книги / Функциональный анализ
..pdf§ 6. ПРОСТРАНСТВА С БАЗИСОМ |
п |
6. Базисы суммирования. Для ряда конкретных пространств неизвестно, есть ли в них базисы (например, в пространстве A(D)). Базисы, построенные в важных для приложений про странствах, не всегда хорошо приспособлены к решению раз личных задач. В связи с этим возникло обобщение понятия базиса, так называемые Т-базисы или базисы суммирования.
Пусть {^/}Г |
матрица регулярного метода суммирования*). |
|
Система |
{ек}™ |
называется базисом суммирования для данного |
метода, |
если каждому элементу ^ е £ отвечает единственный |
|
ряд |
|
оо |
|
|
|
|
|
* ~ |
суммируемый этим методом к х.
Тригонометрическая система в пространстве СР(— я, я) всех непрерывных периодических на [— я, я] функций (с нормой про
странства С(— я, |
я ) ) — базис суммирования |
для методов |
Че- |
|
заро и Абеля. |
суммирования — полная |
минимальная |
(не |
|
•Каждый |
базис |
|||
обязательно |
равномерно) система с тотальной сопряженной си |
|||
стемой. Обратное не верно.
Л и т е р а т у р а : [69], [71], [75]* [76].
*) Метод суммирования называется регулярным, если он суммирует вся кий сходящийся числовой ряд к его сумме.
Г Л А В А II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§1. Пространства дифференцируемых функций
1.Обозначения. В этом параграфе будут применяться сле дующие сокращенные обозначения:
1) s = (si, .... |
5„) — точка |
пространства Rn; |
|||
2) |
| s | = K s ? + |
••• |
+ %'• |
|
|
3) |
q = (qu •... |
qn)> |
qk — целые, qk> 0 ; |
||
4) |
I q I = q\ + • • • + |
qn\ |
|
|
|
5) |
q\ = q x\ .. . |
qn\\ |
|
|
|
6) |
sq — sq' ... |
snn;q |
(s, |
= |
... + s„|„; |
7) |
tt (s) — и (sj, |
• • •» |
|
|
|
8) |
dq'+1•+<?,”«(gi. |
S/г) |
|||
««7)1s | = - |
dsg{1 |
dsl |
|
||
|
|
|
|||
В этих обозначениях, например, ряд Тейлора для функции многих переменных пишется так же, как и для функций одной переменной:
/ , ,ч |
v i |
uiq)(s )h q |
u(s + h )= |
2и |
-----J i — ' |
|
I?|=о |
|
Кроме того, n-кратный интеграл по области £2 будет записы ваться как
| и (s) ds — J . . . и (sj,J .... sn) dsi2 |
dsn |
2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций.
Естественные топологии, возникающие в пространствах беско нечно дифференцируемых функций, как правило, являются ненормируемыми.
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
73 |
Простейшим примером служит 1) П р о с т р а н с т в о С°°(0, 1) всех бесконечно дифференци
руемых функций на отрезке [0, 1]. Локально выпуклую тополо гию обычно вводят с помощью системы норм
P r ( u ) = sup |
2 l « (ft)(s)l |
(r = 0, 1, ... )• |
0<s<l |
k=0 |
|
Сходимость в соответствующей топологии означает равно мерную сходимость вместе со всеми производными. Простран
ство |
С°°(0, 1) полно, метризуемо, т. е. является пространством |
Фреше. Оно ядерно и, следовательно, ненормируемо. |
|
2) |
П р о с т р а н с т в о С°°(£2) всех бесконечно дифференци |
руемых |
функций в открытом множестве £2 |
пространства R n. |
|
Пусть |
Кп — возрастающая |
последовательность ограниченных |
|
|
|
оо |
|
замкнутых множеств такая, |
что Q = |
В пространстве |
|
С°°(й) |
|
П=1 „ |
|
вводится система полунорм |
|
||
Г
P r ( u ) = sup 2 |w(<|,)(s)l ss/cr I q 1=0
{ г — 0, 1 , . . . )
и по ней локально выпуклая топология, относительно которой С°°(£2) будет ядерным пространством Фреше. Сходимость в этом пространстве означает равномерную сходимость вместе со
всеми производными на |
каждом |
компактном множестве в £2. |
3) П р о с т р а н с т в о |
S (Rn) |
всех бесконечно дифференци |
руемых функций, быстро убывающих на бесконечности. При этом функция u(s), по определению, быстро убывает на беско нечности, если
sup | 5 П u{q){s) |< оо
