книги / Функциональный анализ
..pdf§ 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ |
211 |
Если собственные векторы оператора А образуют полную систему в пространстве Я, то говорят, что оператор имеет чисто точечный спектр. В этом случае спектр оператора состоит из множества собственных чисел и предельных точек этого множе ства.
В общем случае пространство Я может быть разбито в орто гональную сумму инвариантных относительно А подпространств Hi и Я2 таких, что в Hi оператор А имеет чисто точечный спектр, а в Я2 не имеет собственных элементов. Спектр опера тора А в подпространстве Н2 называется непрерывным спектром. Непрерывный спектр и точечный могут пересекаться. Непрерыв ный спектр замкнут.
Точки непрерывного спектра, предельные точки множества собственных чисел и собственные числа бесконечной кратности образуют предельный спектр оператора А.
Предельный спектр самосопряженного оператора состоит из одной точки 0 лишь в том случае, когда оператор вполне не прерывен. '
Все собственные значения конечной кратности, не принадле жащие предельному спектру, образуют дискретный спектр. Го ворят, что в данном интервале спектр дискретен, если все точки спектра, лежащие внутри этого интервала, принадлежат ди скретному спектру *).
Пример . В пространстве Ь2[0, 1] интегральный оператор с симметрическим ядром /((/, т), обладающим тем свойством, что
существует при почти всех / е [0, 1], порождает самосопряжен ный оператор, называемый оператором Карлемана. Этот опе ратор может быть неограниченным. Точка 0 всегда является точкой предельного спектра оператора Карлемана.
Для того чтобы точка Ко была точкой спектра самосопряженного оператора А, необходимо и достаточно, чтобы существова
ла последовательность элементов xn ^ D ( A ) с |
\\хп\\ = 1 такая, |
|
что \\Ахп — |
—►0. Для того чтобы К0 была |
точкой предель |
ного спектра, необходимо и достаточно, чтобы существовала сла бо сходящаяся к нулю последовательность элементов хп, обла дающая предыдущими свойствами.
Пусть Д = (Я0 — 6, Ко+ б) — некоторый интервал и £д — его спектральная мера. Размерность инвариантного для А под пространства ЕаН совпадает с максимальной размерностью
*) Классификация точек спектра еще не вполне |
установилась, и приня |
тая здесь несколько отличается от той, которая была |
в 1-м издании. |
212 |
ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
линейных многообразий Ф с О ( Л ) , на элементах которых вы полнено неравенство
| | ( 4 - V ) * I I < fill*II |
(*€=Ф). |
В частности, если последнее неравенство выполнено для какоголибо элемента х Ф 0, то Д содержит точки спектра А. Если спектр А в А — дискретный, то максимальная размерность мно гообразий Ф совпадает с числом собственных значений (с уче том кратности) оператора А, лежащих в А.
Ли т е р а т у р а : [1], [39], [45], [52].
6. Кратность спектра самосопряженного оператора. Спектр самосопряженного оператора А называется простым, если суще ствует элемент « е Н такой, что линейная замкнутая оболочка всех элементов вида ЕАи, где А — произвольный интервал веще
ственной оси, совпадает с Н. При этом |
элемент |
и называется |
|||||||
производящим. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если самосопряженный оператор А имеет простой спектр, то |
||||||||
существует элемент о е Я , |
на |
котором |
определены все степени |
||||||
оператора |
А и такой, что |
линейная оболочка |
элементов |
Апи |
|||||
(п = 0, 1,...) плотна в Н. Всякий элемент v, |
обладающий ука |
||||||||
занными свойствами, будет производящим. |
для любых |
х и |
|||||||
у е |
Если оператор А имеет простой спектр, то |
||||||||
Я справедливы формулы |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
х = |
J f{%)dEKu, |
У— J |
g(tydExu |
|
|||
и |
|
|
— оо |
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*» у)*= |
J / (Ч g (я,) da (Я), |
|
|
|
||
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
где |
а (Я) = |
(Еки,и), а f (К) |
и |
g{X) — некоторые функции с ин |
|||||
тегрируемым квадратом модуля по мере do{X). |
Функция |
о(X) |
|||||||
является неубывающей функцией ограниченной |
ъариации на, |
||||||||
(— оо, оо) |
.и называется спектральной функцией оператора А. |
||||||||
|
Оказывается, |
что любой |
функции |
f(X) |
(— оо < Ж |
оо) |
с интегрируемым квадратом модуля по мере do(X) соответствует некоторый элемент х, для которого
оо
х = J f (X) dEKu.
