книги / Функциональный анализ

зываются действительной и мнимой частью оператора А и яв­ ляются самосопряженными.

Если Re Л = у(Л + Л*) является отрицательным операто­

ром, то оператор Л называется диссипативным.

Линейный ограниченный оператор Л называется нормаль­ ным, если операторы Л и Л* коммутируют. В этом случае операторы Re Л и IшЛ также коммутируют.

Для любого линейного ограниченного оператора Л опера­ торы ЛЛ* и Л*Л являются самосопряженными и положитель­ ными.

Важную роль играет полярное представление оператора:

всякий линейный ограниченный оператор А в гильбертовом про­ странстве может быть представлен в виде A = UR, где R — положительный самосопряженный оператор, a U — частично изометрический оператор. Оператор R определяется единствен­

ным образом как Y А*А (определение корня квадратного из положительного оператора см. ниже в § 3, п. 1) и часто обозна­ чается через |Л | . Оператор U изометрически отображает за­ мыкание области значений оператора Л* на замыкание области значений оператора Л. Справедливо представление A* = RXU,

где U —тот же оператор, что и выше, a R{ = Y АА* .

Если оператор Л нормален, то в его полярном представле­ нии оператор U можно выбрать унитарным. Операторы |Л| и U коммутируют между собой и коммутируют с каждым опера­ тором, коммутирующим с Л и Л*.

Ли т е р а т у р а : [1], [24], [39], [43].

5.Самосопряженные вполне непрерывные операторы. Если самосопряженный оператор Л вполне непрерывен, то все про­ странство Н может быть разложено в ортогональную сумму

базис {хг}, состоящий из собственных элементов оператора Л, соответствующих ненулевым собственным числам K ф 0. Та­ ким образом, для любого

В частности, отсюда следует, что самосопряженный вполне не^ прерывный оператор, не аннулирующийся на всем пространстве,

192 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

имеет по крайней мере одно собственное число, отличное от нуля. Пространство Яо состоит из собственных векторов оператора Л, отвечающих собственному значению Я = 0. Выбирая в этом про­ странстве произвольный ортонормальный базис {^}, мы получим

ортонормальный базис {£'} + \е,} в пространстве Я, состоящий

из собственных векторов оператора Л.

Собственные числа и собственные векторы самосопряжен­ ного вполне непрерывного оператора могут быть получены сле­ дующим процессом: форма (Ах, х) на единичной сфере про­ странства Я достигает наибольшего по абсолютной величине значения на ‘ некотором элементе хх. Оказывается, что Ах\ =

=где

странство Я 1 инвариантно относительно оператора Л. Если опе­ ратор Л аннулируется на любом элементе из Я ь то процесс на этом останавливается; если же Ах Ф 0, то форма (Ах,х)Ф 0 и достигает на единичной сфере пространства Hi наибольшего

ратора Л, расположенные в порядке убывания, а ЯГ, ЯГ, .. . — отрицательные собственные числа, расположенные в порядке возрастания (кратные собственные числа повторяются столько раз, какова их кратность). Собственные числа обладают сле­

ЯГ+1 = maxm(2 1, г2, •••> гп)9

где m(zu z2........ 2„) — минимум формы (Ах, х) на элементах х, удовлетворяющих предыдущим условиям.

Самосопряженный вполне непрерывный оператор будет по­ ложительным тогда и только тогда, когда все его собственные числа неотрицательны.

Свойства самосопряженных вполне непрерывных операто­ ров являются обобщением свойств интегральных операторов с симметрическим ядром, рассматриваемых в теории интеграль­ ных уравнений. Обобщением интегрального уравнения является уравнение

х — [хАх = у.

Если А — самосопряженный вполне непрерывный оператор, и число l/p не совпадает ни с одним из его собственных чисел, то для решения написанного уравнения справедлива формула

Я

* — У+ И 2 f— ^ (У, Xt) Xi .

Если 1/р совпадает с одним из собственных чисел опера­ тора А, то решение существует лишь при том условии, что элемент у ортогонален всем собственным элементам, соответ­ ствующим собственному числу 1/ц. В этом случае одно из ре­ шений может быть получено по т.ой же формуле, если в ней отбросить члены, содержащие Я* = 1/ц.

Ли т е р а т у р а : [1], [45], [50], [52].

6.Вполне непрерывные операторы. Кроме основного опреде­ ления вполне непрерывного оператора, согласно которому опе­ ратор называется вполне непрерывным, если он переводит вся­ кое ограниченное множество в компактное, для гильбертова пространства существуют эквивалентные определения.

1.Линейный оператор А вполне непрерывен, если он пе­ реводит всякую слабо сходящуюся последовательность в силь­

но сходящуюся, т. е. если из хп сл-..> х0 следует Ахп -+Ах0 по

норме.

