книги / Функциональный анализ

с мнимой осью. Этот спектр будет точечным в См{—сю, оо), остаточным в Li(—оо, оо) и непрерывным в Lp(—оо, оо) при

р > 1.

Если оператор А расширяется до оператора А, действующего в том же пространстве £, то точечный спектр А остается в то­ чечном спектре А, остаточный спектр при переходе от опера­ тора А к оператору А может лишь сузиться, точки непрерывного спектра А либо остаются в непрерывном спектре А , либо пере­ ходят в его точечный спектр. Регулярные точки оператора А могут возникнуть либо из регулярных точек Л, либо из точек остаточного спектра А. Иначе говоря, ни при каком расширении оператора А нельзя избавиться от его точек непрерывного и точечного спектров.

Если оператор А имеет плотную область определения, то связь между свойствами уравнения Ах — Кх = у и сопряжен­ ного уравнения A'g — Xg = f (см. § 1, п. 4) приводит к следую­ щим соотношениям: точечный спектр А содержится в объедине­ нии точечного и остаточного спектра А', остаточный спектр А содержится в точечном спектре Л', непрерывный спектр А со­ держится в объединении остаточного и непрерывного спектра А'.

Можно поставить вопрос о точках Я, при которых уравнение

Ах — %х = у будет нетеровым. Областью нетеровости опера­ тора А здесь называется совокупность всех таких Я. Область нетерорости — открытое множество. В каждой связной компонен­ те области нетеровости операторы А — Я/ имеют один и тот же индекс. Если эта компонента содержит хотя бы одну регулярную точку оператора Л, то индекс Л — Я/ при всех Я из этой компо­ ненты равен нулю, и оператор Фредгольмов. Такая компонента G может содержать лишь изолированные точки спектра операто­ ра Л, все они являются полюсами резольвенты /?х(Л), причем операторы, стоящие в главной части разложения резольвенты в ряд Лорана, конечномерны. Коротко этот факт выражают так:

функция ^х(Л) в области G коненномероморфна.

Если оператор Л ограничен, то точки Я, где |Я| > гА, регу­ лярны, и следовательно, существует компонента области нете­ ровости оператора Л, содержащая всю внешность спектрального кругами в этой компоненте оператор Л —- Я/ Фредгольмов. Ра­ диус ра наименьшего круга, вне которого оператор Л — Я/ Фред­ гольмов, называется радиусом Фредгольма оператора Л. ,Из предыдущего следует, что рА ^ га. Для вполне непрерывного оператора рА = 0. Для получения формулы для радиуса Фред­ гольма в пространстве L(E,E) вводят, например, следующую полунорму:

где inf берется по всем подпространствам М а Е у имеющим ко­ нечный дефект (конечномерное ортогональное дополнение), и А \ м означает сужение оператора А на М. Тогда

что при каждом Я оператор А (Я) ограничен и нетеров. Предпо­ лагается, что Л (Я) есть голоморфная в G функция со значе­ ниями в Ь(Е,Е). Тогда индекс оператора Л (Я) не зависит от Я. Размерность нуль-пространства М(Л(Я)) одинакова во всей об­ ласти G за исключением, быть может, множества точек, не имеющих точек сгущения внутри области G. В точках этого множества размерность нуль-пространства больше, чем в остальных точках области. Если в точке Я0 G существует определенный на всем Е ограниченный обратный оператор [Л(Яо)]-1, то он существует во всех точках области, за исклю­ чением, быть может, множества с описанными выше свойства­ ми. Оператор [Л(Я)]-1 является конечномероморфной функ­ цией в G.

Следует отметить, что предположение об ограниченности оператора Л(Я) введено для упрощения формулировок. Кроме того, аналогичные факты справедливы и для n-нормальных и d-нормальных операторов, голоморфно зависящих от пара­ метра Я.

Ли т е р а т у р а : [20], [23], [27], [58], [120], [135].

4.Вполне непрерывные операторы. Пусть Л — вполне непре­ рывный оператор. При Я ф 0 оператор Л —Я/ = —Я^/ —--Л^

отличается лишь множителем от канонического фредгольмова и, следовательно, является фредгольмовым. Областью нетеровости является вся плоскость, возможно, без точки Я = 0; радиус Фредгольма рл = 0. Спектр вполне непрерывного оператора Л представляет собою не более чем счетное множество точек, точ­

резольвенты с кратностями {ти} и, значит, собственными чис­ лами оператора Л. Нуль-пространство оператора A — XhI назы­ вается собственным подпространством, отвечающим собственно­ му числу Хи. Его размерность называется собственной крат­ ностью числа Хи- Как уже отмечалось, все пространство разла­

гается в прямую сумму подпространств N([A — XkI)mk) и

Я((А — %кОтк)> инвариантных относительно оператора А. Под­ пространство Nk = N ((А — XkI)mk) называется корневым под­ пространством, отвечающим собственному числу Хн, а его раз­ мерность— алгебраической кратностью собственного числа Хк-

В корневом подпространстве ЛД может быть выбран базис из собственных и присоединенных векторов оператора А так, что в этом базисе матрица сужения оператора А на ЛД имеет нор­ мальную жорданову форму.

