книги / Функциональный анализ

дробной степени Ла оператора Л,_то он подчинен А с порядком а; если В допускает замыкание В и подчинен А с порядком а, то В подчинен дробной степени ЛР при р > а с порядком а/р.

Для самосопряженных операторов в гильбертовом простран­ стве эти утверждения уточняются (см. гл. IV, § 9, п. 3).

Ли т е р а т у р а : [34], [36], [58].

4.Экспоненциальная функция, группы операторов. Если опе­ ратор Л, действующий в банаховом пространстве £, ограничен, то, как отмечалось в п. 1, можно ввести с помощью ряда экс­ поненциальную функцию

e™ = \ + t A + - ^ A * + ... + - £ - А П+ ...

Эта функция непрерывна по t в смысле нормы оператора и удовлетворяет групповому соотношению

gtAg%A — ^(f+т) А

Можно поставить более общий вопрос об изучении однопа­ раметрических непрерывных по норме групп операторов, т. е. семейств операторов U(t) (—оо < t < оо), непрерывно по нор­ ме зависящих от t и удовлетворяющих соотношению

Оказывается, что каждая такая группа представима в виде U (t ) — etA, где Л — ограниченный* оператор. Чтобы найти Л, можно заметить, что t/(0) = / , поэтому при малых t оператор U(t) будет иметь спектр в окрестности единицы и для него можно построить In U(t). Оператор Л = (l/t) \п U(t) не будет зависеть от t и будет являться искомым. Другой подход осно­ ван на том, что группа U(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению для экспоненты

поэтому оператор Л можно определить как производную от группы U(t) в нуле. В связи с этим оператор Л называется ин­ финитезимальным оператором или инфйнитезимальным произ­ водящим оператором или, короче, производящим оператором группы U(t).

Дальнейший важный шаг в исследовании экспоненциальной функции состоит в^ отказе от непрерывности ее по норме. Рас­

операторной топологии. Этот объект оказывается значительно более богатым. Производящий оператор А снова вводится как производная группы в нуле, а точнее

lim i ( U ( h ) - / ) x

h -> 0 п

на тех л; <= £, для которых предел существует. Если группа не является непрерывной по норме, то оператор А неограничен, но является замкнутым с плотной областью определения. Группу U(t) можно рассматривать как экспоненциальную функцию от Л, например, в следующем смысле: существует всюду плотное множество элементов х, на котором

Имеется полное описание производящих операторов: для то­ го чтобы линейный оператор А был производящим оператором однопараметрической сильно непрерывной группы операторов,

Один из приемов построения группы по ее производящему оператору состоит снова в применении интеграла Коши, кото­ рый в этом случае пишется в следующем виде:

При x <=D(A) и t > 0 этот интеграл сходится в смысле глав­ ного значения и определяет на плотном в Е множестве D{A) ограниченный оператор, который замыканием доопределяется

гично, меняя знак у.

Имеются и другие способы построения группы по произво­ дящему оператору, которые в п. 5 будут приведены в более общем случае.

Для ограниченного оператора А функция -еХА может быть определена тем же рядом и для комплексных t и является це­

лой аналитической функцией со значениями в L(E,E). Сильно непрерывная группа может уже не быть аналитической и даже как функция со значениями в L(E, Е) может не быть диффе­ ренцируемой. Если такая группа аналитична, то она обяза­ тельно порождена ограниченным оператором и непрерывна по норме.

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [36], [58].

5.Экспоненциальная функция, полугруппы операторов.

Дальнейшее обобщение понятия экспоненциальной функции от оператора велось в том направлении, что отказались от требо­

вания, чтобы она была определена при отрицательных t. В свя­ зи с этим возникли следующие определения: семейство ограни­ ченных операторов U(t) ( ^>0) , действующих в банаховом пространстве Е, называется сильно непрерывной однопарамет­ рической полугруппой операторов, если U(t) сильно непрерывно

полугруппы также вводится понятие производящего оператора как производной справа от полугруппы в нуле.

Для того чтобы линейный оператор А был производящим оператором полугруппы U(t) с С0-условием, необходимо и до­ статочно, чтобы он был замкнутым с плотной в Е областью определения, имел спектр, лежащий в полуплоскости ReX^oo, и резольвенту, удовлетворяющую условиям

(условие Хи л л е — Иосида) .

