книги / Функциональный анализ

то*он допускает расширение по непрерывности до ограниченного оператора, действующего из Lm ) (Q) в Lg(0)(£2i) (0 < 0 < 1), и при этом

где С(0)-> оо при 0->О w0-> 1 ( т е о р е м а М а р ц и н к е в и ч а ) . В условиях этой теоремы можно потребовать, чтобы исход­ ные неравенства выполнялись не на всех простых функциях, а лишь на характеристических функциях множеств конечной меры. Для сравнения теорем М. Рисса — Торина и Марцинкевича следует отметить, что при тех показателях pj, qj,‘когда послед­ няя теорема справедлива, в ней на оператор А налагаются мень­

С(0)).

Теоремы М. Рисса — Торина и Марцинкевича получаются из общих интерполяционных теорем для семейства Lpq(Q) с неко­ торыми потерями. Однако общие рассмотрения позволили вне­ сти в эти теоремы и существенные уточнения. Оказалось, что при

1 sg: ро < pi ^ оо и 1 < #о, qi ^ оо, q0 Ф qu из условий теоремы Марцинкевича вытекает, что оператор А может быть по непре­ рывности расширен до ограниченного оператора, действующего из пространства Lm)r(Q) в пространство Lg(0)r(Qi) (0 < 0 < 1, 1 ^ г ^ оо).

При некоторых ограничениях на меры в пространствах Q и Qi (например, меры непрерывны или чисто атомные с равными мерами всех точек)’, последнее утверждение является точным в следующем смысле: каковы бы ни были промежуточные меж­ ду Li(Q) и Loo(Q) (Li(£2i) и L«r(£2i)) пространства E(F) такие, что при некоторых 0 ^ (0,1) и г^[1,оо] пространство Lp^ )r(Q) вложено в £, а пространство F вложено в Lq(Q)r(Qi) и хотя бы одно из этих вложений не тождественное, найдется оператор Л, удовлетворяющий условиям теоремы Марцинкевича, который не может быть расширен по непрерывности до ограниченного опе­ ратора из Е в F.

В последнее время получены обобщения приведенных интер­ поляционных теорем в некоторых классах симметричных про­ странств измеримых функций (см. гл. II, § 3, п. 4). Пусть Е —

симметричное пространство функций на пространстве £2 с непре­ рывной мерой, норма в котором задается формулой

№ = Ф ( * т

где Ф — функционал, определенный на всех неотрицательных функциях на (0, оо) принимающий конечные или бесконечные значения. Предполагается, что выполнено следующее условие:

*<=£, где ср(К)— фундаментальная функция пространства Е. Условие а) выполнено в пространствах Lp, Лоренца, Марцинкевича, Орлича.

Рассматривается совокупность Еа, 3 всех измеримых на £2i функций, для которых

Ф а.р(У )=Ф (/(*а)*“Р)< ° о .

Пусть линейный оператор А является ограниченным опера­ тором, действующим из любого пространства LV^ )(Q) в L(/(e)(Qi)

метричном пространстве, удовлетворяющем условию а), фунда­

% 1~ ь '

При этом

'а.1 (АхХС(Е)\\х\\в.

Функционал Фа, з(у), вообще говоря, не является нормой, но в пространстве Еа>3 можно ввести норму, эквивалентную функ­

= [0, 1]) получается важное утверждение: для того чтобы вся­ кий линейный оператор, непрерывно действующий в каждом

ровкой пространства.

Из этих соотношений, в частности, видна неэквивалентность ве­ щественных и комплексных методов интерполяции.

Интерполяционные методы нашли широкое применение в раз­ личных задачах теории уравнений в частных производных (см , например, теоремы о гомеоморфизмах в § 6, п. 5).

Л и т е р а т у р а : [102], [104].

§5. Линейные интегральные операторы

1.Общие свойства линейных интегральных операторов. Пусть

Qi и Q2 — два ограниченных замкнутых множества конечномер­ ных пространств. Под мерой на этих множествах понимается мера Лебега. Пусть £-—идеальное пространство измеримых функций, определенных на Qu £ — идеальное пространство функ­ ций, определенных на Q2 (см. гл. II, § 3). Действующий из £ в F линейный оператор К называется интегральным оператором, если он допускает представление

Кx(t)= Jk(t, s)x(s)ds;

Q,

здесь k(t, s)— измеримая по совокупности переменных функция, называемая ядром интегрального оператора К.

