Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Функциональный анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2023

Размер:

24.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ

171

в	предыдущем	пункте)	наборов	Ф = {f,		go,		. . . ,	g m- 1} парал
лельно подпространству			наборов	V =	{v,	Sov,		... ,	где
v	пробегает Л/(91+). Оператор Qm-i				также		действует и непре
рывен во всех пространствах
	Hlp(Q) X	т — 1			( - о о		<	/ <	оо).
	Hlp(Q) X	П Hlm~mr ' lP+l (Г)			( - о о		<	/ <	оо).
		/=о

Основное утверждение предыдущего пункта можно теперь сформулировать так: для регулярной эллиптической краевой задачи_замыкание оператора %(А,В) при s ^ 0 взаимно одно значно и взаимно непрерывно (г. е. гомеоморфно) отображает

пространа во PH2pm+s(Q) на пространство

Q+ (я* (Q) х П B2;n~mr llp+S(Г)) .

Во многих задачах приходится решать эллиптические урав нения, содержащие в правых частях негладкие функции или даже обобщенные функции. Так, например, задача об отыска


нии	функции	Грина,	отвечающей эллиптическому		дифферен
циальному выражению			А ( х , D)	и системе граничных выраже
ний	B j ( s , D ),	имеет	вид А ( х ,	D ) U = 6XQ (X ) и B J-(S ,Z ))W =		О
/ =	(0, ..., m — 1), где 6Х0 (*) — функция Дирака				(см. гл.	II,

§ 1, п. 3). В связи с этим описанный выше набор гомеоморфиз

мов требуется		расширить. Ниже описываются некоторые резуль
таты, полученные в этом направлении.									__
Вводится пространство Hlp(Q) как пополнение C°°(Q) по
норме						2m—1		, UP
	\u\Ui		—	U\fi			dU
						S
	1Up(Q)			пЯп (О) +			dyJ Bi-i-UP ( Г ) ^
						/=О
Если	l^ 2 m ,	то,	в силу теоремы о следах (см. гл. II, § I, п. 5)
эта норма эквивалентна					норме в		Hlp(Q) и поэтому^ Hlp(Q) =
— Hlp{Q) при / ^			2пг. При		О< I < 2m пространство				Hlp(Q) изо-
метрично подпространству								m—1
					пространства Нр(Q) X П				я ^ /_1/р(Г),
при	О	Н1Р(0)		изометрично			пространству-		Hlp(Q) X
2m—1			Введенная			норма	удобна тем, что любое
X П	Н1Р 1 1/р (Г).
/=°

дифференциальное выражение порядка г4^2пг или граничное

выражение порядка r - <2m— 1 порождает	на множестве
С°°(й) оператор, замыкание которого является	ограниченным

172	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

оператором, действующим из пространства H lp (Q ) в простран

стве Hlp~r (Q) или Яр-г-1/р(Г) соответственно.

Предельным переходом формула Грина (см. п. 3) обобщается

на тот случай, когда и е Я р (й ) и у е Я { " 2т(а), где / — любое целое число.

На пространствах H lp (Q ) также определяется проекционный оператор Р, о котором выше шла речь. При любом целом s оператор 91 (Л, В) осуществляет гомеоморфное отображение

пространства P H 2pm + s (Q ) на пространство

Q+ (H SP (Q) Х П B2pmmr llp+s (Г)) .

Интерполяционные теоремы (см. § 4, п. 3) показывают, что оператор 21 (Л, В) при нецелых s гомеоморфно отображает на пространство

Q + ( H SP (Q ) X Д B 2pmmr ,fp + s ( T )j

пространство, полученное методом комплексной интерполяции

между пространствами	PH2pm+s(Q) и P#p +1,(Q). При этом, если
s ^ O или s ^ — 2/72, то	это промежуточное пространство снова

совпадает с PH2™+S{Q).

Таким обрлзом удается определить, как меняется при ото

бражении 21 (Л, В) прообраз	пространства
Q + [ H PS (Q ) X	Д B 2pm~ mr Up+s ( r ) j

при всех вещественных s.

Для характеристики пространств H2pm+S{Q) можно указать, что они получаются из C°°(Q) пополнением по норме

W \\~2tn+s /г.. — II U \|\|		2m +s	п	“Ь \|\| Л и
Н	( О )	Нп	(О)	H p ( Q )

Ли т е р а т у р а : [102], [134].