Для полугруппы U(t) справедлива оценка

произвести с помощью интеграла Коши, написанного выше для случая группы. Имеются и другие формулы, показывающие

134 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

связь между полугруппами и экспоненциальной функцией, на­ пример:

Простейшие примеры групп или полугрупп возникают при рассмотрении операции сдвига аргумента в различных про­ странствах функций, определенных на вещественной оси или

зуют сильно непрерывную группу. Эти же операторы обр4,зуют сильно непрерывную полугруппу операторов, удовлетворяющую

Группу или полугруппу с такими же свойствами образуют опе­ раторы сдвига в подпространствах пространств См (—-оо, оо) и См (0, оо), состоящих из всех непрерывных ограниченных и рав­ номерно непрерывных на оси (соответственно, на полуоси) функ­ ций. Производящим оператором групп или полугрупп сдвигов является оператор дифференцирования, определенный на всех абсолютно непрерывных на каждом конечном отрезке функциях с производными, принадлежащими тем пространствам, в кото­ рых рассматриваются эти группы или полугруппы.

Первая из приведенных выше экспоненциальных формул, например, приводит к таким результатам.

Если U(t) — оператор сдвига, то оператор

AJ = ± [ U { h ) - I ] f = ±[f(s + h ) - f (s)} = | Ahf (s)

дает первую разделенную разность функции f, а его п-я степень дает n-ю разделенную разность

>П

Anhf = Jn 2 ( - 1Г * Clf (х +k h ) = ± Ajf (8).

Тогда справедлива формула

Если функция ограничена и равномерно непрерывна на оси, то

нем в L p . Написанная формула может рассматриваться как пря­ мое обобщение формулы Тейлора на неаналитические функции.

Если полугруппа U(t) удовлетворяет С0-условию и дополни­

ляются ограниченными операторами в Е. Если, кроме того, вы­ полнено неравенство \\AU(t)\\ ^ Nt~l (0 ^ t ^ 1), то полугруп­ па U(t) допускает аналитическое продолжение U(£) в сектор комплексной плоскости, содержащий положительную полуось:

лугруппу ограниченных операторов в сопряженном простран­

изводящий оператор U(t)t то сопряженный оператор А' будет

в Е' в смысле слабой топологии и оператор А' замкнут в этой топологии.

Если обозначить через Е'0 совокупность тех элементов из Е\ Для которых U'(t)f— при tz—►() в сильном смысле, то £ '

136 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

будет замкнутым подпространством Е\ инвариантным относи­

тельно всех операторов U'(t). В пространстве Ео операторы U'(t) образуют сильно непрерывную полугруппу с Со-условием.

Пространство Ео может быть также получено как замыкание в Е' множества D (А'). Если исходное пространство рефлексив­

но, то Ео = Е'.

Наличие экспоненциальной функции от оператора позво­ ляет вычислять различные другие функции от оператора с по­ мощью обобщения преобразования Лапласа. Так, для произ­ водящего оператора А полугруппы с С0-условием резольвента

имеет вид

оо

щим оператором сильно непрерывной полугруппы, допускаю­ щей аналитическое продолжение в сектор, содержащий поло­

мально можно определить функцию от оператора f(A) фор­

мулой

оо

/И ) = J U { t ) d v .

О

В зависимости от свойств меры v и полугруппы U(t) этот ин­ теграл будет в том или ином смысле сходиться и определять оператор f(A). Приведенный выше пример дробной степени оператора А показывает, что этим путем можно определять функции, не являющиеся голоморфными в оо, чего не позво­ ляла делать схема, изложенная в п. 2.

Если U(t) является группой, то можно применять двусто­ ронние преобразования Лапласа.

Если семейство ограниченных операторов U(t) (0 < t < оо) обладает полугрупповым свойством, то из измеримости функций U(t)x при каждом х ^ Е следует сильная непрерывность полу­ группы U(t) при t > 0. Далее, из полугруппового свойства и сильной непрерывности следует существование предела

называемого типом полугруппы. Таким образом, требование сильной непрерывности полугруппы при t > 0 является естест­ венным и оно уже влечет за собой определенный характер пове­ дения полугруппы на бесконечности. В связи с этим выделение новых типов полугрупп и их классификация в основном ведется по признаку того или иного поведения полугруппы в окрестно­ сти точки t = 0. Многочисленные результаты в этом направлении изложены в книге [58].

Л и т е р а т у р а : [23], [27], [36], [58], [61].

