книги / Функциональный анализ

ные в п. 5 § 2, являются нерефлексивными банаховыми прост­ ранствами.

Л и т е р а т у р а : [23], [25], [27], [30], [82], [91], [92].

8. Геометрия сферы банахова пространства. Банахово про­ странство Е называется строго нормированным, если для любых его элементов х и у из условий

11*11 = 1М1=1 и Wx + y\\ = 2

следует, что х = у. Геометрически это означает, что единичная сфера не содержит прямолинейных отрезков. Каждая точка единичной сферы является крайней точкой единичного шара.

Строго нормированные пространства обладают следующим

inf ||*о — у || = ||*о — Уо II-

у&М

Элемент уо называется элементом наилуншего приближения к х0, а величина ||*о — Уо\\— наилучшим приближением к х0.

Банахово пространство называется локально равномерно вы­ пуклым, если из условий

II *11 = 11*» 11=1 и II * + *л ||-> 2 при п * оо

следует, что хп-> х.

Если пространство сепарабельно, то оно изоморфно локально равномерно выпуклому. Существует несепарабельное банахово пространство, которое не изоморфно строго нормированному.

Банахово пространство называется равномерно выпуклым,

следует, что || *„ — уп || -* 0.

Всякое равномерно выпуклое банахово пространство рефлек­ сивно. Однако имеются примеры рефлексивных банаховых про­ странств, не являющихся равномерно выпуклыми.

Если пространство Е'" строго нормированно или Е" локаль­ но равномерно выпукло, то Е рефлексивно.

Единичная сфера пространства Е называется гладкой, если норма пространства является функционалом, дифференцируе­ мым по Фреше (гл. VI, § 1, п. 2). Геометрически это означает существование в каждой точке сферы касательной гиперпло­ скости.

Если сопряженное пространство Е' локально равномерно выпукло, то сфера в пространстве Е гладкая. Если сфера сопря­ женного пространства гладкая, то пространство рефлексивно.

Л и т е р а т у р а : [5], [25], [27], [39], [73].

9. Универсальные пространства. Постр^нство G называется

Пространство С(0, 1) универсально в классе сепарабельных пространств. (Отрезок [0, 1] можно заменить любым несчетным компактным метрическим множеством Q.) Этим же свойством универсальности обладает пространство A(D ), хотя оно не изо­ морфно никакому C(Q).

В классе рефлексивных сепарабельных пространств универ­ сального пространства нет.

Можно ввести другое понятие универсального пространства, потребовав, чтобы для любого Е ^ Ш нашлось фактор-простран­ ство пространства G, изометричное Е. В этом смысле универ­ сальным в классе сепарабельных пространств является 1{.

Л и т е р а т у р а : [2], [86], [94], [96].

10. Вложения пространств. Говорят, что линейное топологи­ ческое пространство F вложено в линейное топологическое про­ странство £, если задано взаимно однозначное отображение (оператор вложения) F на линейное многообразие в £, непре­ рывное и сохраняющее алгебраические операции. Если прост­ ранства Е и F нормированы и х х ' (х е £, х' е £ ) , то из условия непрерывности вытекает, что

II*, IIE < C ||* ||f,

где С не зависит от х. Если С — 1, то вложение называется

нормальным.

Часто само пространство F и его образ в Е обозначают од­ ной и той же буквой. Если образ F всюду плотен в £, то гово­ рят, что F плотно вложено в Е. Если каждое ограниченное мно­ жество в F имеет образ с компактным замыканием в £, то' F компактно вложено в Е. Основные факты анализа часто удобно формулировать в терминах вложения пространств. Например, тот факт, что пространство Сб)(0, 1) плотно и компактно вложено (при тождественном отображении) в пространство С(0, 1), озна­ чает, что непрерывно дифференцируемые функции непрерывны, что каждую непрерывную функцию можно равномерно аппро­ ксимировать последовательностью непрерывно дифференцируе­ мых функций и, наконец, что последовательность функций с рав­ номерно ограниченными производными компактна в смысле равномерной сходимости.

Нормированное пространство F ядерно вложено в нормиро­ ванное пространство Е, если существуют последовательности

элементов х'п^ Е и функционалов fn F' такие, что для обра­ за х' любого элемента х F справедливо разложение

X ' ^ h f n(x)x'l,

причем

2 Ш И 1 * Л < ° о .

Ядерное вложение всегда компактно.

Пример . Пространство (0,1) ядерно вложено в С(0, 1). Действительно, для всякой функции x(s)i= № (0, 1) справедливо

разложение

оо

х (s) = х (0) (1 — s) + х (1) s — ^ - ^ 7 b'h sin THIS, l

где bn — коэффициенты разложения в ряд по синусам функции x"{s). Разложение обладает требуемыми свойствами, при этом роль функционалов на пространстве С<2)(0, 1) играют х(0), х(1)

s, —sin я ns.

