книги / Функциональный анализ
..pdf§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
61 |
Пространство Ь(Е,Е) является нормированной |
алгеброй. |
Эта алгебра обладает единицей, роль которой играет тождест венный оператор /.
Если Е банахово, то совокупность операторов, имеющих об ратные, образует открытое множество в этой алгебре.
Ли т е р а т у р а : [23], [27].
6.Сопряженный оператор. Пусть Е и F — линейные норми рованные пространства и А — ограниченный линейный оператор, действующий из Е в F.
Если g (у) — линейный |
непрерывный |
функционал |
на F (g е |
||
е F') , то функционал |
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
g(Ax) |
|
|
|
будет линейным непрерывным |
функционалом на |
Е |
( f ^ E ' ) , |
||
причем |
|
|
|
|
|
\\f\y< \\g\\PA\A\\E^ p. |
|
|
|||
Таким образом, каждому функционалу g ^ F ' ставится в со |
|||||
ответствие функционал |
/ ^ £ ', |
т. е. |
определяется |
оператор |
|
A'g = f. Этот оператор А' называется сопряженным операто ром к оператору А *).
Сопряженный оператор является линейным ограниченным
оператором, причем |
А' || = || Л ||. |
II |
|
Если Л,Яе=Е(£,Е), то |
(XA)' = h 4' и (А + В ) '= А ' + В'. |
Если Л, Я e=L(£ ,£ ), то (АВ)'= В'А'.
Если интегральный оператор с непрерывным ядром K{t, s) рассматривать, например, как ограниченный оператор из Ьр(0, 1)
вLp(0, 1), то сопряженным к нему будет интегральный оператор
сядром К'(ty s) = K(sf t), т. e. оператор
|
A'x = Jl K(s, |
t) x (s)ds, |
|
|
|
0 |
|
рассматриваемый как |
оператор |
из Lq(0,1) в Lq(0,1) (1/р + |
|
+ 1/<7 = |
1). |
|
|
Если Е и F банаховы, то для существования обратного опе |
|||
ратора |
А - 1 необходимо |
и достаточно существование оператора |
|
(Л')-1, причем (Л')_1= |
(Л-1)'. |
|
|
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [39], [58].
7.Вполне непрерывные операторы. Пусть Е и F — банаховы пространства. Линейный оператор, действующий из Е в F,
) Иногда сопряженный оператор обозначается через А* (см. также п. 9).
62 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
называется вполне непрерывным, если он отображяет всякое ограниченное множество пространства Е в компактное множе ство пространства F.
Из полной непрерывности линейного оператора следует его непрерывность. Обратное, вообще говоря, неверно. На пример, тождественный оператор / непрерывен, но в случае бесконечномерного пространства Е он не является вполне непре рывным.
Для полной непрерывности линейного оператора достаточно, чтобы он переводил единичный шар пространства Е в компакт ное множество пространства F. Область значений вполне непре рывного оператора сепарабельна. Вполне непрерывный оператор переводит всякую слабо сходящуюся последовательность элемен тов в последовательность, сходящуюся по норме.
Нижеследующее утверждение показывает, что полная непре рывность линейного ограниченного оператора есть не столько свойство самого оператора, сколько' свойство его области зна чений. Если А — линейный вполне непрерывный оператор, действующий из банахова пространства Е в банахово про странство F, и В —линейный ограниченный оператор из Е в F такой, что R(B)czR(A)1то В — также вполне непрерывный опе ратор.
Предел по норме последовательности вполне непрерывных операторов есть снова вполне непрерывный оператор. Сильный и тем более слабый предел последовательности вполне непре рывных операторов может быть не вполне непрерывным опера тором. Пусть, например, Е — банахово пространство /А. Опера торы проектирования PNl ставящие в соответствие каждому х =
=Й Ь Ь, ■• •. in, •. •} элемент PNx = {£ь О, 0, ...}, будут вполне непрерывными, а их сильный предел равен единичному оператору /, который не' вполне непрерывен.
