книги / Функциональный анализ

жение пространства Е' с тем же числом й0, при этом размерности подпространств А^(Л) и Лh{A') при 1^ . k ^ k 0 совпадают.

Ли т е р а т у р а : [20], [37], [121].

9. Линейные преобразования уравнений. Под линейным пре­ образованием уравнения Ах = у понимается переход от этого уравнения к уравнению 'ВАх=Ву с помощью линейного опера­ тора В, действующего из пространства F в банахово простран­ ство G. Может оказаться, что уравнение

проще исходного. Однако при этом переходе следует соблю­ дать известную осторожность. Если оператор В не всюду опреде­ лен на F, то среди всех решений уравнения (ВА) могут не най­ тись те решения (А), которые соответствуют правым частям уШй(В) . Преобразованное уравнение может иметь и лишние решения. Для того чтобы уравнения Ах = у и ВАх = By были эквивалентными, т. е. чтобы всякое решение уравнения (А) было решением уравнения ВАх — By и обратно, необходимо и доста­ точно выполнение условий R(A)cz D (В) и N(B) = Q. Первое из этих условий заведомо выполнено, если В — ограниченный на F оператор.

При преобразовании уравнений следует иметь в виду сле­ дующее важное обстоятельство: даже при эквивалентном преоб­ разовании уравнение с замкнутым оператором А может перейти в уравнение с незамкнутым оператором ВА. Часто при преобра­ зовании оператор ВА допускает замыкание. В этом случае на­ ряду с уравнением (ВА) можно исследовать уравнение

ВАх = г. (ВА)

Решения уравнения (ВА) обычно называют обобщенными решениями уравнения (А).

Между свойствами уравнений (А), (ВА) и (ВА) имеются различные связи.

Из однозначной разрешимости (ВА) следует однозначная разрешимость (А); если пространство N (ВА) конечномерно, то и N (А) конечномерно. При ограниченном эквивалентном преоб­ разовании из замкнутости ВА следует замкнутость А, из нор­ мальной разрешимости (ВА)— нормальная разрешимость (А). При ограниченном преобразовании уравнения с замкнутым опе­

112 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

с ограниченным оператором. Если оператор А замкнут, и урав­

жет быть ограниченным преобразованием сведено к уравнению с ограниченным оператором.

Ограниченный оператор В называется левым регуляризатором для уравнения (А), если оператор ВА может быть расши­ рен до канонического фредгольмова оператора. Левый регуляризатор В называется эквивалентным, если уравнение (ВА) эк­ вивалентно уравнению (А), т. е. если A1(B) = 0.

Из общего вида фредгольмова уравнения (см. п. 8) следует, что оно имеет всегда левый эквивалентный регуляризатор U. Справедливо более общее утверждение: всякое нетерово урав­ нение имеет левый регуляризатор и если индекс уравнения не­ отрицателен, то существует левый эквивалентный регуляри­ затор.

Если оператор А замкнут, то для п-нормальности уравне­ ния (А) достаточно, а в случае, когда /?(Л) имеет в F прямое замкнутое дополнение, и необходимо существование левого регуляризатора.

Уравнение с ограниченным оператором Л, определенным на всем пространстве Б, имеет левый эквивалентный регуляризатор в том и только в том случае, когда оно нетерово и его индекс неотрицателен.

Построение левых регуляризаторов является одним из важ­ ных методов доказательства га-иормальности уравнений.

Л и т е р а т у р а : [37], [126], [131].

10. Линейная замена переменного. В уравнении (А) можно сделать замену искомого элемента: х = Cs, где С — некоторый линейный оператор, действующий из банахова пространства Я в банахово пространство Е. Для нового искомого элемента по­ лучается уравнение

ставимы в виде Cs. Чтобы этого не произошло, необходимо и

мально разрешимыми, ^-нормальными, плотно или везде разре­ шимыми. Размерность нуль-пространства при эквивалентной замене не уменьшается. Если при этом оба уравнения d-нормалц-

в пространство Е, называется правым регуляризатором уравне­ ния (А), если полученное после замены уравнение (АС) яв­ ляется каноническим фредгольмовым в F. Он называется экви­ валентным правым регуляризатором, если замена х = Cs экви­ валентная.

Для того чтобы уравнение (А) с замкнутым оператором А было d-нормальным, достаточно, а если N(A) имеет замкнутое прямое дополнение, то и необходимо, чтобы у него существовал правый регуляризатор. Для того чтобы существовал эквивалент­ ный правый регуляризатор, необходимо и достаточно, чтобы уравнение было нетеровым и имело неположительный индекс.

Важным примером уравнения, для которого просто строит­ ся левый и правый эквивалентный регуляризатор, является

где S — ограниченный оператор, действующий в пространстве Е, некоторая степень которого Sr вполне непрерывна. Можно вы­

Л и т е р а т у р а : [37].