для всевозможных целочисленных неотрицательных векторов р и q. Пример такой функции дает е~\s|2. Топологию в S(R n) можно ввести с помощью системы полунорм
M « ) = sup ( 1 + 1 |
s p y |
2 |
\ u M ( s ) \ |
(г = |
0, 1. 2, . . . ) . |
|
s^Rn |
|
I <71=0 |
|
|
|
|
Пространство S(R n) |
является |
ядерным |
пространством |
Фреше. |
||
4) П р о с т р а н с т в о |
D(£2). Носителем |
(supp и) |
функции |
|||
u(s)> заданной в £2, называется наименьшее замкнутое в £2 мно жество, вне которого функция u(s) равна нулю. Бесконечно дифференцируемая функция называется финитной в £2, если ее
носитель компактен. Простейшим примером финитной в Rn
74 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
функции с носителем в шаре радиуса а является функция
( |
ехр ( | 5 |2 — а2)” 1 |
при |
| 5 | < а, |
U S ~ { |
0 |
при |
| s |^ а . |
Умножая эту функцию на любую бесконечно дифференцируе мую функцию, можно получить более сложные примеры. Финит ные функции образуют линейное многообразие в пространстве
С°°(£2), которое обозначается Со° (£2).
Пусть К — компактное множество в £2 и DK— совокупность всех финитных функций, носители которых содержатся в К. DK является локально выпуклым пространством относительно топо логии, порожденной системой норм
г
Дг.г(“) = sup |
2 l«(?)(s)l |
( r = 1, 2, . . . ) . |
se=K |
| q (=0 |
|
Если /Ci zo /С, TO Z)/c, ZD DK и исходная топология в простран стве DK совпадает с той, которую индуцирует в нем топология
пространства DКх. Таким образом, множество Со° (£2) является объединением локально выпуклых пространств DK> топологии которых согласованы указанным выше образом. В такое объ единение пространств можно ввести топологию так называемого индуктивного предела. Фундаментальная система окрестностей нуля строится из всех абсолютно выпуклых поглощающих мно жеств, которые в пересечении с каждым из составляющих про
странств дают в нем окрестности. Линейная система Со (£2) после введения в нее топологии индуктивного предела превра щается в локально выпуклое неметризуемое линейное топологи
ческое пространство D(Q). Сходимость |
последовательности |
|||||||
wn e f l ( l 2) |
к M0G D(Q) означает, |
что |
носители |
всех |
функций |
|||
Uk(s) |
(k = |
0, |
1, ...) содержатся |
в одном |
компактном |
множе |
||
стве К и un (s) |
вместе со всеми производными сходятся к U Q ( S ) |
|||||||
равномерно |
на |
/С. Пространство D(Q) |
бочечно и ядерно. Каж |
|||||
дый |
линейный |
ограниченный оператор |
в |
D(Q) |
(переводящий |
|||
ограниченные |
множества, в ограниченные) |
непрерывен. Всякое |
||||||
линейное непрерывное отображение D(£2) на себя открыто.
Л и т е р а т у р а : [13], [27], [47], [51], [60], [67], [107], [108].
3. Обобщенные функции. В дальнейшем функции из £>(£2) называются основными. Обобщенной функцией или распреде лением Л. Шварца называется всякий линейный непрерывный функционал Т на D(£2). Число Т(и) называется значением обоб щенной функции Т на основной функции и. Линейный функцио
нал Т(и), заданный на линейной системе Со° (£2), будет порож дать обобщенную функцию тогда и только тогда, когда для
§ 1. ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
75 |
каждого компактного множества К cz £2 найдутся число г и кон станта С такие, что
\T ( u ) \^ C p Ktr(u) = Csup |
S |
|tt<«(s)| |
s^K |
I <71=0 |
|
для любой функции ИЗ DK- |
|
(т. е. суммируемая |
Пусть f(s) — локально суммируемая в £2 |
||
на каждом компактном множестве К а £2) |
функция. Тогда она |
|
порождает обобщенную функцию по формуле |
||
Tt (u)= J f(s)u(s)ds. |
|
|
Локально суммируемым функциям, отличающимся на мно жестве положительной меры, отвечают различные обобщенные функции. Таким образом, множество локально суммируемых функций вкладывается во множество обобщенных функций. Обобщенная функция, порожденная локально суммируемой функцией, называется регулярной.