Линейная комбинация вполне непрерывных операторов яв ляется вполне непрерывным оператором. Произведение вполне непрерывного оператора на ограниченный есть вполне непрерыв ный оператор. Если рассмотреть все вполне непрерывные опера торы из L (£ ,£ ), то они образуют замкнутый идеал в нормиро ванной алгебре L (Е,Е).
Сопряженный оператор к вполне непрерывному является вполне непрерывным.
Простейшим примером вполне непрерывного оператора яв ляется одномерный линейный оператор вида
Ах = f 1 (х)
где у\ — фиксированный элемент из F, a fi (х)-—фиксированный функционал из Е'. Сокращенно одномерный оператор обозна чают так: А = f\®y\.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
63 |
Ёолее общий вид имеет произвольный конечномерный ли нейный оператор
т
А= 2 ft ® уь
г=1
Где г/j <= F, а /г ^ Е'. По определению
т
Ах = 'Zft (x)ijt. i=l
Конечномерный оператор вполне непрерывен.
Неизвестно, можно ли всякий вполне непрерывный оператор Представить как предел по норме конечномерных линейных опе раторов.
Линейный оператор называется ядерным, если он представ лен в виде
оо
Ах = S ft (х) tjh i=\
do
где yt<=F, fi<=E' и 2 II ft IIB'II HI 11^ < 00•
Ядерные операторы представляют собой важный подкласс класса вполне непрерывных операторов.
Многочисленные примеры вполне непрерывных операторов дают интегральные операторы. Если ядро интегрального опера тора
Ах =
непрерывно, то он будет порождать вполне непрерывный опера тор из С(0, 1) в С(0, 1). Если ядро удовлетворяет более слабому условию
1 |
1 |
|
J |
\\F.{U s)\qd td s < оо |
( q > 1), |
О о |
|
|
то оператор будет вполне непрерывным, как оператор из/,р(0, 1) в Lp(0, 1) (1/р+ 1/ ^=1) . Приведенное условие не является необходимым. Существуют примеры вполне непрерывных инте
гральных операторов, действующих из Lp(0, 1) |
в Lp(0, 1) (1 < |
< ;р < !о о )) ядра которых как функции двух |
переменных не |
суммируемы ни с какой степенью, большей 1. |
|
Л и т е р а т у р а : [231, [27], [30], [34], [39], [52], [58].
8. Операторы в произведении пространств. Если в линейных системах Е и F определены операторы А и В соответственно, то
64 |
|
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия |
|
в прямом |
произведении Е X F естественно определяется |
линей |
|
ный оператор |
по формуле (Л X В){х, и} = {Ах, Ви). |
|
|
Если |
пространства Е и F — конечномерны, {е*}" и |
— |
|
базисы в этих пространствах, (я*/)" /я=1 и (bki)” Z=1 — матрицы
операторов в этих базисах, то в базисе пространства E Y F , составленном из всех векторов вида {eit 0} и {0, fk), матрица оператора Л Х ^ состоит из блоков:
f (au \, 1=1 |
0 |
\ |
|
I |
0 |
( Ь и % ш |
) ' |
На тензорном произведении пространств E®F определяется оператор А® В следующим образом: для элементов вида х®и полагают {А®В) (х®и) = Ах®Ви, а на остальных элементах
доопределяют оператор А® В так, чтобы он был ли нейным. Из свойств тензорного произведения (см. § 1, п. 4) вы текает, что оператор А®В будет однозначно определенным на всем E®F линейным оператором. Если Е и F конечномерны, то в базисе £г®/л (t = 1,..., п, k = 1, ... , т) матрица оператора А®В может быть составлена из блоков:
т
((%)", /= h i) k, /*=1
Полученная таким образом матрица называется кронекеровским
произведением матриц Л и В. |
|
Е Л Е |
соответствующее |