11.Устойчивость свойств уравнения. Наряду с уравнением

(А)рассматривается возмущенное уравнение

Ах + Qx = у (х & D (А), у ^ F) (А + Q)

Если какое-либо свойство уравнения (А) сохраняется для уравнения (A -f Q) при всех операторах Q из некоторого клас­ са, то говорят, что это свойство устойчиво по отношению к воз­ мущениям данного класса.

Здесь рассматриваются три класса возмущений.

а) Ма л ы е в о з му ще н и я . Оператор Q определен во всем пространстве £, ограничен и имеет достаточно малую норму

114 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Свойства корректной разрешимости, ft-нормальности, d-нор­ мальности, нетеровости устойчивы по отношению к малым воз­ мущениям.

При достаточно малых возмущениях индекс уравнения не изменяется (при этом допускается, что к (Л) = ±оо).

Последнее свойство говорит о том, что индекс уравнения есть топологический инвариант. Задача о вычислении индекса конкретных уравнений весьма важна и часто трудна.

замыкание. Как указано в п. 3, такой оператор будет ограничен­

достаточно мала, то говорят об относительно малых возмуще­ ниях уравнения (А).

Свойства ^-нормальности, rf-нормальности, нетеровости устойчивы по отношению к относительно малым возмущениям.

оператор из Е в F, или вполне непрерывен, как оператор из ЕА в F (Л-вполне непрерывен).

Свойства м-нормальности, d-нормальности, нетеровости устойчивы по отношению к произвольным вполне непрерывным или Л-вполне непрерывным возмущениям. При этих возмуще­ ниях индекс уравнения не изменяется.

Ли т е р а т у р а : [37], [121].

§2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория

В этом параграфе всюду предполагается, что Л — линейный оператор, определенный на линейном многообразии D(A) ком­ плексного банахова пространства Е и действующий в это же пространство Е.

1. Спектр и резольвента оператора. Понятие спектра опера­ тора связано с рассмотрением уравнения

Ах — Хх = у (х <= D (Л), у е £), (Ax)

где X— комплексное число.

Число X называется регулярной точкой оператора Л, если уравнение (А*,) корректно и плотно разрешимо. Совокупность всех регулярных точек называется резольвентным множеством оператора А. Дополнение на комплексной плоскости к резоль­

вентнОму множеству называется спектром оператора А. Если оператор А замкнут, то его резольвентное множество состоит из тех и только тех точек Я, для которых существует ограни­ ченный оператор {А — X/)-1, заданный во всем пространстве Е. Определенный при регулярных Я, оператор (А — Я/)-1 назы­ вается резольвентой оператора А и обозначается /<^(/1) или ко­ роче: RK.

Для замкнутого оператора резольвентное множество является открытым подмножеством комплексной плоскости, спектр — зам­ кнутым. Произвольное замкнутое множество комплексной пло­

x(s) рассматривается операция дифференцирования d/ds. Зам­ кнутый оператор Л, порождаемый операцией d/ds на множестве всех непрерывно дифференцируемых функций, имеет спектром всю комплексную плоскость. Спектр оператора Л0, порождае­ мого той же операцией на множестве непрерывно дифференци­ руемых функций, равных нулю в нуле, пуст. Спектр оператора Л1, порождаемого той же операцией на множестве непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условию х(0) = = х(1), состоит из точек вида Я = 2яin (п = 0, ±1, ±2, ...).

Резольвента R%является на резольвентном множестве ана­ литической функцией со значениями в пространстве L(£, Е) ограниченных операторов. Каждая связная компонента резоль­ вентного множества является естественной областью голоморф­ ности резольвенты, т. е. резольвента не допускает аналитиче­ ского продолжения через границу этой области.

Для любых двух регулярных точек Я и ц справедливо пер­ вое резольвентное тождество или тождество Гильберта

Дл — /?и = (Л — I*) ДлЯц.

Из этого тождества выводятся формулы для производных

Если на некотором подмножестве G комплексной плоскости определена оператор-функция со значениями в L (£ ,£ ), удов­ летворяющая уравнению

то эта функция называется псевдорезольвентой. Все операторы имеют общее нуль-пространство N(7) и общую область зна­ чений /?(/), они коммутируют друг с другом. Для того чтобы псевдорезольвента Jx служила резольвентой некоторого замкну­ того оператора А, необходимо и достаточно, чтобы N (7) = 0.

ду плотна в £, то резольвентное множество оператора А' сов­

_ т ( / + т А + Ь А 2 + • • • ) ’

который сходится по норме операторов.

Радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего спектр оператора Л, называется спектральным ра­ диусом га оператора Л. Справедлива формула (И. М. Гель­ фанд)

ГА = Нш ViRMi,

П-> оо

при этом предел всегда существует. Из предыдущего следует,

п----------

что rA ^ МИ. Более того, гА ^ У|| Лл ||. На основании признака Коши ряд для резольвенты будет сходиться, если гА < |Я|, и расходиться, если гА > |Я|. В частности, ряд

(/ - А )'1= - /? ,= / + А + A2-f ...

оператора в пространстве С[0, 1] является интегральный опера­ тор Вольтерра

функция.

