книги / Функциональный анализ

рассматривается подпространство всех функций, аннулирую­ щихся в области £2, и пространством

Wlp (Q) (Hlp(Q), в£(0))

называется фактор-пространство пространства Wlp(Hlp, В1Р) по этому подпространству. На языке обычного анализа это озна­ чает, что пространство

Wlp(Q) (Hlp(Q), В!р(®)) (1> 0)

состоит из всех тех функций u(s), определенных в £2, которые допускают продолжение на все пространство Rn до функций

u(s)<=Wlp(Hlp, В1р)

и

|ы |Ц (а) = т !||Г /|Ц Л ) ,

где infimum берется по всевозможным продолжениям и. Однако для приложений удобно иметь явные формулы для вычисления

норм функций. Эквивалентные нормы в пространствах Wp(Q) и В1Р(Q) (I > о) вычисляются по тем же формулам, что и в про­

странствах w p (Rn) и Blp (Rn) с заменой области интегрирования Rn на область Q. В случае ограниченной области Q простран­

ства Wlp (Q) и Bp (Q) могут быть определены как пополнение по соответствующей норме множества С°°(£2) бесконечно диф­ ференцируемых функций в й.

Для введения пространств с отрицательными I имеются раз­

стоящему из всех элементов, которые как обобщенные функции в Rn имеют носители в £2. Эти элементы, вообще говоря, могут не быть обобщенными функциями в £2 (например, они могут быть мерами, сосредоточенными на границе области). Для ряда задач удобно, чтобы пространства с отрицательными / состояли только из обобщенных функций в £2. В связи с этим замыкание

а значит, и Wpl {Q) = {Wlp>(Q)/ и т. п.

непрерывными операторами из пространств Wlp(Q), HP(Q), Blp(Q)

крывается системой окрестностей, диффеоморфных (п — ^-мер­ ному шару. Требуется, чтобы функции в каждой окрестности в соответствующей системе координат принадлежали определен­ ным выше пространствам (более точное описание здесь не при­ водится).

ции u(s) в области Q ее след ф(сг) на границе Г (т. е. <р(а) = и(а) («г е Г)), по непрерывности может быть расширен до линейного непрерывного оператора, отображающего все пространство

IFp(Q) (Н1Р(Q), Вр(Q)) на пространство Вр-1/р(Г). При этом для

по непрерывности на все пространство Wlp(й) (Hlp (й), Blp(й)) д будет после этого отображать его на пространство Вр-/-1/Р(Г).

но выпуклую метризуемую топологию. Сходимость в этой топо­ логии означает равномерную сходимость на каждом компакт­ ном множестве из О. В силу классических теорем Вейерштрасса пространство Н (0 ) хполно и, значит, является пространством Фреше. Пространство Я(О) ядерно и, следовательно, ненормируемо.

Если O i d 0 2, то сужение всякой функции из Н (0 2) на 0\ дает естественное вложение пространства Я (0 2) в пространство

H(Oi).

Через Л (О) обозначалось (гл. I, § 2) банахово пространство всех функций, аналитических в области О и непрерывных в за­

щающихся в нуль в этой точке.

локально аналитическую функцию. Таким образом определяют­ ся отображения пространств Л(О^) в H (S)t причем образы всех

скую функцию g(pd//o(S). При этом, если gN — одна из функ­

ф № = Ш гI f ^ g N № d z '

где кусочно гладкий контур Г лежит в О П 0 N. Обратно, всякая локально аналитическая функция из # o (S ) порождает по приве­ денной формуле линейный непрерывный функционал на # (0 ) .

Для построения £ф функционал Ф расширяется - до функ­ ционала Ф на некотором пространстве Л ( 0 \ 0 # ) и полагают

* » И - « ( т г т ) -

Последовательность gjv(z) порождает локально аналитическую

Ф У Н К Ц И Ю g<j>.

Аналогичным образом описываются непрерывные линейные функционалы на пространстве Я (5).

Л и т е р а т у р а : [110].

3.Пространства Н р . В этом пункте будут рассматриваться банаховы пространства функций, регулярных в единичном круге

D. Через Нр обозначается совокупность всех таких функций,

для которых

2я

sup f \f(reiQ)\pdQ<oo.

0 < г < 1

Через Н°° обозначается совокупность всех регулярных и ограниченных в D функций.

Величина

2я чUP

при р ^ 1 обладает свойствами нормы. Пространство Нр отно­ сительно этой нормы является банаховым. Если 0 < р < 1, то величина (Ilf — g\\p)p обладает свойствами метрики и Нр пре­ вращается в полное метрическое пространство. Пространство Я°° — банахово относительно нормы

II f L = sup |/(С)|.