произ |
|||
Для |
внешнего произведения |
||||||
ведение |
операторов определяется |
так |
же, |
как и |
выше: |
||
(Л А Л) (х А у) — Ах А Ау, а |
на остальных элементах |
Л АЛ |
|||||
определяется линейно. В базисе в{/\е^ |
( / < / , |
i, / = 1 , . . . , л ) |
|||||
элементами матрицы оператора Л АЛ |
будут всевозможные ми |
||||||
норы второго порядка матрицы |
|
{ац)\ |
|
|
|
|
|
|
(Л Д A ) { e i / \ e i ) = |
2 |
Г** |
|
А |
|
|
|
k<i\aki |
ац/ |
|
|
|||
Аналогично определяется r-я внешняя степень Лг оператора Л В пространстве Е Т. В конечномерном случае матрица оператора
Лг в естественном базисе |
(см. § 1, п. 4) будет составлена-из все |
||
возможных миноров r-го порядка матрицы (ац). |
|||
Пусть теперь Е и F — линейные нормированные пространства, |
|||
а Л и В — действующие |
в них линейные ограниченные опера-' |
||
торы. Тогда операторы Л |
А®В и Л АЛ |
будут также огра |
|
ниченными в соответствующих нормах. |
(см. § 4, п. 6) по |
||
В пространстве Е X F для норм |
|| ||i и || ||2 |
||
лучается |
|
|
|
IIЛ X £ 1= шах {|| Л ||£, || В Цр} и |
II ЛХ£|12 = ИЛЦв + Hfillf. |
||
§ 6. ПРОСТРАНСТВА^ С БАЗИСОМ |
65 |
Для обеих норм в пространстве E®F ||Л® В|| = || Л1У B||F.
Ли т е р а т у р а : [25], [57], [98].
9. Замечание о комплексных пространствах. Пусть Е —
комплексное линейное нормированное пространство. Иногда удобнее операцию умножения линейного функционала f(x) на число X вводить не так, как указано в § 4, п. 1, а следующим об
разом: fi =Xf означает, что fi(x) = |
Xf(x). |
|
Совокупность |
всех линейных |
непрерывных функционалов |
с так введенной |
операцией умножения на число обозначается че |
|
рез Е* и также называется сопряженным пространством к Е.
Все понятия, введенные для пространства £', аналогично вво дятся для пространства Е*. Все факты, справедливые в про странстве £', справедливы и для пространства £*, лишь в неко торые формулировки следует внести изменения:
1. Сопряженный к оператору А оператор, рассматриваемый
как оператор из F* в £*, обозначается через А*. Тогда (ХА)* = ХА*. 2. Для интегрального оператора А с ядром K(t, s) сопряжен
ный оператор А* имеет ядро K(s, t).
Ли т е р а т у р а : [27].
§6. Пространства с базисом
1.Полнота и минимальность системы элементов. Система
{ей} элементов еи e2t ..., еп, ... называется полной в банаховом пространстве £, если линейная оболочка этой системы элемен
тов всюду плотна в Е. Полная система элементов может суще ствовать только в сепарабельном пространстве. Для того чтобы система {ек} была полной в Е, необходимо и достаточно, чтобы не существовало линейного функционала f е Е\ отличного от нуля и равного нулю на всех элементах ek (k = \ , 2, ...) (орто гонального всем ek).
Система элементов {ek} называется минимальной, если ни один элемент этой системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных элементов.
Для того чтобы система {eh} была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы существовала система линейных функцио налов, образующая с данной биортогональную систему, г. е. та кая система {fk} а Е ' (k = 1, 2, ...), что fi(ej) = 8ц*). Система {fk} называется часто сопряженной системой. Если система {ек}
является полной и минимальной, то система функционалов {Д} определяется единственным образом.