Пусть Яо— изолированная особая точка резольвенты RK зам­ кнутого оператора Л. Тогда существует разложение резольвенты в ряд Лорана

/?x=S(A .-a.o)M *.

— оо

При этом ограниченные операторы Ап{п — 0, ±1, ±2, ...) коммутируют друг с другом и с оператором А и удовлетворяют

и если е0 Ф 0, то в0 называется собственным элементом опера­

тора Л, отвечающим собственному числу Яо. Элементы ей ...

,удовлетворяют соотношениям

Лв1= Я0в1+ в0> Ае2 = k0e2-h еи ..., Aek- { = X0ek- {+ efe_2

и называются присоединенными элементами к собственному эле­ менту во.

Если для ограниченного оператора Л точка Яо — изолирован­ ная особая точка резольвенты и оператор Л_i конечномерен, то Яо — полюс резольвенты.

Пусть Р — проекционный оператор. Тогда

Отсюда, в частности, видно, что для ограниченного оператора вычеты в полюсах резольвенты могут быть и бесконечномер­ ными.

Для ограниченного оператора резольвента имеет на беско­ нечности нуль первого порядка; если оператор Л неограничен,

118 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

то его резольвента имеет особую точку на бесконечности. Если эта особая точка изолированна, то она является существенно особой. Множество, состоящее из спектра неограниченного опе­ ратора А и бесконечно удаленной точки, называется расширен­ ным спектром оператора А. Расширенный спектр оператора все­ гда не пуст.

Пусть X есть общая регулярная точка двух замкнутых ли­ нейных операторов А и В. Если D(B) =э D{A), то

RK(В) - R* (А) = Rx(В) (А - В) /?х (А).

Это соотношение называется вторым резольвентным тожде­ ством.

Если X— регулярная точка А и D(B) = D ( A ), то X является

Ai спектра Л (Л) оператора А называется спектральным множе­ ством, если она одновременно является замкнутым и открытым непустым подмножеством спектра.

Пусть Ai — ограниченное спектральное множество. Тогда существует замкнутый спрямляемый жорданов контур Гь ле­ жащий целиком в резольвентном множестве оператора Л, со­ держащий внутри себя множество Ai и не содержащий внутри себя точек дополнения А2 = А —Ai. Ориентация контура выбрана так, что при обходе множество Ai остается слева. Ин­ теграл

р‘ = ~ т Ы ы А^

Г,

спектр которого совпадает с Л2. Таким образом, изучение опе­ ратора А сводится к изучению ограниченного оператора Ai и замкнутого оператора А2.

Если Ль Ал —несколько попарно непересекающихся ограниченных спектральных множеств, то оператор А разла­ гается на k ограниченных операторов Аи действующих в инва­ риантных подпространствах £* (*=1, ..., 6), и замкнутый оператор Ak+i. При этом, если оператор неограничен, то Ek+ Ф

тром оператора Лг*служит множество Л* Пусть, например, расширенный спектр оператора А состоит

из конечного' числа точек Ки . . *, А*, оо. В соответствии с пре­

Операторы Ai — AP{ ограничены. Резольвента ДЦЛ) допускает представление

Д Ц Л ) = 2 № ( Л ) + / ^ И).

1=1

120 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Практически важным классом операторов являются опера­ торы, у которых резольвента /?а,0(Л) является вполне непрерыв­

рывна. Оператор, имеющий вполне непрерывную резольвенту, является замкнутым неограниченным (в случае бесконечномер­ ного пространства Е) и имеет спектр, состоящий из изолирован­ ных точек. Каждая точка спектра является полюсом резольвен­ ты и собственным числом оператора А. Нуль-пространство

истинным подмножеством пространства Nh(fa). Если область

Ли т е р а т у р а : [25], [27], [50], [58].

3.Классификация точек спектра. Если Я принадлежит спект­ ру оператора Л, то по определению это означает, что для урав­ нения с параметром А х — %х — у нарушено одно из свойств однозначной, корректной или плотной разрешимости. Приняты следующие определения: если это уравнение неоднозначно раз­ решимо, то говорят, что Я принадлежит точечному спектру опе­ ратора А; если однозначно, но не плотно разрешимо, то Я при­ надлежит остаточному спектру оператора Л; если однозначно,

плотно, но не корректно' разрешимо, то Я принадлежит непре­

определен на плотном в Е множестве, но неограничен. Следует отметить, что эта классификация точек спектра достаточно гру­ ба и не отражает всего многообразия свойств разрешимости уравнения Ах — Хх = у.

Таким образом, вся комплексная плоскость разлагается в сумму четырех взаимно непересекающихся множеств: резоль­ вентное множество, точечный, остаточный и непрерывный спектры.

Если оператор задан каким-либо аналитическим выраже­ нием, то структура его спектра существенно зависит от того пространства, в котором он исследуется. Например, операция дифференцирования порождает в пространствах функций f(s) на (—оо, <х>) оператор, определенный как d/ds на множестве всех абсолютно непрерывных -на каждом конечном интервале функций, принадлежащих вместе со своей производной соответ­ ствующим пространствам. В пространствах См(—°о, <х>),