Если нормированное пространство F вложено в нормирован­ ное пространство £, то сужение на образ F каждого непрерыв­ ного линейного функционала на Е естественно порождает не­ прерывный линейный функционал на F. Если при этом F плотно вложено в £, то функционалы, не равные на £, порождают не одинаковые функционалы на F. Таким образом, пространство Ег взаимно однозначно с сохранением алгебраических операций ото­ бражается в пространство F'. Это отображение непрерывно, т. е. Е' вложено в F'. Может случиться, что Е' не плотно вложено в F'. Если F компактно (ядерно) вложено в Е, то Е' компактно (ядерно) вложено в F'.

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [47].

11. Нормированные пространства, связанные с локально вы­ пуклым пространством. Ядерное пространство. Пусть Е — ло­ кально выпуклое линейное топологическое пространство, U, V — замкнутые абсолютно выпуклые окрестности нуля этого про­ странства, а ри(х) и P v ( x ) — отвечающие им полунормы. Сово­ купность элементов, на которых ри(х) обращается в нуль, обра­ зует линейное многообразие Ми в Е. В фактор-системе Е/Мц можно ввести норму

II* 11=' inf Ри(х).

§5. Линейные операторы

1.Линейные ограниченные операторы. Пусть Е и F — две ли­ нейные системы. Говорят, что на множестве D с= Е задан опера-

тор А со значениями в F (оператор, действующий из D в F),

если каждому элементу х D поставлен в соответствие элемент

у= Ах е F. Множество D называется областью определения

оператора и обозначается через D (Л). Совокупность всех эле­ ментов у из F, представимых в виде у = Ах ( х ^ £ ( Л ) ) , назы­ вается областью значений оператора А и обозначается через

деления оператора служит все пространство С(0, 1), областью значений — совокупность всех неотрицательных функций из С(0, 1). Этот же оператор, рассматриваемый на пространстве L2(0, 1), будет отображать его в совокупность неотрицательных функций из Li(0, 1).

Оператор А называется линейным, если D (Л) — линейное многообразие в £ и для любых хь x2^ D ( A )

А (оС]Х| “f- СХ2Х2) — а{Ах{ “I- (Х2/4-^'2*

График линейного оператора является линейным многообра­ зием в Е X F-

Примерами линейных операторов в любой линейной системе Е служат: единичный или тождественный оператор /, ставящий в соответствие каждому элементу из Е сам этот элемент: /х = х ; оператор подобного преобразования: Ах = %х ( х е £ , Я — фик­ сированное число).

В конечномерном пространстве Еп примерами линейных опе­ раторов служат линейные преобразования пространства. Такие операторы могут быть заданы с помощью квадратной матрицы (aih) : если х = {£ь h> • • • >in} и у = {г]Ь х\2, • • •, ■%}, то

П

Лi ==2 ttik&k*

/г—1

Аналогами таких операторов в функциональных простран­ ствах являются интегральные операторы

1

у (t) = Ах (t) = JК (t, s) х (s) ds,

о

оператор определен на всем пространстве С(0, 1) и отображает его в некоторую часть пространства С(0, 1).

В пространстве С(0, 1) можно рассматривать линейный опе­ ратор дифференцирования: Ax(t) = x'(t), определенный на не­ прерывно дифференцируемых функциях: D (A )= 0^(0, 1). Об­ ластью значений этого оператора будет все пространство С(О, 1). Если этот оператор расширить на совокупность абсолютно не­ прерывных функций, то его областью значений будет простран­ ство Li(0, 1). В теории обобщенных функций оператор диффе­ ренцирования расширяется на все пространство С(0, 1), при этом он отображает пространство С (О, 1) в некоторое простран­ ство обобщенных функций.

Для линейных операторов, отображающих линейную систему Е в линейную систему F, естественным образом вводятся

оператор А определен и непрерывен в каждой точке простран­ ства £, то его называют просто непрерывным оператором из Е в F.

Линейный оператор, определенный в £, называется ограни­ ченным, если

II Ах \\р^ С|| х \\Е,

где С не зависит от выбора ^ е £ .

Для того чтобы линейный оператор, действующий из Е в F, был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был огра­ ниченным.

Наименьшее из чисел С в предыдущем неравенстве называет­ ся нормой оператора А и обозначается так: \\A \\E -*F - Е сли F сов­ падает с Е, то пишут просто ||Л||. Из определения следует

Если пространство Е разложено в прямую сумму двух под­ пространств: Е = Mt®M2, то можно определить линейный опе­ ратор Pi равенством

РхХ— Х{ (* = *! +*2, Хх^ М и Х2^ М 2).