*) 6ij == 0, если i ф / и дц = 1,
66 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
В каждом сепарабельном банаховом пространстве имеется полная минимальная система. Более того, можно построить та кую полную минимальную систему {ек}, что соответствующие ей
функционалы |
fk |
образуют |
тотальное |
множество, т. е. из |
fk(x) = 0 (х ^ |
Е, |
k = 1,2,...) |
следует, что х = 0. |
|
Система {ек} называется равномерно минимальном, если |
||||
р{еп,Е ™ )> у\\еп \\ |
( 0 < Y< 1 ; |
п = 1, 2, . . . ) , |
||
где р(еп, £ (п)) — расстояние от еп до замкнутой линейной обо лочки № ) всех элементов ек с k Ф п. В каждом конечномерном пространстве существует полная минимальная система, для ко торой у = 1.
Полная минимальная система {ек} является равномерно ми нимальной тогда и только тогда, когда
iim ||efe llllfftIK оо,
где {М — сопряженная система.
Л и т е р а т у р а : [2], [9], [25], [39], [79].
2. Понятие базиса. Система элементов {ек} образует базис пространства £, если каждый элемент х е Е представим един ственным образом в виде сходящегося ряда
оо
* — 2 Cke k .
fe*=l
Всякий базис представляет собой полную равномерно мини мальную систему. Однако полная равномерно минимальная система может не образовывать базиса в пространстве. Так, например, тригонометрическая система e0(t)= 1, e2n_.i(^) = sin nt,
e2n(t) = |
cos nt |
(n = |
1, 2, |
...) является |
полной равномерно ми |
|||
нимальной системой |
в пространстве С(—я, я), но |
не образует |
||||||
базиса в нем. |
базисов . |
|
|
|
|
|
||
П р и м е р ы |
L2(a, 6), |
как |
и |
в любом |
сепарабельном |
|||
1 ) |
в пространстве |
|||||||
гильбертовом |
пространстве Н (см. |
гл. |
IV, |
§ 1), всякая полная |
||||
ортогональная система элементов образует базис. Так, тригоно метрическая система функций образует базис в L2(—я, я).
Можно строить и неортогональные базисы в гильбертовом пространстве. Например, если {ег}— полная ортонормированная
система в гильбертовом пространстве |
Я, то система элементов |
|
k |
|
|
g k = 'ItP te i |
(6 = |
1,- 2 , . . . ) |
**=1 |
|
|
|
|
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ |
67 |
||
образует базис в Н, если числа pi удовлетворяют условиям |
|||||
|
|
|
П |
|
|
|
I Pi I > |
О, |
|
(п = 1, 2, |
...). |
Система функционалов, образующая с {^} |
биортогональную |
||||
систему, задается системой элементов из Я: |
|
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
h = |
pk+\ e k+\- |
|
|
2) В |
координатных |
пространствах со и lp |
( р ^ 1) система |
||
|
k—1 |
|
|
|
|
ортовей = |
{0, |
О, 1, |
0, ...} |
образует базис. Эта же система |
|
в пространстве с не образует базиса и даже не является полной, так как элемент во = {1, 1, ...} не принадлежит замыканию ли нейной оболочки элементов ек [k= \, 2, ...). Система eo,ei, е% ...
образует уже базис в пространстве с.
