книги / Функциональный анализ

спектр возмущенного оператора удается исследовать полнее, не­ жели в предположениях п. 4.

Пусть Н — некоторое сепарабельное гильбертово простран­ ство; скалярное произведение в Н обозначим через (/, g), а норму через |/|. Рассматривается какой-либо отрезок / = [а, Ь] вещественной оси (возможно, неограниченный). Пусть L2(//; /) — множество измеримых на I функций f(x) со значениями в Я, для которых конечна величина

I / (• )|2= J I fix) \2dx.

I

L2(#; l) является полным сепарабельным гильбертовым про­ странством со скалярным произведением

(f(-). g ( - ) ) = j (fW . g(x))dx. I

Оператор А умножения на независимую переменную опреде­ ляется соотношением

(Af) (х) = xf(x) ^J (1 + х2) | f (х) |2 d x< ooj.

Оператор А самосопряжен в L2(#; 0- Возмущающий оператор V задается интегральным оператором

(Vf) (х)= J v(x, у) f (у) dy. I

«Ядро» v(x, у) при всяких х и у есть вполне непрерывный опе­ ратор в Н. Норма v(x, у) обозначается через \v(x,y)\, сопря­ женный оператор — через v*(x, у). Предполагается, что ядро v (x, у) эрмитово, т. е.’

что автоматически выполняется в случае бесконечных концов (если промежуток / конечен, то в предыдущих условиях можно, разумеется, положить К = 0).

При сделанных предположениях оператор В = А + V само­ сопряжен в Ь2{Н\1) и D(B) = D(A). Оператор А унитарно

эквивалентен абсолютно непрерывной части оператора В, причем унитарная эквивалентность устанавливается волновыми опера-

торами W±(B,A). Для последних могут быть указаны сравни­ тельно простые явные выражения. Сингулярное подпространство оператора В конечномерно. Это означает, что у оператора В не­ прерывный сингулярный спектр отсутствует, а точечный спектр состоит разве лишь из конечного числа конечнократных соб­ ственных значений. Собственные значения могут лежать как вну­ три, так и вне /. Абсолютно непрерывный спектр операторов А и В заполняет отрезок / и имеет постоянную кратность, равную размерности пространства Я.

Ли т е р а т у р а : [173], [175].

§6. Диссипативные операторы

1.Максимальный диссипативный оператор. Линейный опе­ ратор А с областью определения Я (А), плотной в гильбертовом пространстве Я, называется диссипативным, если

Re (Ах, х ) < 0 при хе Я( А) ,

и максимальным диссипативным, если он диссипативен и не имеет нетривиальных диссипативных расширений.

Диссипативный оператор всегда допускает замыкание, ко­ торое также будет диссипативным оператором. Поэтому макси­ мальный диссипативный оператор замкнут.

Для диссипативного оператора все точки X с Re Л > 0 будут точками регулярного типа, при этом

|| Ax-Xx\\^ReX\\x\\.

Диссипативный оператор замкнут тогда и только тогда, ко­ гда при Re Л > 0 область значений R(A — XI) оператора А — XI

диссипативные расширения. Одно из этих расширений строится,

Оператор Ж будет максимальным диссипативным расширением оператора А.

Из предыдущего вытекает, что всякий диссипативный опера­ тор допускает расширение до максимального диссипативного оператора. Диссипативный оператор максимально диссипативен тогда и только тогда, когда при любом X с Re X > 0 область зна­ чений R(A — XI) совпадает со всем пространством Я,

Удобным для практической проверки является следующий критерий максимальной диссипативности: для того чтобы линей­ ный оператор А с плотной в пространстве Н областью D(A)6bu максимальным диссипативным; необходимо и достаточно, чтобы он был замкнутым и выполнялись неравенства

Re {Axt * )< 0 (xe=D(A)) и Re{A*y, */)<0 (yt=D(A%

Диссипативный оператор называется консервативным, если

Re {Ах, х) = 0 (X G D (Л)).

Максимальный диссипативный оператор А консервативен то­ гда и только тогда, когда он представим в виде А = iB, где В — самосопряженный оператор.

Максимальный диссипативный оператор, для которого суще­ ствует константа с > 0, удовлетворяющая условию

c\lm{Ax, x )|< |R e(A t, х)\,

называется регулярно диссипативным.

'Л и т е р а т у р а : [36], [174].

2.Полуторалинейные формы и неограниченные операторы.