Всякая борелевская a-конечная мера на £2 также порождает некоторую обобщенную функцию
т» (ы) == J и (s) d\i. Q
В частности, когда единичная мера сосредоточена в точке S0G Q, то получается так называемая 6-функция Дирака:
M « ) = « ( sо)-
Иногда значения обобщенной функции записывают условно также в виде интеграла. Например,
$*,(“) — / бS„{s)u(s)ds.
а
Над обобщенными функциями вводятся действия (сложения и умножения на числа), как над функционалами из сопряжен ного к D(Q) пространства Z)'(Q).
Последовательность обобщенных функций Тп называется
сходящейся к обобщенной |
функции |
Т, если |
Нш Тп (и) — Т (и) |
для любой основной функции н е £ > ( Q). |
П->оо |
||
|
|||
Функционал — |
является |
линейным |
и непрерывным |
на D{Q), поэтому он порождает обобщенную функцию, которая называется обобщенной производной по Si от обобщенной функ ции и. Таким образом, по определению
дТ |
ди |
76 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
При таком определении производных каждая обобщенная функ ция бесконечно дифференцируема и
|
|
|
Т(ч)(u) = (—I)1 |
2" (м(<7)). |
|
||
В частности, всякая локально интегрируемая функция имеет |
|||||||
обобщенные производные всех порядков. |
(У(5) = 1 при |
||||||
Пример . |
При |
п = |
1 |
функция |
Хевисайда |
||
5 ^ 0 |
и У(5) = 0 |
при |
s < |
0) как |
обобщенная |
функция имеет |
|
производную |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y' (и) = |
| и' (s) ds = |
u (0) = 60 (и) |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
ИЛИ |
y ' ( s ) = |
60( s ) . |
|
|
|
|
|
Для кусочно гладкой функции одной переменной, имеющей разрывы первого рода в точках s<ft) (k== I, N) со скачками hh, аналогично получается формула
Существенно, что операторы дифференцирования являются непрерывными относительно введенной сходимости обобщенных функций.
Произведение обобщенной функции на бесконечно дифферен цируемую функцию ф(5) определяется естественным образом:
ФТ {и) = Т (фа);
при этом учтено, что фмеО( й) , если
Обобщенная функция Т равна нулю в подобласти Qt cz Q, если Т (и) = 0 для всякой функции и с носителем в Q4. Носите лем обобщенной функции называется наименьшее из замкнутых в Q множеств, вне которых она равна нулю. Обобщенная функ ция называется финитной, если ее носитель компактен в £2. Мно жество финитных обобщенных функций допускает простое опи сание: каждая финитная обобщенная функция представима в виде конечной суммы обообщенных производных от непрерыв ных в £2 функций (с компактным носителем) .
Теория обобщенных функций позволила создать мощный аналитический аппарат, являющийся расширением аппарата классического анализа. Одной из важных составных частей это го аппарата является преобразование Фурье.
Л и т е р а т у р а : [12], [13], [27], [60], [67], [99], [111], [112].
4. Преобразование Фурье. Пусть функция u(s) определена во всем пространстве Rn и принадлежит пространству S(Rn). Ее
§ 1.' ПРОСТРАНСТВА |
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ |
77 |
преобразованием Фурье называется функция |
|
|
й ® = "(2nfV |
I е~‘ а' S)U^ ds = F (“)’ |
|
где l = (ii, .... In).
Преобразование Фурье осуществляет линейное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства S(Rn) на себя. Обратное отображение определяется сходной
формулой |
|
|
д (s) = |
J* <S 5>У |
dl = F~' |
|
Rn |
|
Справедливо равенство Парсеваля |
|
|
J |
И (s)v (s) ds = J й (i) V (|) d% |
|
Rn |
Rn |
|
или |
|
|
J |
и (s) o(5)d s = \ n |
(I) з Ц )d%. |
Rn
Пространство D(Rn) плотно вложено в пространство S(Rn), поэтому существует естественное вложение сопряженных про странств S'(Rn)cz D'(Rn)y т. е. всякий непрерывный линейный функционал на S(Rn) однозначно определяется некоторой обоб щенной функцией, которая называется медленно растущей. При мерами регулярных медленно растущих обобщенных функций могут служить функции из C°°(Rn), у которых все производные имеют не выше чем степенной рост на бесконечности, или функ ции из пространств Lp(Rn) (р ^ 1).