Интегральные операторы, действующие из одного идеального пространства в другое, обладают многими важными свойствами.

В частности, каждый действующий из Е в F линейный инте­

оператор /С1 называется двойственным к оператору К. Он, оче­ видно, является сужением на F1 сопряженного к К оператора К если последний преобразует F1 в £*. Оператор К1 не обязатель­ но сам является интегральным даже для случая, когда Е = F =

который в отличие от оператора К действует из пространств функций, определенных на Q2, в пространства функций, опреде­

двух действующих из Е в F линейных интегральных операторов с положительными ядрами. Условие регулярности К равносиль­ но тому, что К преобразует множества пространства £, ограни­ ченные по упорядоченности, в множества пространства F, также ограниченные по упорядоченности. Действующий из Е в F ли­ нейный интегральный оператор К с ядром k(t,s) является регу­ лярным в том и только том случае, когда из Е в F действует линейный интегральный оператор \К\:

\ K \ x ( t ) = j | k(ty s) \х (s) ds.

£2]

Для регулярных интегральных операторов транспонированный всегда действует из F1 в Е1, и поэтому для регулярных инте­ гральных операторов двойственный оператор также является интегральным.

Через Q(E, F) обозначается совокупность всех функций z(t,s) двух перемейных ^е 02, S G QI, для которых линейный интегральный оператор с ядром \z(t, s)\ действует из Е в F. Очевидно, Q(£, Е) является линейным пространством, которое превращается в идеальное, если в нем ввести норму

Если пространство F — совершенное, то эту формулу можно писать в виде

II г II0 ( Е F ) = sup f f \z(t, s)\x(s)y{t)dsdt.

Пространство Q(£, F) называют пространством ядер опера­ торов, действующих из Е в F.

Ниже через PD, Р& и Ps обозначаются операторы умножения нахарактеристические функции хя, х<? и xs множеств D с= Qb

^ С= й2 и S С= Й2 X Яь

Интегральные операторы, действующие из одного идеального пространства в другое, обладают некоторыми специальными Свойствами компактности. Оказывается, что действующий из

пространства Е в пространство F линейный интегральный опе­ ратор К преобразует множества из пространства £, ограничен­ ные по упорядоченности (а если пространство Е1— правильное, то и множества, ограниченные по норме), в множества, компакт­ ные по мере. При несущественных дополнительных ограничениях интегральные операторы оказываются вполне непрерывными. На­ пример, для полной непрерывности действующего из Е в F ли­ нейного интегрального оператора К достаточно выполнения од­ ного из условий:

Линейные интегральные операторы с такими ядрами называются абсолютно компактными. Так как [Q(£, Z7)]0— идеальное прост­ ранство, то имеет место следующий принцип мажорантности свойства компактности линейных интегральных операторов: если

и оператор Ко с ядром k0(t,s) абсолютно компактен, то и опера­ тор К с ядром k(t,s) абсолютно компактен.

Л и т е р а т у р а : [2], [28], [100], [114], [122], [146].

2.Линейные [/-ограниченные и [/-неограниченные операторы.

Ксожалению, неизвестно описание в простых терминах необхо­ димых и достаточных свойств функции k(t, s), при наличии ко­ торых линейный интегральный оператор К с ядром k(t, s) дей­ ствует из данного идеального пространства Е в другое идеаль­ ное пространство F\ неизвестно и простое описание пространства ядер Q(£, F) регулярных интегральных операторов К, действую­ щих из Е в F. В связи с этим представляют интерес различные достаточные признаки того, что интегральный оператор К с яд­ ром k(t,s) действует из пространства Е в пространство F.

Приводимые в настоящем пункте достаточные признаки дей­ ствия интегрального оператора из одного пространства в дру­ гое выделяют два важных класса линейных интегральных опе­

раторов.

Действующий из пространства Е в пространство F линейный оператор К называется U-ограниченным, если он преобразует множества из пространства £, ограниченные по норме, в множе­ ства пространства F, ограниченные по упорядоченности; U-огра­ ниченность оператора К равносильна неравенству

| Кх (0 | < «о(ОIIX ||в (* «= Е),

где Uo(t)— некоторая функция из F. Ясно, что каждый линейный {/-ограниченный оператор непрерывен.

Пусть М и N — идеальные пространства функций, определен­

странства Е каждый действующий из Е в F линейный {/-ограни­ ченный и обладающий двойственным оператор К является ин­ тегральным. В частности, каждый линейный непрерывный опе­ ратор /С, действующий из правильного пространства Е в является интегральным.