В § 2 п. 1 было описано взаимно однозначное соответствие ме­ жду ограниченными линейными операторами и ограниченными полуторалинейными формами. При рассмотрении неограничен­ ных линейных операторов естественно возникают полуторалиней­ ные формы {Ах, у), определенные не на всем пространстве Н и неограниченные.

Полуторалинейная форма А{х, у), определенная на некото­ ром линейном множестве D [А] гильбертова пространства Я, на­

Форма называется эрмитовой, если А*{х, у) = А{х, у).

Для самосопряженного положительно определенного опера­ тора форма {Ах, у), определенная при х, у <= D{A), может быть предельным переходом расширена до замкнутой эрмитовой фор­ мы, которая будет обозначаться через А[х,у]. Область опреде­ ления этой формы D [А] совпадает с областью определения Г){А'Ь) оператора А^к

234ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В§ 4, п. 3 было указано, что для симметрического положи­ тельно определенного оператора А форма (Ах, у) также расши­ ряется до замкнутой формы, область определения которой совпа­

дает с областью определения оператора АJ/2, где Ац — жесткое самосопряженное расширение оператора А. Приведенные там по­ строения можно обобщить следующим образом: пусть на линей­ ном плотном в гильбертовом пространстве Н множестве D [А] задана полуторалинейная форма А(х,у), которая эрмитова и не­ отрицательна: А(х, х)>0. Рассматриваются те элементы х е D[A], для которых величина А (х, у) является непрерывным функцио­ налом от у по норме пространства Н. Совокупность этих элемен­

из Н. Оператор А оказывается линейным самосопряженным и положительным. Область определения формы D[A] совпадает с

D(A'i>).

Полуторалинейная форма А(х, у) с линейной плотной в Н об­ ластью определения называется регулярно диссипативной, если ее вещественная часть замкнута и неположительна: Ая (х, х )^ 0 , а мнимая часть удовлетворяет неравенству

c\Aj(x, х) К — AR ( х , х) (с> 0).

Пусть снова через D(A) обозначается совокупность всех х, при которых А (х, у) непрерывна по у в норме пространства Я. Тогда при х ^ Я(Л) и { / е D[A] справедливо равенство А (х, у) = = (Ах, у). Оператор А оказывается максимальным диссипатив­ ным и, более того, регулярно диссипативным оператором в Н. Полученный таким образом оператор А допускает представление А = S'/*(—/ + iQ)Sll*, где 5 — положительный самосопряженный оператор, a Q — самосопряженный ограниченный оператор.

Л и т е р а т у р а : [36], [174].

3. Диссипативные расширения консервативных операторов. Пусть B0 = iAo — консервативный оператор. В ряде задач воз­ никает вопрос о построении диссипативных расширений опера­ тора Во, причем наиболее интересными являются максимальные диссипативные расширения.

Область определения сопряженного оператора В0 может быть разложена в прямую сумму

D(B^} = D(B0)® V +@V-,

где V± — совокупность всех решений уравнения

Можно указать общий вид максимальных диссипативных расширений оператора Во, являющихся сужениями оператора

ВоДля этого достаточно описать их область определения.

Для любого максимального диссипативного расширения В а Во оператора В0 область определения имеет вид

D(B) = D(B0)@(I + C)V->

где С — сжимающий оператор (т. е. ||С ||^ 1), действующий из

V- в V+. Для любого такого оператора С оператор Вх = В0х на множестве указанного вида является максимальным диссипатив­ ным -расширением оператора В0.

Ли т е р а т у р а : [174].

§7. Обыкновенные дифференциальные операторы

1.Самосопряженные дифференциальные выражения. Обыкно­ венным линейным дифференциальным выражением п-то порядка называется выражение вида

Ну) = Уо(х)ум + <7IМг/(ге-1)+ ... -fqn(x)y

Выражение 1(у) называется самосопряженным, если /(у) =

00Всякое самосопряженное дифференциальное выражение с до­

статочным числом раз дифференцируемыми коэффициентами мо­ жет быть представлено в виде

тервале [а, Ь] и имеют на [а, Ь] непрерывные производные порядка

Индексы дефекта оператора Л0 равны 2п. Сопряженный опера­ тор задается равенством Аоу = 1(у) и определен на множестве

D (A I) всех функций, имеющих на [а, Ь] абсолютно непрерывные квазипроизводные до (2п — 1)-го порядка включительно и ква­ зипроизводную y&nl е L2[ayЬ].