6.Спектр и резольвента эллиптического оператора. В этом пункте рассматривается оператор, порожденный регулярной краевой эллиптической задачей с однородными краевыми усло виями

А(х,	D)u = f	в	Q,
Bj(s,	D)u = 0	на	Г (/ = 0,	m — 1).

§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ

173

Оператор А рассматривается как оператор, действующий в про

странстве	LP(Q) ( 1 < р < о о ) , заданный формулой Аи =
= А(х, D)u	на области определения #p™P(Q). Это линейный
замкнутый неограниченный оператор.

Может случиться, что оператор А не имеет ни одной регу лярной точки. Если у него существует хотя бы одна регулярная точка Я0> то из неравенства коэрцитивности для оператора

А(х, D) — Ко и теорем	вложения	немедленно вытекает, что ре
зольвента R \ (Л) — ( А	— Яо/)” 1	является вполне непрерывным

оператором и, следовательно, спектр оператора А является чи сто точечным и дискретным. Резольвента /?х(Л) является мероморфной функцией, операторы в главной части ее разложения в ряд Лорана конечномерны.

Имеется следующий достаточный критерий существования

регулярных	точек: пусть для некоторого 0 (—я ^ 0 ^ я) вы
полнены условия:
О \| аА	gjj Ф ew при всех \ ф 0 и JteQ ;

2) многочлены В) (s, | + T V ) о т переменного т линейно не зависимы по модулю каждого многочлена

			m
			П		I,	X)),
			i=\
в котором arg% = 0, a t f (s,					К) — корни многочлена A '(s, \|				+'
'_\|_TV)— ^		лежащие в верхней полуплоскости.						значения К	на
Тогда		все	достаточно	большие		по	модулю	значения К	на
луче	argA =		0 являются	регулярными			точками	оператора	А.
Для	его резольвенты в пространстве LP(Q) справедлива оценка
		\|\|^(Л )Ц <С \|Л Г1			(arg^ = e,
В пространстве L2(Q)				условия 1), 2)			являются и необходи

мыми для справедливости приведенной оценки на резольвенту.

Условия 1), 2)	допускают	эквивалентную		формулировку.
В (п + 1)-мерном	пространстве	точек	{x,t)	рассматривается
цилиндрическая область Q X ( —00, 00)			и в ней дифференциаль
ное выражение

A ix, D) - e « ( l ± ) ™ .

Условие 1) означает, что это выражение эллиптично. Условие

(2) равносильно тому, что граничные выражения B}(s,D) во всех точках границы Г Х (—°°> °о) удовлетворяют условию накрывания относительно этого эллиптического выражения.

174	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Оценка на резольвенту выводится из более общего неравен ства, являющегося следствием неравенства коэрцитивности для написанного выражения от а + 1 переменного:

2 I Я, t mmII « \\H (Q) < сII (А - XI) и II	Lp(Q)	.
/=0	Lp(Q)

Пусть теперь существуют N лучей arg Я == 0а (k = 1, ..., N), для каждого из которых выполнены условия 1), 2) и которые делят комплексную плоскость на секторы с углами, не превос ходящими 2ттс/п. Тогда собственные функции оператора А и присоединенные к ним будут одними и теми же в простран ствах LP(Q) (1 < р < оо). Они образуют полную систему в ка ждом пространстве LV(Q) и, более того, они образуют полную

систему и в каждом пространстве //pmrp (Q).

Если для некоторого луча arg^ = 90 не выполнено хотя бы одно из условий 1) или 2), а для всех лучей в окрестности это го луча выполняются условия 1) и 2), то в направлении луча arg^ = 0o происходит сгущение собственных чисел оператора/!.

Если исходная задача является формально самосопряжен

ной, т. е. А (х, D) = А+ (х, D) и		Bf (х, D) = Вf (х, D)	(/ = 0, ...
..., га — 1), то условия 1)	и 2)	выполнены при всех 0 (кроме,
быть может, 0 = 0 и 0 = я),	и оператор А является		самосопря

женным и имеет вещественный дискретный спектр. В этом слу чае коэффициенты А'(х,Ъ) вещественны и можно предположить, что А' (х, |) > 0 (I ф 0). Тогда для того, чтобы собственные числа были ограниченными снизу, необходимо и достаточно, чтобы условия 1) и 2) выполнялись при 0 = я. Бывают регулярные самосопряженные эллиптические краевые задачи, в которых спектр неограничен снизу и сверху.