Равенство Парсеваля можно рассматривать как равенство двух линейных непрерывных функционалов (от и) на S(/?n). Это приводит к следующему обобщению преобразования Фурье (Л. Шварц) : преобразованием Фурье от медленно растущей обобщенной функции Т называется медленно растущая обоб щенная функция, определяемая равенством
?(ы) = Г(й).
Это преобразование будет линейно и взаимно однозначно отображать пространство S'(Rn) на себя.
Пример . Пусть обобщенная функция Ti порождена функ цией f = 1; тогда
6,(»)- ш - й(0) = ^ 5 JU«M|= |
г, («). |
Rn
78 ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Формула обращения приводит к равенству 7\ = (2я)п/2бо. |
||
Для обобщенных производных справедливы формулы |
||
дТ |
. ^ |
дТ |
~ ^ = i s , T |
или ts,T — - щ . |
|
Дальнейшее расширение понятия преобразования Фурье проводится по следующей общей схеме (И. М. Гельфанд, Г. Е. 111илов). Рассматривается линейное топологическое про странство Е, плотно вложенное в пространство S(/?n). Для функ ций этого пространства определено преобразование Фурье F, которое отображает пространство Е взаимно однозначно на ли нейное многообразие E c z S (R n). Отображение F индуцирует на Е топологию: окрестностями в ё называются образы окрестно стей из Е. Сопряженное пространство S'(Rn) естественно вкла
дывается в пространство Е'. Для |
каждого функционала Ф е £ ' |
определяется его преобразование Фурье Ф по формуле |
|
Ф(и) = Ф(б) |
(v ^ E ) . |
Прямое преобразование Фурье, так же как и обратное, ото бражает Е на £, если предположить, что Е с каждой функцией u(s) содержит функцию и(— s).
Таким образом, преобразование Фурье от линейного непре рывного функционала на Е есть линейный непрерывный функ ционал на ё . Оператор преобразования Фурье Е' — является сопряженным к оператору преобразования Фурье Ё-+Е.
Применение изложенной схемы позволяет ввести понятие преобразования Фурье для любой обобщенной функции. В слу чае, когда E = D(Rn) t многообразие Е допускает точное описа ние: оно состоит из всех функций y(s) из S(/?n), которые могут быть аналитически продолжены до целых функций экспоненци ального типа, обладающих тем свойством, что
I zpv (z) | < Сеа1*1, z = s + itу
где постоянные С и а зависят от функции v и показателя р. Пространство таких функций, наделенное соответствующей то пологией, обозначают через Z. В этой топологии последователь ность функций vh(z) сходится к нулю, если она сходится к нулю равномерно на каждом компактном множестве и если суще ствуют такие константы Ср и а > 0, что
I zpvk (z) | < ~СреаI11 (z = s + It)
для всех значений k. Преобразование Фурье от любой обобщен ной функции Т определяется теперь как линейный непрерывный функционал на пространстве Z по формуле
f{v) = T(v) |
(oeZ) . |
§ 1. |
ПРОСТРАНСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ |
79 |
Пр и ме р . |
Для локально суммируемой функции ebs, которая |
|
не является медленно растущей,
ebs — ]/2я б0 (s + ib) = Y 2п 6-ib (s).
Этот пример иллюстрирует тот факт, что преобразование Фурье дает функционал, который уже не может быть вычислен для всех функций из S(Rn), а лишь для тех функций, которые допускают аналитическое продолжение в комплексную плос кость.
Л и т е р а т у р а : [13], [27], [60], [67], [68], [111].