Таким образом, последняя формула устанавливает изометри ческое соответствие между пространством Н и пространством
§ 3 СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ |
213 |
L2,do всех функций f(X) на оси (— оо, оо), для которых
|
|
оо |
11/11* |
и = |
Г \f( M ? d o (K ) < со. |
^ |
2, do |
J |
|
|
— оо |
Для оператора А справедлива формула
оо
Ах — J Я/(Я)dEKu
—оо
и, следовательно, при изометрическом соответствии он переходит в оператор А умножения на независимую переменную X:
Af(X) = Xf(X),
определенный на всех функциях f ( X ) ^ L 2,do, для которых
Xf (X) <ЕЕЬ2, do-
Совокупность элементов ии и2, ... , ип называется порож дающим базисом• для оператора А, если линейная замкнутая оболочка множества всех элементов EAUk (k — 1, 2, . . . , п) сов падает с Н. Спектр оператора А называется п-кратным, если минимальное число элементов в порождающем базисе оператора А равно п. Соответствующий базис называется минимальным порождающим базисом.
Многочисленные примеры самосопряженных операторов с ко нечнократным спектром дают обыкновенные дифференциальные
операторы |
(см. § 7). |
|
|
|
||
Если ии |
..., |
ип — минимальный порождающий базис опера |
||||
тора А, то справедливы формулы |
|
|||||
|
П |
оо |
|
п |
со |
|
х = ^ |
J |
fk (^) dE^Uk, |
у = ^ |
J gk (Я) dE^k |
||
|
k=\ — оо |
|
|
k=\ — оо |
||
|
|
(X, |
у ) = 2 |
J |
f i ( h ) g i ( h ) d o {1( \ ), |
|
где |
|
|
i, /= 1 |
— оо |
|
|
|
|
ви (Я) = |
(EKut, и,). |
|
||
|
|
|
|
Матрица а (Я) = (оц(Х)) эрмитова при каждом Я(—оо < Я < оо), непрерывна слева, и разность а(р)— о(Я) при р > Я — неотрица тельно определенная матрица. Пространство Я изометрично гильбертову пространству L2>do вектор-функций /(Я) = {/^(Я), ...
...,/„(Я)} (—оо < Я < оо), для которых
£lie= S |
j /i (Я) /у(Я) da{j (Я) < ОО |
214 |
ГЛ IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
искалярное произведение введено по формуле
Поо
( f . £ ) = S |
JМ Ч 1 Й Ч |
i, j= 1—ОО |
|
причем интегралы следует понимать в особом смысле (см. [1]). Оператор Л при изометрическом соответствии переходит сно
ва в оператор умножения всех компонент вектор-функции f(k) на независимую переменную К:
П ОО
Ax = ^ J Ц н Ш Е хик.
fZ-—1■“ОО
В общем случае для самосопряженного оператора, действую щего в сепарабельном гильбертовом пространстве Я, простран ство можно представить в виде ортогональной суммы подпро странств Hh (k = 1,2,...) так, что каждое подпространство Ни инвариантно относительно оператора Л и в нем оператор А имеет простой спектр.
В заключение следует отметить, что иногда удобно пользо ваться несобственными порождающими элементами (см. [1,45]). В этом случае все формулы не изменяются, но функции о(к) могут иметь неограниченную вариацию на (— оо, оо).
Ли т е р а т у р а : [1].
7.Абсолютно непрерывная и сингулярная части оператора.
Пусть А — самосопряженный оператор и Ех — отвечающее ему разложение единицы. Элемент х называется регулярным относи
тельно Л, |
если |
функция (£\х, х) абсолютно непрерывна на |
|
(— оо, оо), |
и сингулярным, если |
абсолютно непрерывная часть |
|
функции (Е%х, х) равна нулю. |
непрерывных элементов обра |
||
Совокупность |
всех абсолютно |
зует подпространство Яа, называемое абсолютно непрерывным подпространством оператора Л; сингулярные элементы образуют
.сингулярное подпространство Hs оператора Л. Подпространства
На и Hs взаимно ортогональны и Я = Яа +
Подпространства На и Hs приводят оператор Л *). Сужение «оператора Л на На называется абсолютно непрерывной частью Л а оператора Л, сужение на Hs — сингулярной частью As опера тора А. Спектр оператора Аа называется абсолютно непрерыв ной мастью спектра оператора Л, спектр As — сингулярной частью спектра оператора Л. Собственные числа входят в син гулярную часть спектра. Как отмечалось в п. 5, пространство Hs может быть разложено в ортогональную сумму инвариантных
*) Говорят, что подпространство приводит |
оператор Л, если РА — АР |
для оператора ортогонального проектирования |
на это подпространство. |
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ |
215 |
относительно As подпространств так, что в одном из них опера тор As имеет чисто точечный спектр, а в другом только непре рывный спектр. В соответствии с этим в сингулярной части спектра выделяется точечная и непрерывная компоненты.