Оператор Pi ограничен и р\ = Р х. Всякий линейный опера­ тор Р\у обладающий этими двумя свойствами, называется проеъ-

тором. Каждому проектору отвечает разложение Е в прямую сумму: Е = Pi£® (/ — Pi)E.

, Л и т е р а т у р а : [23], [27], [39].

2. Примеры линейных ограниченных операторов.

1) О п е р а т о р ы в к о н е ч н о м е р н ы х п р о с т р а н с т -

ференциальные. операторы, рассматриваемые как операторы в одном и том же пространстве, как правило, являются неограни­ ченными. Так, оператор производной не является ограниченным в пространстве С(0, 1); если же его рассматривать как оператор из (^(О, 1) в С(0, 1), то он ограничен и его норма равна 1.

Аналогично линейный дифференциальный оператор /-го по­ рядка с непрерывными коэффициентами можно рассматривать как ограниченный оператор из С®(0,1) в С (0,1).

Для изучения линейных дифференциальных операторов в ча^ стных производных обычно привлекаются либо пространства

Гельдера (классический подход), либо пространства Wlp. Так, эллиптический оператор второго порядка

/, /«1

определенный в и-мерной области G, обычно рассматривается

как ограниченный оператор из пространства WI{G)B простран­ ство L2(G).

Ли т е р а т у р а : [23], [30], [39].

3.Сходимость последовательностей операторов. Пусть {Ап} — последовательность ограниченных линейных операторов, дейст­ вующих из линейного нормированного пространства Е в линей­ ное нормированное пространство F.

оператору Л0, если lim || А0х — Апх ||f = 0 при любом х е £ .

П -> оо

Последовательность {Ап} называется слабо сходящейся к опе­ ратору Ло, если при любом последовательность {Апх} слабо сходится к А0х.

Из сходимости по норме следует сильная сходимость, из силь­ ной— слабая. Обратные утверждения, вообще говори, непра­ вильны.

Если последовательность {Ап} сильно сходится к Л0 й нормы операторов Ап ограничены в совокупности: II Ап \\Еш+р

(п = 1,2, ...), то оператор Л0 также является линейным ограни­ ченным оператором и

II Ло IIE->F ^ Пт || Ап П->оо

В случае, когда Е является банаховым пространством, по­ следнее утверждение значительно усиливается: если последова­ тельность ограниченных линейных операторов Лп, действующих из банахова пространства Е в линейное нормированное прост­ ранство F, сильно сходится к оператору Л0, то нормы операторов ограничены в совокупности, и следовательно, оператор Л0 также ограничен.

Доказательство этого факта основано на п р и н ц и п е р а в ­ н о м е р н о й о г р а н и ч е н н о с т и : пусть на банаховом прост­

ранстве Е определено семейство неотрицательных непрерывных функционалов фа (х) ( а ^ Л ) , обладающих свойствами:

Для того чтобы последовательность ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства Е в бана­ хово пространство F, сильно сходилась к некоторому линейному ограниченному оператору, необходимо и достаточно, чтобы: 1) нормы операторов Ап были ограничены в совокупности; 2) по­ следовательность {Апх'} была сходящейся при любом х* из не­ которого всюду плотного множества D с= Е.

Последняя теорема имеет многочисленные применения в во­ просах, связанных со сходимостью и суммируемостью рядов и интегралов, сходимостью интерполяционных процессов, процес­ сов механических квадратур и т. п.

Л и т е р а т у р а : [23], [39].

4. Обратный оператор. Пусть линейный оператор А отобра­ жает линейную систему Е в линейную систему F. Если оператор А обладает тем свойством, что Ах = 0 только при х = 0, то каждому у из области значений /?(Л) оператора А соответствует только один элемент х, для которого у = Ах (решение уравне­ ния у — Ах единственно). Это соответствие можно рассматри­ вать как оператор В, определенный на R (Л) со значениями, за­ полняющими Е. Оператор В —линейный. По определению ВАх = х, поэтому оператор В называется левым обратным к Л.

Если R(A) = Ft т. е. оператор А устанавливает взаимно од­ нозначное соответствие между £ и F, то оператор В определен на всем В, называется просто обратным оператором .к А и обо­ значается через Л-1. По определению

А~1Ах — х (х<=£) и АА~ху — у (y^F) .

Одним из глубоких фактов теории банаховых пространств яв­ ляется следующее утверждение.

П р и н ц и п о т к р ы т о с т и о т о б р а ж е н и я : при непре­ рывном линейном отображении банахова пространства Е на ба­ нахово пространство F образ каждого открытого множества есть снова открытое множество.

Из этого принципа вытекает важное следствие.