5. Банаховы пространства обобщенных дифференцируемых функций. Теоремы вложения. Сначала рассматриваются функ ции, определенные во всем пространстве Rn-
1) |
П р о с т р а н с т в а |
С. Л. С о б о л е в а Wlp. |
Для |
целого I |
|||||
пространство Wlp {Rn) = |
Wlp (1</?<оо) |
состоит из |
всех |
функ |
|||||
ций H (S ) с |
суммируемой р-й степенью вместе со своими произ |
||||||||
водными до порядка I. В нем вводится норма |
|
|
|||||||
|
|
Ци||*=( |
2 |
И«(Ч |
У/р. |
|
|
||
|
|
|
\\q\< t |
LP) |
|
|
|||
где производные понимаются |
в смысле обобщенных функций |
||||||||
на Rn. Для |
0 < / < 1 пространство |
Wlp состоит из тех функций |
|||||||
и е Lpy для |
которых конечна |
величина |
|
|
|
||||
|
|
+ 1 |
/■ |
и(х) — и (у) \Р dxdy. |
|
|
|||
|
|
\х-у \n+pl |
|
|
|||||
Норма равна корню р - й степени из этой величины. Пусть теперь /> I и / = [/] + Я (0 ^ Л < 1 ). Пространство w \ состоит из тех функций и е W[p> у которых все производные порядка [/] принадлежат пространству W^. Норма вводится по формуле
ll«IU=(ll«Cm+ 2 И««ЧМ1/р.
р \ |
р |
U N 1 |
р ) |
Наконец, при /< 0 по определению полагают
w lP = (w;>У, \ /р + \/Р' = \.
2)П р о с т р а н с т в а Н1Р (бесселевы потенциалы). Простран
ство Hlp(Rn) = Н1Р (— оо</<оо; р>1) состоит из |
всех мед- |
ленно растущих обобщенных функций из S'(Rn)y для |
которых |
где F — преобразование Фурье. Норма вводится по формуле
п Р |
р |
80 |
|
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1 = 0 пространство |
H°P= LP. Пространство |
НР1 можно |
|||||
отождествить с сопряженным к пространству Н1Р' в смысле |
||||||||
обычного скалярного произведения. |
|
|
|
|
||||
3) |
П р о с т р а н с т в а |
О. В. Б е с о в а В р . |
Пространство В1Р |
|||||
для |
нецелых / > |
0 совпадает с пространством |
Wp• |
Для |
целых |
|||
/^5 |
1, р > 1 оно |
состоит из тех функций « G |
|
для |
|
кото |
||
рых конечна величина |
|
|
|
|
|
|||
\u\it = |
IUH; , - I + |
s |
и(<?>(х) — 2и(<7) ((x+y)/2)+uiq)(у) \р |
dx dy. |
||||
\х — у Iп+р |
|
|
|
|||||
|
|
|
H N V „ |
|
|
|
|
|
Для |
/ < 0 полагают Вр = {ВР'1)'. При 1 = 0 пространство Вр |
|||||||
не |
совпадает с пространством Ьр и определяется |
косвенным |
||||||
путем через интерполяцию |
(см. гл. III, § 4, п. 6). |
|
|
|
||||
Пространства Wlp, Н1Р и В1Р играют важную роль в теории уравнений в частных производных. Все эти пространства реф лексивны. Пространство финитных функций D(R„) плотно вло жено в каждое из этих пространств. Для р = 2 они совпадают при всех I:
W \ = H \ = в \.
Для целых I совпадают пространства |
Wlp и Нр, для нецелых I |
||||
и р ф 2 они различны. По определению |
Wlp = В1Р при нецелых |
||||
/, при целых / и р ф 2 они различны. |
|
|
|||
Для любого I справедливы вложения |
|
||||
|
Н!р+е сг Wlp с: Н1р~г |
(е > 0). |
|||
Для любого I и 1 < р ^ |
2 |
|
|
|
|
|
В1Рс |
Нр и |
Blp a |
Wlp; |
|
при р ^ |
2 справедливы обратные вложения. |
||||
Пусть |
Q — открытая |
область |
в /?п, |
граница которой Г яв |
|
ляется ориентируемым бесконечно дифференцируемым многооб разием размерности п — 1, относительно которого £2 находится локально по одну сторону. При / > 0 для определения про странств
IFp(Q) (Hlp(Q), В‘р(Q)) применяется следующая схема. В пространстве
W lP { R n) {н1р( R n)y В[ ( R n))