3) В пространстве непрерывных функций С(0,1) можно по строить базис следующим образом: пусть {г*} (t = 0, 1, 2, ...) — плотная на [0, 1] последовательность чисел, причем г0 — 0, r± = 1,
ti Ф гj при i Ф j. |
Полагают e0(t)t=s\ |
и |
e\(t)— t. |
Далее |
ek(t) |
|||||
определяются-по индукции. Пусть для i < |
k функции ek(t) |
опре |
||||||||
делены и отрезок [0, 1] разбит точками |
гг........гк-х на k — 1 |
ин |
||||||||
тервалов. Пусть Гл принадлежит одному |
из |
этих |
интервалов: |
|||||||
rSt < r k < rS2, si < |
k, s2 < k. Тогда полагают: ek(rk) — \,e k(rSl) = |
|||||||||
= 0, |
ek(rSl) = 0, |
а |
на |
отрезках |
[0, rSl], |
[rSl,v rk], [rk, rs,} и [rS!, 1] |
||||
функцию ek(t) |
линейно интерполируют. Система |
{ek(t)} |
{k = |
|||||||
= 0 , |
1, 2, ....) образует базис в С(0, 1). |
|
|
|
|
|
||||
4) |
В пространствах Lp(0, 1) |
(р ^ 1) базис образует система |
||||||||
функций Хаара, определяемых так: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1, |
0 < f |
< 1/2, |
|
||
|
х И * ) - ! ; ; |
$>«)=■ |
- l , |
l / 2 < f . < l , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
о, |
t = 1/2; |
|
|
||
2п'\
х<*>(0 = —2п/2,
2к2„+12 ^ t <
to |
|
/А |
to + 1 |
A |
2k — 1 |
|
|
2n+l |
• |
(fc = i, : |
2k |
|
|
2n+i |
’ |
|
|
0 для остальных значений t. |
|
||||
Функции yVpit) |
располагаются в |
простую |
последователь |
|||
ность |
(i = |
1, 2, |
...) в порядке |
возрастания номера п, а |
||
при одинаковом |
п |
в |
порядке возрастания k. |
Система (еД/)} |
||
68 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я
является ортогональной и образует базис в любом пространстве
Ы 0,1) (р > 1).
До сих пор не решена проблема Шаудера: каждое ли сепа рабельное пространство обладает базисом? Более того, не ясно, обладает ли такое пространство полной равномерно минималь ной системой.
Л и т е р а т у р а : [20], [25], [39], [60], [71], [75], [79].
3. Признаки базисов. В этом пункте всюду {ег} (*= 1,2,...) обозначает полную минимальную систему в банаховом про странстве £, а {/г} — сопряженную систему функционалов.
Для каждого х ^ Е определен ограниченный линейный опе ратор
п
Snx = 2 f{ (х)е{. 1=1
Оператор S n является проекционным оператором: S2n = Sn. Он проектирует все пространство на я-мерное пространство Ln,
натянутое на элементы ей • • •, еп.
Для того чтобы система {ei} образовывала базис, необхо димо и достаточно, чтобы операторы Sn были ограничены в со вокупности, т. е. чтобы выполнялось неравенство
II s n x II = 12 ft (X)et I < M \ \ x II (Xf= E),
где M — константа.
Если система {eг} не является базисом, то найдется такой элемент х, на котором ||Sn*ll ^ М при всех п = 1, 2, ..., но для которого ряд
2ft (х) е{
п—\
расходится. Если последний ряд сходится при любом х е £ , то система {е*}— базис. Более того, если этот ряд слабо сходится при любом х £, то система {е*} — базис. Последнее утвержде ние иногда формулируют так: всякий слабый базис является сильным базисом.
Если обозначить через Ln линейную замкнутую оболочку элементов еп, еп+и ..., а через оп — единичную сферу в подпро странстве Ln, то для того, чтобы система {е*} была базисом, не обходимо и достаточно, чтобы существовала положительная константа а такая, что
p(cr„, L ")> а,
где р — расстояние между оп и Ln, п = 1,2, ...
§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ |
69 |
Если {ей — базис, то система <м является базисом в своей линейной замкнутой оболочке, которая может не совпадать с Е\ Если Е рефлексивно, то эта оболочка совпадает с £ ' и {fi} яв ляется базисом в Е'. Если {fi} — базис в сопряженном простран стве Е\ то {ei} — базис пространства Е.