6. Эргодическая теория. В эргодической теории исследуется поведение при оо функции от линейного ограниченного опе­

ратора U:

N- 1

m—0

Если Е — банахово пространство и операторы UN равномер­ но ограничены, то те элементы ^ е £ , для которых последова­ тельность UNx сходится, образуют подпространство простран­ ства £, совпадающее с множеством всех тех х, для которых UNX слабо компактна и

-^-Unx-+0 при п —>0.

Поэтому равномерно ограниченная последовательность опе­ раторов UN сильно сходится тогда и только тогда, когда для не­ которого всюду плотного множества элементов UNx слабо ком­ пактна, а

~ U nx —>0 при п —>оо.

При условии равномерной ограниченности для сильной схо­ димости UN в рефлексивномчпространстве Е необходимо и до­ статочно, чтобы

~ Unx -> 0 при п -> ОО

для всюду плотного множества х. Наконец, последнее требова­ ние (как и условие равномерной ограниченности UN) всегда

ляется проекционным оператором (Я2 = Р), его область значе­ ний состоит из всех неподвижных точек оператора U (Ux = x). Область значений дополнительного проекционного оператора / — Р является замыканием области значений оператора / — U. Таким образом, справедливо разложение

E = PE + R ( I - U ) .

Классические эргодические теоремы связаны со следующей задачей. Пусть £2— некоторое множество, на а-алгебре 2 под­ множеств которого определена положительная мера ц. Для про­

уо операторы UNy построенные по оператору Uf(s) = f (ф($)), сильно сходятся в пространстве Lp(£2), 1 ^ р < оо.

В частности, условия теоремы выполнены, если ф-1(2)с=2 и отображение ф' оставляет меру множества инвариантной:

мМ<0) =,Ф_1(е)- Первые эргодические теоремы относились к тому случаю,

когда £2 — фазовое пространство динамической системы, описы­ ваемой уравнениями Гамильтона. Движения системы опреде­

оставляют инвариантным «фазовый объем», т. е. некоторую ме­ ру. Для величин f, связанных с динамической системой, важным является вопрос о существовании средних

т

Более общая ситуация возникает при рассмотрении однород­ ных марковских процессов. Здесь изменение системы не являет­ ся детерминированным, а лишь задается вероятность P(t,s,e) перехода системы из состояния s в одно из состояний множества е за время t. Функции P(t,s,e) удовлетворяют уравнению Че п ­ мена — К о л м о г о р о в а

P(t + x, sf е)= J P(tf or, е)Р(т, s, da).

Каждая функция P(tySt e) порождает оператор

U(t)f(s)= j f (a) P(t, s, da).

Если, гамильтониан динамической системы не зависит от вре­ мени, то для соответствующих отображений ф/(фт(5)) =(p^+t(s).

Соответствующие операторы U(t) удовлетворяют полугрупповому соотношению U(t + т) = U(t) U(%). Ставится вопрос

о существовании предела

т

Пт U (t) f (s) dt.

Т- > ОО

Вначале этого пункта был рассмотрен дискретный аналог этой задачи, т. е. рассматривалась полугруппа степеней опера­

тора и интегральное среднее заменялось средним арифметиче­ ским. Приведенные там утверждения обобщаются на сильно

Получаемые из общих утверждений эргодические теоремы называются статистическими потому, что они устанавливают су­ ществование соответствующих пределов в интегральных метри­ ках пространств LP(Q). Более трудными, вообще говоря, яв­ ляются индивидуальные эргодические теоремы, устанавливаю­ щие существование соответствующих пределов почти во всех

140 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

точках фазового пространства £2. Ниже приводится точная фор­ мулировка статистической и индивидуальной эргодических тео­ рем для марковских процессов (в дискретном варианте).

Пусть на пространстве £2 с а-алгеброй множеств 2 и конечной

и, кроме того,

I f(s) d v = j r (s)d|l.

В ряде задач физики особенно интересен вопрос об условиях, при которых справедлива эргодическая гипотеза Больцмана

о том, что пределы f*(s), являющиеся средними по времени, рав­ ны средним по пространству. Если f*(s)= С/, то из последнего равенства вытекает, что

т. е. f* равно среднему по пространству от функции f.

Таким образом, для справедливости гипотезы Больцмана нужно, чтобы собственное подпространство оператора U, отве­ чающее собственному числу Я,= 1, было одномерным (и тогда оно состоит из констант). В марковских процессах это обеспе­