Если главные части операторов А(х, D) и {Bj (si D)} обра зуют формально самосопряженную систему, то, так как усло

вия 1) и 2)	зависят только от главных частей, они будут снова
выполнены	при О < \| 0 \| < я . Собственные и присоединенные

функции оператора А образуют полную систему во всех про

странствах LP(Q) и Н2ртГр(£2) (1 < р < оо). Положительная по луось (при условии Л'(х, £) ;> 0) является направлением сгу щения собственных чисел. Отрицательная полуось не является

или	является	направлением сгущения	в зависимости	от того,
выполнены или не выполнены условия			1), 2) при 0 =	я. В лю
бом	секторе	*0 < е \|arg Х\ ^ я — е	имеется лишь	конечное

число собственных чисел и для достаточно больших по модулю \К\ справедлива оценка

\ \ R x ( A ) \ \ < с в \ К \ ~ 1.

Л и т е р а т у р а : [116], [140].

§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ

175

7. Эллиптические системы. Рассматривается система линей ных дифференциальных выражений

N
k=\	Aik (х, D) ик(х)	(1= 1,	N).
2

Этой системе отвечает полиномиальная по g матрица (Aik(x, g)),

по	которой строится		квадратная /V X N матрица главных						ча
стей (AM (х, g)) с определителем
		Х(х, l) =			det (A'ik(x,	!)).
	Пусть	T = (ki,	kN)— какая-либо			перестановка		из чисел
(1,	N) и /?(r) =		aUj+	••• + aNkN> где			afft — порядок мно
гочлена		A'ik(x> £)• Через		R	обозначается		максимум	R(T)	по

всем перестановкам. Система называется невырожденной, если число R совпадает с порядком многочлена %(х, g). Число R на зывается порядком системы.

	Система называется эллиптической в области й, если она
невырождена и главная часть				характеристического мно
гочлена %(х, g) не равняется				нулю при любых х ^ Й			и g Ф 0.
Sj,	Для эллиптической системы можно подобрать целые числа
	... ,	sN, tlt ... , tN так, что aik ^ S i + tk и			s{+ ...		+ sN +
+	tl +	... -j- tN= R. Главной		частью матрицы	(Aik(x> g)) назы
вается		матрица (Л?* (X, I)), где A°ik(xt g) — сумма				всех	членов
многочлена Aik (х, g), порядок которых равен st +						tk (если таких
членов		нет,	то А% = О). Для	эллиптической системы %0(х, g) =
=	det (A°ik(x,		l)).
	Условие правильной эллиптичности требует, чтобы много
член %0(*>ъ)			был четным (R = 2т) и чтобы при любых фикси

рованных линейно независимых векторах g' и g" и любом х <= й

многочлен хо(^х+ т^,/) от т	имел	ровно т корней в верхней
полуплоскости.
Рассматривается т граничных дифференциальных выра
жений
N
2 Btq(s, D)uq	(\|' = 1........ m; s e r ) .
<7=1
Пусть miq — порядок'многочлена		Bjq(s, g). Вводятся	числа
mi = шах {ffijq— tq). Тогда	mjq^.nij + tq. В каждом		много-
1 < < 7 < Л Г

члене Bjq(s, g) отбрасываются все члены, имеющие порядок меньше, чем m7*+ tq> Матрица из оставшихся многочленов (S/^(s, g)) называется главной частью матрицы (B,jq(s, g)).

176	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Условие накрывания или условие дополнительности состоит в том, чтобы строки m X N матрицы

(B%(s, i + тv))-(S&(s, g + Tv)X

где 51li (s, £) — алгебраическое дополнение к А% (s, |) в матрице

I)),		были	линейнотп независимыми как многочлены от т
по модулю		многочлена XI(т —т+ (s, £)), где т+ (s, £) — все корни
многочлена		Xo(5>£ + TV)>		лежащие			в	верхней	полуплоскости.
Здесь v —- орт нормали к поверхности								Г.
Краевой задаче
	2k	Aik {х, D) ик = ft			в	Q	(г = 1, . .			N),
	Ъ В /gis, D)uq = g,				на	Г	( / =1, ....			щ)
	Я
отвечает	оператор 51 (Л,			В),	отображающий				набор		функций
(и{, . . uN), в котором				uk <=Hlp+tk(Q)				(1 < / 7	<	оо),	в набор
функций	(ft, . .		fN; gu	• •	gm)> в		котором				и
gk е В1~тк~11р(Г).			При	этом		предполагается,				что	0 и
l > m a x m k, и поэтому все числа / — mk — l/p>0.