2. Линейный оператор А вполне непрерывен, если для лю­ бых последовательностей {хп} и {уп}, слабо сходящихся к х0 и г/о, справедливо равенство

рывен, то и А вполне непрерывен.

196 ГЛ. IV. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Многие свойства 5-чисел вытекают из минимаксимального

и следующего аппроксимационного свойства: 5„+1(Л)==шт || А — К II,,

где минимум берется по всем конечномерным операторам /С, ранг которых не превосходит п.

Быстрота убывания s-чисел вполне непрерывного оператора характеризует близость его к конечномерным операторам. Од­

строты убывания s-чисел оператора есть не столько свойство

оператора, занумерованные в порядке убывания с учетом их кратности. Тогда для любого линейного ограниченного опера­ тора Л в Я с областью значений R(A)cz Н\

sm{A) = 0 {m -lin).

Важным в теории вполне непрерывных операторов является вопрос о полноте системы собственных и присоединенных эле­ ментов вполне непрерывного оператора (см. гл. III, § 2, п. 4). Для самосопряженного вполне непрерывного оператора суще­ ствует базис из собственных векторов. Однако если к самосо­ пряженному вполне непрерывному оператору добавить конеч­ номерный, то полученный оператор уже может не иметь пол­ ной системы собственных и присоединенных векторов. Так, на­ пример, если к интегральному оператору с симметрическим

ядром

(t — l)s при s < /,

добавить одномерный оператор 1

t J (1 — s)x(s)ds,

о

то получится оператор Вольтерра t

J (/ — s) х (s) ds,

о

который вообще не имеет собственных функций.

Из имеющегося ряда критериев полноты здесь приводятся следующие: пусть А — такой вполне непрерывный оператор, что значения формы (Ах, х) при любом ^ е Я содержатся в сек­ торе комплексной плоскости

|a r g g |< ^ -

Система собственных и присоединенных элементов оператора А полна в пространстве Н, если его особые числа рп, располо­ женные в порядке убывания., обладают свойством

lim nllpiifl — О, П->оо

в частности, если сходится ряд

2М^р < оо.

Эти условия не очень удобны тем, что в них фигурируют

особые числа оператора А. При р > 1 в этих условиях можно особые числа заменить на собственные числа вещественной

При р = 1, т. е. для диссипативного оператора, система соб­ ственных и присоединенных элементов полна, если он имеет конечный след

2l l*n < °0 .

Однако это утверждение становится несправедливым, если за­ менить особые числа на собственные числа" вещественной или мнимой части оператора А. Если же и вещественная, и мни­ мая части диссипативного оператора А имеют конечный след, то система его собственных и присоединенных элементов пол­ на в Я.

Вполне непрерывный оператор может вообще не иметь соб­ ственных векторов. В связи с приведенным выше примером та­ кие операторы называются волътерровыми. Спектр вольтеррова

Весьма важной является следующая формула для следа:

= 2а (Аеа, еа),

где {еа} — произвольный ортонормальный базис в Я. Справедливо неравенство

I tr Л | <11,411,,

причем равенство в нем имеет место в том и только том слу­ чае, когда при 0 = arg(trЛ) оператор e~iQA самосопряжен и положителен.

Для ядерного оператора сходится произведение чисел 1—

— Яг(Л), которое естественно назвать определителем оператора

1 — А:

det(/ — Л) = П (1 - М Л )) .

i

Это произведение может состоять из конечного или беско­ нечного числа сомножителей в зависимости от количества не­ нулевых собственных чисел у оператора Л. Для вольтеррова ядерного оператора det (/ — Л)*= 1.

Определитель det(/—Л) является непрерывным функционалом

Характеристический определитель является целой функцией комплексного переменного 2, обращающейся в нуль в точках

= 1/ЯДЛ). При этом справедлива оценка

| det (/ — zA) | < exp ( I z 11| Л ||,).

Характеристический определитель непрерывен в норме прост­ ранства @i, равномерно на каждом ограниченном множестве комплексной плоскости г.

Если /(Я) — функция, аналитическая в окрестности спектра ядерного оператора Л и /(0) = 0, то оператор f(A) (см. гл. III» § 3, п. 1) будет также ядерным.

Операторы класса ©2 называются операторами Гильберта — Шмидта. Если А — оператор Гильберта — Шмидта, то оператор Л*Л будет ядерным и

Для любого ортонормированного базиса {ej в Н

(Л, В) = 1г(Л£Г),

обладающая всеми свойствами скалярного произведения. От­ носительно этого произведения пространство ©2 является гиль­ бертовым.

измеримым на [а,Ь]У^[а,Ь] ядром K(t,s), будет тогда и только тогда оператором Гильберта — Шмидта, когда

с этим вводится понятие регуляризованного определителя опе­ ратора /4е® 2

а е М / - Л ) ^ П ( 1 - М Л ) ) е МЛ)