Говорят, что оператор А имеет лебегов спектр в Д = [а, р], если спектр сужения оператора А на подпространство £ ДЯ абсо лютно непрерывен и имеет постоянную кратность. Если Д = (— оо, оо), то говорят, что оператор А имеет лебегов спектр.
Ли т е р а т у р а : [1], [49].
8.Обобщеннные собственные элементы. В § 2, п. 6 отмеча лось, что если А — вполне непрерывный самосопряженный опе ратор, то его собственные элементы ей (/г = 1,2,...) образуют
базис в пространстве Я, т. е. при любом х е Я
|
оо |
|
* = |
2 |
C k e k . |
Формула |
k=\ |
|
оо |
|
|
|
|
|
х = |
J |
dEKx |
является обобщением предыдущей на случай любого самосопря женного оператора. Более естественным обобщением была бы такая формула:
оо
Х = J exdp(K),
где е%— элемент Я, удовлетворяющий уравнению Аех = Хе^ (собственный либо равный 0), а вес dp(X) играет роль коэффи циентов си в разложении в ряд. Однако самые простые не впол не непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие, как оператор умножения на х в L2(a,b) или оператор дифференцирования в Ь2(—оо, оо), не имеют соб ственных векторов в этих пространствах. В самом деле, если для некоторой функции у ( х ) ^ Ь 2(а1Ь) выполняется соотношение
ху(х) = Ху(х), то функция у(х) должна равняться нулю |
при |
х Ф X и может быть отлична от нуля лишь при х = X. Но в про |
|
странстве L2(a,b) нет ненулевого элемента, обладающего |
этим |
свойством. Все же оператор умножения на х имеет собственные функции, именно дельта-функции б (л: — Я), которые являются обобщенными функциями (см. гл. II, § 1, п. 3) и не принадлежат
и (а, Ь).
Приведенные примеры натолкнули на мысль искать разложе ния по собственным элементам, не принадлежащим простран ству Я. Трудность, -состоящая в том, чтобы, располагая только
216 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
понятиями, связанными с пространством Я, строить элементы, ему не принадлежащие, была преодолена следующим образом: в исходном гильбертовом пространстве Я строится более узкое
линейное топологическое |
(или |
банахово, |
или гильбертово) про |
|
странство |
Ф. Топология |
в Ф |
вводится так, что функционалы |
|
(cp, h) (h е |
Я) являются |
непрерывными |
на Ф, тогда простран |
ство Я оказывается погруженным в более широкое простран ство Ф*, в котором и ищутся собственные элементы оператора Л. Собственные элементы оператора Л, принадлежащие Ф* и не принадлежащие Я, называются обобщенными собственными элементами *).
Оказывается, что пространство Ф* может быть построено по пространству Я так, чтобы каждый самосопряженный в Я опе ратор имел в Ф* полную систему собственных элементов. В слу чае самосопряженного оператора Л с простым спектром и по рождающим элементом и разложение по обобщенным собствен ным элементам имеет при любом ( р е ф вид
оо
ф = JgOO ек do (X),
где а (А,) = (Екиуи)< а функция g(X) определяется из равенства
8 (*-) = (Ф> ек)-
Последние формулы аналогичны формулам обращения в тео рии преобразования Фурье, где роль е*, играют функции eikx и о(А) — % (см. § 2, п. 2). Справедлив аналог равенства Парсеваля
оо |
оо |
II ф IF = (ф, ф)= J I g М 2da%I = |
J I (ф, ех) 2I dav |
Для оператора с произвольным спектром формулы приобретают более сложный вид:
оооо
i=l —оо
И
оооо
II фIf = 2 J | ф. 4 °|2<М.г)-
г=1 — оо
*) Тройку пространства Ф, Н и Ф* ( Ф с Я с Ф*) называют оснащенным гильбертовым пространством•
§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ |
217 |
Если оператор А имеет лебегов спектр, то во всех формулах можно заменить do(k) на с суммируемой на любом ко нечном интервале функцией р(Я).