Вопрос об условиях, при которых линейная оболочка всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих всем не­ нулевым собственным числам, плотна во всем пространстве, представляет собою трудную проблему полноты собственных и присоединенных векторов вполне непрерывного оператора. На пути ее решения для операторов в банаховом пространстве имеются лишь частные результаты. Для операторов в гильбер­ товом пространстве имеется большая содержательная теория (см. гл. IV, § 2, п. 6).

Числа ik являются также собственными числами сопряжен­ ного оператора А' и составляют его спектр, возможно, без точ­ ки X = 0.» Они имеют ту же собственную и алгебраическую кратность. Более того, в корневом подпространстве, отвечающем Xk> оператор А ' имеет ту же нормальную жорданову форму, что и оператор А в соответствующем своем корневом подпро­ странстве.

Для приложений важно, что всеми перечисленными спек­ тральными свойствами обладают и операторы, для которых не­ которые степени являются вполне непрерывными операторами.

Л и т е р а т у р а : [20], [23], [27], [29], [30], [39], [60].

§3. Функции от операторов, операторное исчисление*

1.Функции от ограниченного оператора. Пусть А — ограни­ ченный линейный оператор, определенный на всем простран­ стве Е и действующий в Е: А <= L(E, Е) . Если f(X)— целая ана­

литическая функция переменного X, разлагающаяся в ряд

оо

2 сгкХку то можно определить функцию f(A) от оператора А

k~0

с помощью формулы

оо

/г=0

Оператор f(A) будет также линейным и ограниченным. Важ­ ную роль играет, например, экспоненциальная функция от

оператора

/г=0

Введенное определение функции от оператора можно рас­ пространить на более широкий класс функций. Пусть F(A) — совокупность всех комплексных функций /(Я), каждая из кото­ рых голоморфна в некоторой окрестности спектра оператора А. Эта окрестность может быть несвязной и, вообще говоря, зави­ сит от функции /(Я). Пусть Г — контур из конечного числа спрямляемых замкнутых жордановых кривых, лежащих в обла­ сти голоморфности функции /(Я), ограничивающей область, со­ держащую спектр оператора А и остающуюся слева при обходе контура в положительном направлении. Строится линейный ограниченный оператор

f ( A ) = - 4 a §г f ( V ^ ( A ) d l ’

Этот интеграл является обобщением интеграла Коши. Он не за­ висит от выбора контура Г.

Новое определение функции от оператора согласуется с пре­

k=0

по норме операторов.

Пример . Если спектр оператора А не содержит и не окру­ жает точку Я = 0, то можно провести разрез плоскости по кри­ вой, соединяющей 0 и оо, и рассмотреть на плоскости с этим разрезом однозначную ветвь функции In Я. Тогда определен оператор

In А = -- ^ - §1X1 XR%(A)dX,

Г

где контур Г окружает спектр Л и не пересекается с разрезом. Если /, g ^ F ( A ) и а, р — комплексные числа, то a/ + p g s

еЕ/^Л), fg<=F(A) и

том случае, когда f(K)— 0 во всех точках открытого множе­ ства, содержащего весь спектр оператора А, за исключением, быть может, конечного числа полюсов резольвенты #*,(Л), в ко­

фиксированной окрестности спектра оператора А и равномерно сходятся в этой окрестности к функции f{X)y то последователь­ ность операторов fn{A) сходится по норме к оператору f{A).

Перечисленные свойства дают основание говорить о том, что построено операторное исчисление для ограниченных операто­ ров. Следует отметить,' что в этом исчислении фигурируют лишь аналитические функции. В ряде задач требуется умение опре­ делять непрерывные или достаточно гладкие функции от опе­ раторов. Это иногда удается сделать для специальных классов операторов, причем построение такой теории в банаховом про­ странстве встречает существенные трудности. Для самосопря­ женных операторов в гильбертовом пространстве теория функ­ ций от операторов продвинута чрезвычайно далеко (см. гл. IV, §3, п. 3).

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [58].

2.Функции от неограниченного оператора. Переход от функ­ ции ограниченных операторов к функциям неограниченных опе­

раторов также встречает ряд затруднений. Если А — оператор с областью определения D(A), то естественно определяется опе­

вообще говоря, уже, чем D(A). Аналогично определяется опе­

замкнут и имеет хотя бы одну регулярную точку, то оператор

с множеством р(А(А)).

Другой подход к определению функций от замкнутого неограниченного оператора А состоит в следующем: если

126 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

оператор А имеет регулярную точку Х=Хо, то можно определить

f(A) = cp(RK (A)).