Действующий из Е в F линейный интегральный //-ограни­ ченный оператор К вполне непрерывен, если Е1 и F — правиль­ ные пространства.

Действующий из'пространства Е в пространство F линейный

*) Пространство E называется квазиправильным, если в нем по мере плотно подпространство Е° функций с абсолютно непрерывной нормой.

158 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

где Vo— некоторая функция из Е1. Ясно, что каждый линейный £/-коограниченный оператор непрерывен.

Линейный интегральный оператор К с ядром /(({, s) дейст­ вует из £ в F и tZ-коограничен; если k(t, s) е{Е, Е1}. Более того, действующий из Е в F линейный интегральный оператор К яв­

ляется интегральным. В частности, каждый линейный непре­ рывный оператор, действующий из пространства Li в простран­ ство Е, дополнительное к которому правильное, является интег­ ральным.

Действующий из Е в F линейный tZ-коограниченный опе­ ратор К вполне непрерывен, если Е1 и F — правильные про­ странства.

Свойства {/-ограниченности и {/-коограниченности линейных операторов двойственны друг другу: линейный интегральный оператор {/-ограничен в том и только том случае, когда двой­ ственный оператор {/-коограничен.

Ли т е р а т у р а : [28], [100], [119], [124].

3.Резольвента (Фредгольма) линейного интегрального опе­ ратора. Пусть К\ —линейный интегральный оператор, действую­ щий из идеального пространства Е функций, определенных на

на Й3. Действующий из £ в G линейный оператор К = КгК\ не обязательно является интегральным. Но если Ki и Кг — регуляр­ ные интегральные операторы, то и К является интегральным оператором, и его ядро k(t, s) определяется равенством

где ki(t,s) и kz{tys)— ядра интегральных операторов К\ и Кг- В частности, для линейного регулярного интегрального опе­

ратора /С, действующего в пространстве Е, итерации Кп также являются линейными интегральными операторами с ядрами

Пусть К — регулярный интегральный оператор, действующий в идеальном пространстве Е. Оператор

Е(Я, K) = hKR% {К),

определенный при всех X из резольвентного множества Л(/С) оператора К (см. гл. III, § 2), принято называть резольвентой Фредгольма оператора /С; обычная резольвента R\{K) выра­ жается через резольвенту Фредгольма равенством

= + К)1

|Я|>г(|А|), в котором ядро /(Я; i,s) представимо в виде ряда

оо

l(X, ty S) == дТГ kn+ \ ify ^),

/г=0

также сходящегося в норме Q(£, Е).

Множество А°(^С) совпадает с резольвентным множеством оператора /С, если некоторая итерация Кп оператора К является ^/-ограниченным оператором. Подобная ситуация имеет место

всегда для важного класса операторов типа потенциала (см. п. 6), для функций Грина дифференциальных операторов и т. д.

Ли т е р а т у р а : [124], [152]

4.Интегральные операторы с симметричным ядром. В этом пункте рассматриваются некоторые специальные свойства инте­ гральных операторов

Кх (t) = J k (ty s) x (s) ds Q

с симметричным ядром k(tyS) : k(t, s) = k(s,t). Предполагается, что оператор К действует из двойственного к некоторому иде­ альному пространству Е пространства Е1 в Е. В этом случаеоператор К обладает свойством симметричности:

x(t) dt.

Оператор К называется положительно определенныМу если

(х е Е').

Оператор К положительно определен, если он допускает рас­ щепление

К = СС\

где С — действующий из L2 в Е оператор, а С1— двойственный С оператор, действующий из Е1 в L2. Верно и обратное утверж­ дение, если только множество функций D0 = {х G L2: Кх е Ь2} имеет носитель, совпадающий с носителем пространства Е\ посреднее, в частности, имеет место всегда, когда Е ^ L2.

Пусть К — положительно определенный и симметричный ин­ тегральный оператор. Тогда операторы С и С1 обладают важ­ ными специальными свойствами компактности: оператор С пре­

в множества, компактные в L2. Если К как оператор из Е1 в Е вполне непрерывен, то вполне непрерывны и операторы С и С1 как операторы соответственно из L2 в Е и из Е1 в L2. Следует отметить, что достаточным условием полной непрерывности опе­ ратора К является условие

Hm \\PDKPD\\ = 0. mes D->0

Если Е — правильное пространство, это условие является и не­ обходимым для полной непрерывности К•