Л и т е р а т у р а : [20], [25], [39], [60], [79]. |
|
|
|
|
|||
4. |
Безусловные базисы. Система |
{е*} называется безусловным |
|||||
базисом в пространстве £, если она остается базисом при любой |
|||||||
перестановке ее элементов. |
является |
следующее: |
базис |
||||
Эквивалентным |
определением |
||||||
{ } называется безусловным, если ряд |
|
|
|
|
|||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
2 f t ( x ) f ( e t) |
|
|
|
|
|
|
|
£=1 |
|
|
|
|
|
абсолютно сходится для любых х е |
Е и f е Е'. |
|
|
||||
Для того чтобы базис был безусловным, необходимо и до |
|||||||
статочно, чтобы проекционные операторы вида |
|
|
|||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
S f » , (*) ещ |
|
|
|
|
|
при любых конечных наборах чисел (пи ..., |
щ) |
{п\фп$ при |
|||||
i ф /) |
были равномерно ограничены. |
единичную |
сферу |
в ли |
|||
Если обозначить |
через Snv пг |
пк |
|||||
нейной оболочке элементов базиса^, .. ., еПк, а через ЬПг |
Пк— |
||||||
замкнутую линейную оболочку всех остальных элементов бази са, то для безусловности базиса необходимо и достаточно, что бы существовала такая константа Р > 0, что
при всех конечных наборах (щ, . . . , nk).
Пусть U — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве Е и имеющий ограниченный обратный. Если си стема {вг} — базис, то и система {Uei} — базис. Если {ег} — без условный базис, то и {Uei} — безусловный базис.
В гильбертовом пространстве Н всякий ортогональный базис является безусловным. Оказывается, что любой безусловный
базис |
в гильбертовом пространстве может быть представлен |
в виде |
{Ue'i}t где { ^ — ортогональный нормированный базис. |
Такие базисы были названы базисами Рисса. Их можно оха рактеризовать следующими свойствами: существуют положи тельные числа т и М такие, что для любого х е Я
оо оо
m 2 |(*. е,)|2< |и |р < м 2 |( * , ей?.
70 |
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ п о н я т и я |
|
|
|
Системы ортов в |
пространствах с0 и lp (р ^ |
1) являются |
без |
|
условными базисами. Система функций Хаара |
(см. п. |
2) |
обра |
|
зует безусловный |
базис во всех пространствах |
Ьр (0, 1) |
с р > 1. |
|
В пространствах С[0, 1] и Ь[0, 1] не существует безусловного
базиса. |
система |
функций является |
базисом |
Тригонометрическая |
|||
в пространствах Lp(—я, я) {р > |
1), но не безусловным. |
||
Неизвестно, в каждом |
ли банаховом пространстве |
есть бес |
|
конечномерное подпространство с безусловным базисом. Банаховы пространства с безусловным базисом обладают
рядом специфических свойств. Например, такое пространство либо рефлексивно, либо содержит подпространство, изоморфное h или Со.
Если система {cj — безусловный базис в £ , то сопряженная система функционалов {fi} при условии сепарабельности про-, странства Е' будет безусловным базисом в Е'.
Два базиса |с'} и (с''} в пространствах Et и Е2 называются эквивалентными, если соответствие
,ц |
ел _ |
(k = |
\ 2 |
) |
К 1 |
(й |
1 , 2 , . . . ) |
||
может быть продолжено до |
изоморфизма |
между £ i и Е 2. |
||
В каждом из пространств 4, h и с0 и (с точностью до изомор физма) только в них все безусловные базисы эквивалентны.
Лите ра тура : [20], [25], [71], [79].
5. Устойчивость базиса. Пусть система {ег} образует |
базис |
в пространстве Е. Если {Ы} — некоторая система элементов |
из £, |
то ставится вопрос о том, при каких условиях система {ег- + hi)
будет |
также базисом |
в Е. Если {е{} — базис (безусловный |
ба |
||
зис) и элементы hi «достаточно малы» в том смысле, что |
|
||||
|
|
i=\ |
|
|
|
то система {ег-'+ hi) |
образует |
базис (безусловный |
базис) в |
Е. |
|
Из |
последнего утверждения |
вытекает важное |
с л е д с т в и е : |
||
если пространство Е обладает каким-то базисом (безусловным базисом) и {ф/ J — полная в Е система элементов, то в Е суще
ствует базис (безусловный базис) вида
= 2 cf% .
йг=1
Например, .в пространстве С(0, 1) существует базис из сте пенных многочленов.
Лите ра тура : [71], [79].