В дальнейшем через Lp обозначается пространство функ­ ций на единичной окружности, суммируемых с р-й степенью,

ипространство измеримых ограниченных функций (при р

снормой

\\f\\L = v ra i sup|f(e‘0) | . °о О<0<2я

Каждая функция f(£) из пространства Я? (1 ^ / ? ^ оо) имеет почти везде на единичной окружности предельные гранич­

Lp. Таким образом, пространство Нр изометрично отображается на замкнутое подпространство в Lp, которое также обозначается через Яр. Это подпространство состоит из всех функций из Lp, для которых равны нулю комплексные коэффициенты Фурье с отрицательными индексами, т. е.

дополнение изометрично сопряженному к фактор-пространству:

Нр — (Lp'fHS)'.

Сложнее обстоит дело с пространством Я1. Замыкание ли­ нейной оболочки функций eind по равномерной норме дает под­ пространство Л0 пространства С всех непрерывных на единич­ ной окружности функций, состоящее из граничных значений регулярных в Д и непрерывных в D функций, аннулирующихся в нуле. Каждый функционал из С', ортогональный к подпро­ странству Ло (задающийся, вообще говоря, мерой на окружно­ сти), определяется функцией из Я 1 (мера абсолютно непрерыв­

тор-пространству С/Л0.

странства Я1 и Я°° в пространствах Li и L«> соответственно не имеют замкнутых дополнений.

Свойства пространства Я 1 резко отличны от свойств про­ странства Li. Единичный шар в Я1 имеет крайние точки. Более того, каждый элемент единичного шара принадлежит отрезку, соединяющему две крайние точки, а каждый элемент единичной сферы является серединой отрезка, соединяющего две крайние точки.

Крайние точки допускают следующее описание. Для любой функции f е Я1 такой, что f(0) =5^ 0, функция ln |f(ei0)| инте­ грируема по Лебегу и

2я

■^ J ln |f(e » )|d 0 > ln |/(O )|.

о

Крайними точками единичного шара в Я1 будут те и только те функции f е Я1 с || / ||я, = 1, для которых предыдущее неравен-

ство переходит в равенство. Такие функции называются внеш­ ними, для них имеется аналитическое представление. Замыкание множества крайних точек состоит из всех функций единичной сферы, не имеющих нулей внутри круга D.

Еще одно специфическое свойство пространства Я1: если по­ следовательность функций fn(S)e Я 1 сходится к функции f( £)e е Я 1 равномерно на каждом компактном в D множестве и lim\\fn Ня, ==ИЛ1я»> т0 fn-+f в норме, пространства Н\.

В пространстве Я00 все крайние точки единичного шара сов­ падают с функциями, для которых |/(£) | ^ 1 и

2я

J In [1 — |f (б*®) |] dQ= — оо.

о

Множество непрерывных в D функций, удовлетворяющих этим же условиям, совпадает с множеством крайних точек еди­ ничного шара в пространстве A(D).

Пространство A(D) не изоморфно никакому пространству, сопряженному к банахову.

Сопряженное пространство к Яр, в силу общих теорем гл. I, §4, п. 5, изометрично фактор-пространству L?/Яо. Если 1</?<оо,

где g0 е Нр\ Для пространств Я1 и Я°° таких простых пред­ ставлений нет.

Ли т е р а т у р а : [19], [110].

§3. Банаховы пространства измеримых функций

1.Пространство измеримых функций. Пусть £2— некоторое множество, на а-алгебре подмножеств которого определена по­ ложительная мера. Примерами таких множеств будут отрезок [0, 1], ось (—оо, оо), или, более общо, замкнутое множество ко­ нечномерного пространства с обычной лебеговой мерой, нату­

ральный ряд чисел N = { 1, 2, 3, ...} с мерой, значение которой на каждом подмножестве Nicz N равно числу элементов Яь

Через S(£2) обозначается совокупность всех измеримых функ­ ций x(s) на £2. При этом функции, отличающиеся друг от друга на множестве меры нуль, отождествляются и, строго говоря, элементами пространства являются классы таких функций. Со­

р (х, у) = inf arctg (т + mx-y (т)).

т >0

Относительно этой метрики S(£2) является полным линей­ ным метрическим пространством. Сходимость в этом простран- - стве эквивалентна сходимости по мере: последовательность {*n(s)} сходится по мере к *o(s), если

при каждом т > 0. Если мера £2 конечна, то эквивалентная то­ пология в пространстве S(£2) порождается метрикой

В дальнейшем рассматриваются различные банаховы про­ странства, вложенные в S(£2). При этом свойства норм этих пространств связаны со структурой полуупорядоченности про­ странства.

т. е. она либо конечна, либо Q есть объединение счетного числа* измеримых множеств конечной меры. В случае, когда Q = N, рассматриваемые функциональные пространства переходят в

определяется дополнительная Af-функция. Дополнительной к М*(и) является сама М(и).

Говорят, что Af-функция М(и) удовлетворяет Дг-условию, если

Игл М(2и) < оо,

U->oo М (и)

иД2-условию в нуле, если

шМ(2м) < оо.

и->О М (и)