книги / Функциональный анализ

Оператор С, вообще говоря, не является интегральным. До­ статочным условием того, что оператор С допускает интеграль­ ное представление, является неравенство

I k(t, s ) \ ^ u 0(t)u0(s),

где u0(t)— некоторая измеримая функция. Ядро c(t, s) опера­ тора С при этом удовлетворяет оценке

Q

Если К вполне непрерывен’как оператор в L2, то это же условие может быть выражено неравенством

оо

где ^i, . . . , Кп— собственные значения К, a ei(t), ... ,en(t), ... — отвечающие им собственные функции. Другим достаточным ус­ ловием того, что С допускает интегральное представление, яв­ ляется ядерность оператора К (см. гл. I, § 5, п. 7).

Ли т е р а т у р а : [124], [125], [129].

5.Интегральные операторы в пространстве непрерывных

функций. Пространство C(Q) непрерывных функций не является идеальным. Однако оно является замкнутым подпространством идеального пространства Loo(Q) и поэтому многие изложенные выше утверждения переносятся на операторы, действующие из идеального пространства Е в пространство C(Q2). Для опера­ торов, действующих в пространство С, можно дать полное опи­

сание.

Линейный интегральный оператор

^ Й2 справедливо равенство

162 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

При выполнении этих условий оператор К непрерывен и IIК 11= sup || k(t, s) ||g,.

При этом оператор К вполне непрерывен в том и только том случае, когда выполнено более сильное, чем в), условие

lim || k (/, s) — k (t0 s) ||£1 = 0.

Сформулированные утверждения полностью описывают опе­ раторы, действующие из £ в С. Следует, наконец, заметить, что операторы, действующие в пространстве С(£2), всегда можно рассматривать и как операторы, действующие из L o o ( £ 2 ) в С ( £ 2 ) .

Л и т е р а т у р а : [133].

6. Важные примеры линейных интегральных операторов.

В настоящем пункте описываются функциональные простран­ ства, в которых действуют классические интегральные операторы.

1. О п е р а т о р ы типа п о т е н ц и а л а . На функциях, оп­ ределенных на ограниченном замкнутом множестве £2 я-мерного пространства, рассматривается линейный интегральный опера­ тор К с ядром

Говорят, что оператор К имеет показатель Xf если

0 < m ^ q (ty s) ^ М < оо;

показатель X— 0, если

\\mq(ty s) = 0, t->s

и показатель Я + 0, если

lim <7(t, s) = оо.

t - > S

К операторам типа потенциала относятся функции Грина эллип­ тических дифференциальных операторов.

Оператор типа потенциала К с показателем X всегда опреде­ лен на пространстве Li и преобразует его в пространство Мар-

Многомерным (п-мерным) сингулярным оператором назы­ вается интегральный оператор с ядром вида

*«• * ) ~ £1T==PL.

где q(t, т) как функция второго аргумента т является однород­ ной функцией нулевой степени, интеграл от которой по единич­

ной сфере S равен нулю. Если интеграл от \q{t, х)\р по сфере S равномерно по t ограничен, то сингулярный оператор является ограниченным оператором из Lv (Rn) в Lv (Rn) при 1 < р < оо (1/р + 1/р'= 1) ( К а л ь д е р о н — Зиг му нд ) .

§6. Операторы, порожденные краевыми задачами

1.Эллиптическое дифференциальное выражение. Рассматри­ вается дифференциальное выражение порядка г с постоянными коэффициентами

Главной частью дифференциального выражения называется выражение

A '(D )= 2 aaD \

la |= r

Каждому дифференциальному выражению ставится в соот­ ветствие однородный многочлен от п вещественных переменных

Дифференциальное выражение A(D) называется эллиптиче­ ским, если Л'(£) Ф 0 при любом \ Ф 0.

Как многочлен от т она имеет г комплексных корней. Диффе­ ренциальное выражение A(D) называется правильно эллипти­ ческим, если г = 2т и при любых линейно независимых и

задач. Операторы, порождаемые на бесконечно дифференцируе­

постановке вопроса правые части могут быть только бесконеч­ но дифференцируемыми, однако для многих практических целей этого недостаточно. Поэтому в множестве наборов {/, g0, ...

gm-\] е С00 (Q) X с°° (Г) X ... ХС°°(Г)_вводят какую-либо нор­

гое и после этого пытаются описать областы значений полу­ ченного замкнутого оператора. _

Поскольку множества С°° (Q) и С°° (Г) входят во все есте­ ственные функциональные пространства, то выбор пространств, в которых исследуется краевая задача, чрезвычайно разнооб­

разен. Здесь будут за основу взяты шкалы пространств Hlp(Q)

и Blp{T) (1 < р < оо) (см. гл. II, § 1, п. 5). Замыкание опе­ ратора 91 (Л, В) в различных пространствах будет обозначаться теми же буквами, это замыкание часто достигается переходом в выражениях для Л(х, D) и {Bj(s, D)} от обычных производных

к обобщенным.

Для решений регулярной эллиптической краевой задачи справедлива априорная оценка, получившая название «нера­

(производные в выражениях Л и Bj понимаются как обобщен­ ные). Из неравенств коэрцитивности для данной задачи и для формально сопряженной задачи вытекает основное утверждение (см. § 1, пп. 6, 7) замыкание оператора 91 (Л, В) как оператора,

действующего из пространства H2pm+S (Q) в пространство

и состоит из бесконечно дифференцируемых функций, следова­ тельно, его размерность не зависит от s ^ 0.

бесконечно дифференцируемых функций. Область значений опе­

набор Ф правых частей удовлетворяет конечному числу усло­ вий ортогональности (Ф, vh) — 0, где vk — какой-нибудь базис в конечномерном пространстве N( 51+).

Нетеровость оператора 51(А,В), отвечающего эллиптической краевой задаче, установлена в тех же пространствах (при до­ статочно большом s) также и в том случае, когда система гра­ ничных выражений {Bj(s, D)} не обладает свойством нормаль­ ности. Здесь сопряженная задача уже не будет дифференциаль­ ной. Доказательство я-нормальности получается снова из неравенства коэрцитивности. Для доказательства конечности дефекта области значений либо устанавливается аналогичное неравенство для сопряженного оператора, действующего в со­ пряженных пространствах (с отрицательными индексами), либо строится правый регуляризатор (см. § 1, пп. 5, 6, 9, 10).

Ли т е р а т у р а : [3], [102], [115], [132].

5.Полный набор гомеоморфизмов, осуществляемых эллипти­ ческим оператором. Для регулярной эллиптической задачи мо­ жно ввести оператора ортогонального проектирования (в смысле обычного скалярного произведения функций в Q) параллельно

подпространству N( 51). Оказывается, что оператор Р действует

и непрерывен во всех пространствах Hlp(Q) (— оо < / < оо) *). Аналогично можно ввести оператор ортогонального проектиро­ вания Q+ (в смысле скалярного произведения (Ф, v), введенного