Ли т е р а т у р а : [3], [14], [15].
§4. Симметрические операторы
1.Понятие симметрического оператора, индексы дефекта. Ли нейный оператор А с всюду плотной областью определения D(A) называется симметрическим, если
{Ах, у) = {х, Ау)
при любых х, у <= D (Л).
Всякий самосопряженный оператор является симметриче ским, но не наоборот. Область определения оператора Л*, со пряженного к симметрическому оператору Л, может быть шире, чем область определения оператора Л. На D{A), очевидно, Ах = Л*х, поэтому оператор Л* является расширением опера тора Л.
Симметрический оператор всегда допускает замыкание, и его замыкание является снова симметрическим оператором. Если симметрический оператор определен во всем пространстве, то он ограничен. Если область значений симметрического оператора совпадает со всем пространством, то он самосопряжен.
Точка |
h называется точкой регулярного |
типа для |
операто |
||
ра Л, если |
|
|
|
|
|
|
|| Ах — К0х || > |
k || х ||, |
k > |
О, |
|
при всех |
х е й ( Л ) . Другими |
словами, это |
означает, |
что опе |
|
ратор Л —Я0/ имеет ограниченный |
левый |
обратный. Если, |
кроме того, оператор Л замкнут, то область значений 3№л0 оператора Л —Я0/ будет замкнутым множеством. Если 9йл0 совпадает со всем пространством, то точка Я0 будет регуляр ной точкой оператора Л. Ортогональное дополнение Шь0 к под
пространству |
a)tfc0 |
называется |
дефектным подпространством. |
|
Размерность |
Шх0 дефектного |
подпространства |
называется |
|
дефектным числом |
оператора |
Л в точке Я0. |
|
Если для симметрического оператора дано связное множе ство точек регулярного типа, то во всех точках этого множества дефектные числа одинаковы. Все невещественные числа являют ся для симметрического оператора точками регулярного типа, поэтому дефектные числа п+ во всех точках верхней полуплоско
сти будут одинаковы. Аналогично одинаковы дефектные |
числа |
|
/г_ во всех точках нижней полуплоскости. Числа |
и п- |
назы |
ваются индексами дефекта симметрического оператора. Если на вещественной оси имеется хотя бы одна точка регулярного типа, то п+ = П-.
218 |
ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
Замкнутый симметрический оператор будет самосопряжен ным в том и только в том случае, когда его индексы дефекта равны нулю. Пара чисел (п+, п_) (конечных или бесконечных) показывает степень отклонения симметрического оператора от самосопряженного.
Следует отметить, что дефектные подпространства %,0 со стоят из всех решений уравнения
А у = Х0у.
Таким образом, индекс дефекта п\0 совпадает с числом ли нейно независимых решений этого уравнения.
Ли т е р а т у р а : [1], [24], [45].
2.Самосопряженные расширения симметрических операто ров. Возникает вопрос о том, можно-ли всякий симметрический оператор расширить до самосопряженного. Ответ следующий:
для того чтобы симметрический оператор можно было расши рить до самосопряженного, необходимо и достаточно, чтобы ин дексы дефекта п+ и оператора были одинаковы.
Как указывалось выше, это, например, будет иметь место, если на вещественной оси имеются точки регулярного типа.
Следует отметить, что здесь шла речь о расширении опера тора в исходном гильбертовом пространстве Н. В п. 4 будут рассмотрены расширения с выходом из пространства Н.
Пусть Ао — замкнутый симметрический оператор. Всякое сим метрическое и, в частности, самосопряженное расширение опера тора А0 является сужением оператора А'0. Поэтому при по
строении такого расширения возникает вопрос не о том, как его доопределить на новых элементах, а только о том, какова
его область определения, т. е. на к а к и х элементах из D(AO) его следует доопределить. Чтобы найти самосопряженные рас
ширения оператора Л0, нужно в О(Л0) найти такие линейные
подмножества, содержащие D(A), на которых оператор Ло по рождает самосопряженный оператор.
Оказывается, что множество £)(Л*) имеет следующую струк туру:
й(А*) = й (А )№ ь ® Щ >
где X— какое-либо невещественное число. Сумма, стоящая спра ва, является прямой, т. е. любой элемент y ^ D ( A * ) представим единственным образом в виде
y = x + zl + zl ,
где х <= D (Л), z%<= и z%<= Щ.