Всякое самосопряженное расширение А оператора Л0 за­

дается равенством Ay = I(у) на функциях из D(Aо), удовлетво­ ряющих системе граничных условий

Резольвента любого самосопряженного расширения опера­ тора А0 есть интегральный оператор типа Гильберта— Шмидта (см. § 2, п. 7). Следовательно, резольвента любого самосопря­ женного расширения А является вполне непрерывным операто­ ром, спектр оператора А является дискретным, оператор А имеет полную систему собственных элементов.

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

3.Сингулярный случай. Если интервал (а, Ь) бесконечен или функция 1/ро(х) не суммируема на (я, Ь)у то выражение 1(у) называется сингулярным. В этом случае картина получается значительно более сложной.

мого оператора А0 не всегда допускает описание с помощью граничных условий. Непосредственно из тождества Лагранжа

уже не удается сделать с помощью системы граничных усло­ вий. Условия, выделяющие область определения самосопряжен­

ного расширения из множества £)(Л0)> пишутся в неявной форме (см. [45]).

Резольвента всякого самосопряженного расширения яв­ ляется интегральным оператором с ядром Карлемана (см. § 3, п. 5).

Если индекс дефекта оператора Л0 равен 2п, то ядро яв­ ляется ядром Гильберта — Шмидта. В этом случае спектр лю­ бого самосопряженного расширения дискретен. В общем слу­ чае спектр состоит из дискретной и непрерывной части. Непре­ рывная часть спектра у всех самосопряженных расширений одинакова.

Несколько больше можно сказать в случае, когда выраже­ ние 1{у) на одном из концов интервала (а, Ь) регулярно. Пусть

расширение также описывается с помощью граничных условий на регулярном конце: область определения расширения состоит

из всех функций из D (Ло), удовлетворяющих условиям

Обратно, написанная система граничных условий выделяет

из D (Ло) область определения самосопряженного расширения оператора Л0, если ajk удовлетворяют последней системе ра­ венств.

Если выражение 1{у) сингулярно на обоих концах (а, 6), то ^интервал (а, Ь) можно разбить внутренней точкой с на два интервала: (а, с) и (с, 6), в каждом из которых 1(у) будет ре­

гулярным в конце с. Если обозначить через Ло” и Лоопера­ торы, порождаемые 1(у) на интервалах (с, Ь) и (а, с), и через

т= т++ ггг — 2я.

Вчастности, если индексы дефекта операторов Ло" и Ло” рав­ ны я, то оператор Л0 на (а, 6) будет самосопряженным. Обратно,

если Ло на (а, 6) самосопряжен, то, поскольку всегда яг+^>я и т" > я, операторы Ло" и Ло" имеют индексы дефекта я.

Л и т е р а т у р а : [24], [45].

и (—оо,0] соответствующие операторы Ло* и Ло" имеют индек­ сы дефекта, равные я.*

Если коэффициенты выражения 1(у) постоянны:

с постоянными коэффициентами, самосопряжен.

Ряд критериев устанавливает, что оператор А0 самосопря­ жен, если его коэффициенты в известном смысле близки к по­

к коэффициенту рп{х) ограниченной на (—оо,оо) функции ин­ декс дефекта оператора Л0 не изменяется. Отсюда, в частности, вытекает самосопряженность оператора Л0, порожденного на (—оо,оо) выражением

l ( y ) = ( - i ) n^ r + q(x)y,

где q{x) — ограниченная на (—оо,оо) функция.

Более сильные утверждения справедливы при п = 2, т. е. для выражения

1(у) = — у " + q(x) у.

Оператор Л0, порожденный этим выражением на (—оо, оо), будет самосопряженным, если функция q(x) ограничена только снизу или, более общо, ,если при достаточно больших \х\

Оператор Л0 также самосопряжен, если q ( x ) ^ L 2(—оо,оо). Другие критерии самосопряженности и несамосопряженности оператора Л0, порожденного самосопряженным дифферен­

циальным выражением 1(у), см. в гл. 9, § 3, п. 5.

Ли т е р а т у р а : [24], [45].

5.Характер спектра самосопряженных расширений. Как ука­ зывалось, в сингулярном случае спектр самосопряженных рас­ ширений может быть и дискретным, и непрерывным. Если

рассмотреть выражение 1(у) на [0, оо), то при выполнении условия 3) предыдущего пункта непрерывная часть спектра всякого самосопряженного расширения оператора А0 на [0, оо) совпадает со всей положительной полуосью X ^ 0. Точки дис­