактор-система по полученному мно­ гообразию М2 называется внешним произведением Е Л Е . Клас­ сы смежности, отвечающие элементам ху, обозначаются х А у,

А х2А .:. А хт (Х{ е £). Произведение Xi А х2 А . • • А хг адди­ тивно и однородно по каждому множителю при фиксированных остальных и равно нулю, когда какие-либо два множителя оди­ наковы. Как следствие получается, что произведение Xi А х2А . ..

минор порядка г матрицы Ягл, составленный из строк этой ма­

5. Выпуклые множества. Под отрезком, определяемым эле­ ментами х и у линейной системы, понимается совокупность всех элементов вида о а + ( 1 — а)у, где O ^ a ^ l . Множество S линейной системы Е называется выпуклым, если оно целиком содержит отрезок, определяемый любыми двумя его элемен­ тами. Простейший пример выпуклого множества представляет собой любое линейное многообразие М а Е .

Для произвольного множества S а Е существует наименьшее

выпуклое множество S, содержащее S, называемое выпуклой оболочкой множества S. Выпуклая оболочка S состоит из

преднормой. Полунорма, построенная по абсолютно выпуклому поглощающему множеству, называется его калибровочной функ­ цией или функционалом Минковского.

ибанаховы пространства

1.Линейное топологическое пространство. Линейное тополо­ гическое пространство является сложной структурой. Порож­ дающие ее структуры — линейная система и топологическое про­ странство. В понятии топологического пространства отражены свойства, связанные с интуитивными понятиями окрестности, предела и непрерывности в обычном евклидовом пространстве.

Влинейном топологическом пространстве обе структуры связа­ ны между собой. Эта связь отражает свойства непрерывности

алгебраических операций над векторами в евклидовом прост­ ранстве.

В функциональном анализе в основном изучаются бесконеч­ номерные линейные топологические пространства, которые на­ ряду со свойствами, общими с евклидовым пространством, имеют ряд качественно новых свойств.

Пусть ZT— линейная система, наделенная отделимой (хаусдорфовой) топологией, задаваемой системами окрестностей {Vx}

пространством, если алгебраические операции непрерывны в то­

В линейном топологическом пространстве задание системы {Vea)} окрестностей нуля полностью определяет топологию этого пространства — любая окрестность К*а) элемента х получается

из некоторой окрестности нуля Vea) путем ее «сдвига» на эле­ мент х:

V(xa) = xA -V ea\(

Всякая окрестность нуля является поглощающим множест­ вом. В ней содержится уравновешенная окрестность нуля.

Простейшим примером линейного топологического простран­ ства является конечномерное евклидово пространство Rn с обыч­ ной топологией.

Д р у г и е п р и м е р ы л и н е й н ы х т о п о л о г и ч е с к и х