Один из основных результатов теории эллиптических систем состоит в том, что при выполнении условий эллиптичности и правильной эллиптичности системы и условий накрывания для граничных выражений оператор 51 (Л, В) является нетеровым

N	m	пространства	k=\	Wl*tk (Q) в	пространство
как оператор из			XI
XI Wl~8*(Q) X П		Wl~m ~{lP(Г).	Для	оператора,	порожденного
краевой	задачей	для эллиптической системы, также имеются
теоремы о наборе осуществляемых им гомеоморфизмов.
Л и т е р а т у р а :		[118], [137], [141].
8. Индекс эллиптического			оператора. Поскольку оператор
51 (Л, В),	порожденный эллиптической краевой				задачей, яв

ляется нетеровым, то возникает вопрос о вычислении его ин декса (см. § 1, п. 7). Индекс не изменяется при малых изме нениях коэффициентов эллиптической задачи, т. е. является ее топологическим инвариантом. В п. 6 для оператора, порожден ного одним эллиптическим выражением, были приведены до статочные условия того, что резольвента его вполне непрерыц-

§ 6. ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ

177

на, и следовательно, оператор имеет индекс 0. Решение пробле мы о вычислении индекса операторов эллиптических задач было одним из замечательных достижений алгебраической топологии последнего времени. Оно требует привлечения большого топо логического аппарата и здесь изложено быть не может. Однако ниже этот вопрос излагается при некоторых упрощающих пред положениях, которые позволяют свести проблему к обозримым топологическим утверждениям.

Правильно эллиптическая система дифференциальных выра жений

3 j A ik{x,D)uk

рассматривается во всем пространстве Rn. Предполагается, что при больших значениях х ( \ x \ ^ k ) система переходит в сле дующую простую систему

(— Л + 1 Г « ,	=
П
где Д — оператор Лапласа^]	• Матрица	хуп (Aik(x, £))

будет невырожденной при | *| 2+ |£|2= k. Таким образом, воз никает отображение сферы S2n_1 2н-мерного пространства в группу GL(N, С) неособенных комплексных матриц порядка JVXM Всевозможные такие отображения распадаются на классы гомотопных друг другу отображений, т. е. переходящих друг в друга с помощью непрерывной деформации. Совокуп ность всех таких гомотопических классов приводится во взаим но однозначное соответствие с множеством всех целых чисел следующим образом: для каждого отображения Ф определяется его степень deg®, являющаяся целым числом; если степени двух отображений равны, то отображения гомотопны.

Степень отображения	S2n~l — ■>GL{N> С), порожденного
эллиптической системой,	равна индексу нетерова оператора

51 (Л), порожденного этой системой.

Для описания процесса вычисления степени отображения Ф следует предварительно заметить, что путем дописывания к си стеме новых независимых простых дифференциальных выраже ний можно число N увеличить, чтобы было N ^ п. В этом слу чае матрицу Ф(л\ g) = (Gik(xf g)) можно непрерывной дефор мацией преобразовать к матрице вида

178	ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

где H = {Hik(x,l)) — унитарная матрица порядка п. Рассма

тривается, например, первая строка этой матрицы (Яп (лг, £),...

Hln(x,Q). В	силу унитарности 2k\| Hik (х, \|) \|2^		1.	Таким
образом, точка	с координатами	(Re Ни, 1т Нп,		ReHln,
Im Hln) = 4я (х, &)	лежит на сфере	S2""1 пространства	R2n. Ис
ходное отображение Ф(д;, £,) порождает отображение				Чг (л:, \|)

сферы S2n~l в сферу S2n~K Для такого отображения известно

понятие	его степени,	которая,	грубо	говоря, равна	алгебраи
ческому	числу точек	первой	сферы,	переходящих	в	одну и
ту же точку второй сферы. Тогда
	ind Я (А) = deg Ф =
Сформулированное выше предложение об индексе оператора
Я (Л) относится к оператору,			порожденному системой			диффе
ренциальных выражений, например, в пространствах						ИРЦ/?")
(см. гл. II, § 1, п. 5).