§ 4. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ |
219 |
Если индексы дефекта п+ и п_ равны, то любое самосопря женное расширение А оператора А0 может быть построено сле дующим образом: выбирается некоторый линейный оператор
1/, изометрически отображающий пространство У1К на 5ft |
Тогда |
область определения D(A) оператора А будет состоять |
из веек |
элементов вида |
|
y = x + zK+ Vzv |
|
где x<=D(A) и 2*6=9^.
Как уже отмечалось выше, значения оператора А будут' совпадать со значениями оператора Л*, т. е.
Ay = А0х + XzK+ kVzK.
Если индексы дефекта не равны и, например, п+< я_, то приведенная конструкция дает все максимальные симметриче ские расширения оператора Л0, т. е. такие симметрические расширения, которые не могут быть дальше расширены с со хранением симметричности.
Описанный здесь метод построения самосопряженных рас ширений принадлежит Дж. Нейману . Практически он являет ся мало эффективным, так как требует нахождения решений
уравнения А*у = Ху и построения изометрического оператора V. В следующем пункте рассматриваются другие методы по
строения самосопряженных расширений.
Ли т е р а т у р а : [1], [24], [45].
3.Самосопряженные расширения полуограниченных опера-* торов. Симметрический оператор А0 называется полуограничен ным снизу, если при любом x e D (i4 0)
(А0х, х ) ^ а ( х , х).
Все вещественные числа, не превосходящие числа а, будут точками регулярного типа, поэтому индексы дефекта оператора A Q одинаковы.
При построении самосопряженных расширений оператора A Q без ограничения общности можно считать его положительно определенным, т. е. таким, что а > 0. В противном случае мож но перейти к оператору AQ+ kl с достаточно большим положи
тельным k. Если A Q -j- kl будет самосопряженным расширением
этого оператора, то А0+ k l — kl будет самосопряженным рас ширением оператора А0.
Пусть оператор AQ положительно определен. В его области определения D ( A Q) м о ж н о ввести новое скалярное произведение по формуле
[*, у] = (АоХ, у).
220 |
ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ |
Пополнение D(A0) по норме, порождаемой этим Скалярным произведением, будет гильбертовым пространством Я0. Оказы вается, что присоединяемые при пополнении элементы естест венным образом отождествляются с некоторыми элементами из Я, и поэтому Но можно рассматривать как линейное подмноже ство пространства Я. На пересечении этого подмножества Я0
с областью определения сопряженного оператора D(A*O) опе
ратор Ло является самосопряженным. Таким образом, полу чается самосопряженное расширение Ад оператора Л0, являю
щееся сужением сопряженного оператора Ло на Я(Л(А) = Я0 П
П D(A*O). Оператор Лц называют фридрихсовым или жестким расширением оператора Л0. Оператор Лц положительно опреде лен и имеет ту же нижнюю грань, что и оператор Л0:
{А^х, х ) ^ а ( х , х).
Жесткое расширение Лд является наиболее простым. Для его построения ничего не нужно знать, кроме формы (А0х,х), по рождаемой оператором Л0. В связи с этим метод Фридрихса построения самосопряженных расширений стал одним из ос новных в теории уравнений с частными производными. Для бо лее детального описания области определения жесткого расши рения приходится более детально изучать характер сходимости,
порождаемой нормой У(Л0я, х) на Я(Л0), и структуру области
определения оператора Ло (см. §§ 7 и 8).
Множество Но является областью определения корня квад ратного из оператора Ли:
H0 = D{Af).
Для любого положительного самосопряженного расширения А оператора Л0 область определения D(Alf2) содержит множест во Но. Жесткое расширение обладает следующим экстремаль ным свойством: для любого самосопряженного положительно определенного расширения А оператора Л0
(Л^!х, х )^ (Л _1х, |
х). |
Существенную роль играет оператор |
В = Л” 1— А^\ кото |
рый в силу предыдущего является ограниченным положитель |
ным самосопряженным оператором. На /?(Л0) оператор В равен нулю и, следовательно, его можно рассматривать как оператор,
действующий в ортогональном |
дополнении |
U к /?(Л0): |
H = R(A0)®U |
и BU a |
U. |
Подпространство U является дефектным подпространством 5fto, оно состоит из всех решений уравнения А*и = 0 в Я.