Это определение дает возможность строить функции от опера­ тора А для класса F(A) всех функций, голоморфных в некото­ рой окрестности спектра Л и в бесконечности (т. е. голоморф­ ных в окрестности расширенного спектра Л), и приводит к формуле

Г

где Г — контур из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, являющийся границей некоторой области, содержащей расширенный спектр оператора Л.

Спектр оператора f(A) является образом при отображении f(X) расширенного спектра оператора Л.

Если функция f(X) имеет на бесконечности нуль конечного порядка т и нигде на спектре оператора Л в нуль не обра­ щается, то существует обратный оператор [/(Л)]-1, который, во­ обще говоря, неограничен и отображает область определения

D(Am) на Е. Таким образом, в этом случае функции - ущ мож­

но поставить в соответствие оператор [/(Л)]-1.

Имеются естественные связи между функциями от замкну­ тых неограниченных-операторов, порождаемыми классом функ­ ций F(A) и классом многочленов. Если x ^ D ( A n)1р(Х)— мно­

вать как функцию от Л, построенную по скалярной функции, равной единице в окрестности Ai и нулю в окрестности А(Л) —

= Р\Е является соответствующей функцией от сужения ЛАопе­ ратора А на это подпространство.

разрешимо; если уравнение а) не является корректно разреши­ мым, то и уравнение б) не будет корректно разрешимым. Таким образом, при отображении /(Я) точечный спектр Л переходит в точечный спектр /(Л), остаточный спектр Л переходит в объ­ единение точечного и остаточного спектров /(Л); точки непре­ рывного спектра могут перейти в любые точки спектра f(A). Если p=7^=/(oo) и /(Я) Ф р ни в какой окрестности, содержащей точки спектра Л, то из невыполнимости одного из свойств одно­ значной, плотной, корректной разрешимости уравнения f(A)x —

разрешимым. Если D(A) не плотно в £, то оно не будет плотно разрешимым. Пусть, кроме того, f(Я) Ф ц ни на какой окрест­ ности, пересекающей расширенный спектр Л; тогда ц будет соб­

Ли т е р а т у р а : [23], [27], [58].

3.Дробные степени операторов. Если оператор Л ограничен

и спектр его не содержит и не окружает точку Я = 0, то функ­ ция Аа (—оо < а < оо) может быть определена так же, как это сделано в п. 1 на примере логарифмической функции. Если оператор А неограничен, то схема, описанная в п. 2, для опре­ деления функции Я"а от этого оператора, при нецелом ос, не

функцию от оператора с помощью интеграла Коши, то для того, чтобы контуры интегрирования не пересекали разрез пло­ скости, соединяющий 0 и оо, их приходится выбирать прохо­

128 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Для таких контуров интеграл Коши становится несобственным, и для его сходимости приходится налагать условия на поведе­ ние резольвенты вблизи особых точек (0 или оо). Здесь будут изложены результаты, полученные на одном из вариантов та­ кого пути.

Предполагается, что А — замкнутый оператор с плотной в Е областью определения и что вся замкнутая отрицательная по­ луось лежит в резольвентном множестве оператора А , причем справедливо неравенство

II/?*.(л )||< м (1 + | м г 1 при л < о .

Из этого неравенства и свойств, резольвенты вытекает, что она будет аналитичца в замкнутой области, содержащей отри­

Интеграл сходится и определяет ограниченный оператор. Если а = п — целому числу, то А~а = (Л_1)п. Для любого х ^ Е все­

При этом последний интеграл формально получается из пре­ дыдущего интегрированием по частям.

Положительные степени оператора А определяются как об­ ратные к соответствующим отрицательным: Ла = ( Л _а)_1. Эти обратные существуют и являются уже неограниченными опе­ раторами. При любых вещественных а и р справедливо соот­ ношение

Если оператор А не имеет ограниченного обратного, то оцен­ ка резольвенты не может иметь тот вид, который был предпо­ ложен вначале, и рассматривается случай, когда имеется более слабая оценка:

| | ^ ( Л ) | | < М | Я Г 1 ( Я = - 5 , 5 > 0 ) .

Из наличия такой оценки вытекает, что она имеет место и в не­ котором секторе, содержащем отрицательную полуось. Сокра­ щенно говорят, что оператор имеет тип (со, М), если приведен­ ная оценка с константой М выполнена для всех отрицательных

и замыкание так определенного оператора называют дробной степенью Аа оператора А. На другом пути за основу берут ин­ теграл

Оба пути приводят к одному и тому же оператору Аа, который имеет тип (оссо, М).

Оператор Ае = А + е/ (е > 0) имеет ограниченный обрат­ ный и к нему применимы построения, сделанные в первой ча­

< !c||x||1-a|| Лх||“- Справедливы утверждения: если В подчинен