Л и т е р а т у р а : [117].

Г Л А В А IV

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§	1.	Абстрактное	гильбертово пространство
1 . Понятие		гильбертова	пространства. Пусть	Н — линейная
система с	умножением на		комплексные числа,	каждой паре

элементов которой поставлено в соответствие комплексное чис


ло (х,у),		обладающее свойствами:
а)	(х, у) =		(у, х)у в частности, (х, х) вещественно;
б)	(*i + х 2, y) = (xi,y) + (x2, у)\			числа	Х\
в)	(Хх, у) =		Х(х, у) для любого комплексного
г)	(х, х) ^		0, причем (лг, х) == 0 только при х =	0.
Число		(х, у) называется скалярным произведением. Если
Н — линейная			система, допускающая лишь умножение		на ве

щественные числа, то скалярное произведение предполагается вещественным.

Из аксиом а) — г) вытекают следствия:

1)	(х9У\	У2)==(х> +	.
2)	(х, Ху) =	X (х9у);

3) н е р а в е н с т в о Б у н я к о в с к о г о — Ш в а р ц а

К * ,y ) \ < V ( x , х)V(у> у)-

По скалярному произведению в Я можно ввести норму

\\x\\ = V W x ),

после чего ,Н становится линейным нормированным простран ством. Если Н бесконечномерно и полно по введенной норме, то оно называется гильбертовым пространством (комплексным или вещественным). Из определения видно, что всякое гильбер тово пространство является банаховым.

Если Н бесконечномерно, но не полно, то его часто назы вают предгильбертовым проаранством. Пополнение предгиль бертова пространства будет гильбертовым,

Л и т е р а т у р а : [1], [9], [39], [52].

180I Л. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

2.Примеры гильбертовых пространств. Как известно, в п-мер ном евклидовом пространстве скалярное произведение двух

векторов Х = {Ъи	In } и у = Ь]и Л2> • ••> Цп} обычно на
ходится по формуле	п
	п
	(я>у) = 2
	i = 1

а в н-мерном унитарном (комплексном евклидовом) простран стве— по формуле

(х, у) = 2 h 'П/* г=1

Аналогично вводится скалярное произведение в ряде беско нечномерных пространств, после чего они становятся гильберто выми.

1. Комплексное пространство /2 становится гильбертовым, если положить

оо

(х, у) = 2

2. Пространство Ь2(а,Ь) комплекснозначных функций ста новится гильбертовым, если положить

			ъ
		{X, у ) — J x(t)y(t)dt.
			а
3.	Комплексное пространство L2)9(ayb) функций, измеримых
на отрезке [а, Ь] и имеющих на этом отрезке суммируемый с ве
сом р ( 0 ( р ( 0 > 0 почти всюду)				квадрат модуля, будет гильбер
товым, если положить			ъ
			ъ
		(х, у ) = J x(t)y{f)p(t)dt.
4.	Пространства		W{ (G)	С. Л. Соболева	(см. гл. II, § 1,
п. 5) будут гильбертовыми по отношению к скалярному произ
ведению
				Day (/)) dt.
Здесь		д1х
	Dax	д1х		\| а \| = kx+ ... +	kn,
	Dax	а/?1		\| а \| = kx+ ... +	kn,
		а/?1	К п

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023778.39 Кб0Функции комплексного переменного и операционное исчисление..pdf
#
12.11.202312.71 Mб4Функции комплексного переменного..pdf
#
12.11.20239.11 Mб7Функционально-стоимостный анализ (кейсы - примеры, задания, тесты)..pdf
#
12.11.202314.84 Mб0Функциональное программирование..pdf
#
19.11.202335.37 Mб0Функциональные наноматериалы..pdf
#
13.11.202324.9 Mб33Функциональный анализ..pdf
#
12.11.20233.08 Mб0Характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов при высоких скоростях деформации..pdf
#
19.11.202329.55 Mб1Химическая технология вяжущих материалов..pdf
#
19.11.202333.32 Mб2Химическая технология неорганических веществ. Кн. 1.pdf
#
20.11.20234.58 Mб3Химическая технология неорганических веществ.-1.pdf
#
12.11.2023658.12 Кб2Химическая технология неорганических веществ..pdf