книги / Современная теория ленточных конвейеров горных предприятий
..pdfe • |
, |
C3Z ,7 tV |
_ |
t 0^ t : „ „ „ 3 , |
|
|
|||||
xsin2^sin2у + |
|
'3— cos3£sin ^cos3v|/sin v|/- |
|
||||||||
|
|
|
Z? |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зс3/.я3а 3со,>n |
|
9 u |
9 |
|
. 9 |
|
. 9 |
и |
|
|
|
|
-cos |
4cos |
у sin |
v|/sin |
q + |
|
|
||||
3^3 |
|
|
|
3 |
• |
3c |
„3r |
3„3 |
4__;_4 |
||
3c,Lna (a |
|
|
|
CLaCOg . |
|||||||
V 2L |
-cos 4cos \|/sin3у sin |
4------- 3—-sin |
у sin £ - |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 3La3sin44cos3i)/sin\|/]^<Z\)/ |
|
|
|
(3.76) |
|||||||
Интегрируя выражение (3.76) в указанных пределах, полу |
|||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (а ) = - со0п |
|
г|лЕЛ,я4асо0 | gw'La(o0 |
ctLa(o0 п |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зс3£ я2а 3со0я 2 |
c3La3cOg 9я2 |
|
|
|
(3.77) |
||||||
vL2 |
32 |
|
^3 |
|
32 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Или, преобразуя, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
(,2v |
32 |
vL2 |
32 |
v3 |
|
2L4 |
(3.78) |
|||
W |
|
2 v ) |
|||||||||
Выражение для 5, (о) запишем в виде |
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 л |
|
L |
|
a, y)X,{x)dxd\|/ |
|
Bt(a) = - |
|
|
|
- |
J C O S |
\|/ //„(* , |
|||||
|
L. |
|
|
||||||||
2со0ст jx * (x )d x |
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируя это выражение, получим |
|
|
|||||||||
в ( „ \ - |
1 |
( |
nkLa к3 |
9b3La3n2) |
|
|
|||||
l W ' " o |
0flit2f |
I ^ |
T |
" |
|
|
32 |
J' |
|
|
|
После преобразований |
|
||
L ( |
~г |
9Ь,а |
|
|
я к |
(3.79) |
|
*,(«) = -соп |
------+ —2— |
||
4LpF |
32 |
|
|
Таким образом, для решения первого приближения имеем следующую систему:
я
5 = asin—JCcos \|/;
L
da■= а |
с,__г|л£7я4 |
gw' | |
3 |
с2я 2а |
2 |
9 |
с3©рД2 |
(3.80) |
|
~dt |
2v |
2L4 |
2v |
32 |
vl} |
|
+ 32 |
v2 |
|
*/\1/ |
1 |
я 2/: |
9b,cf |
|
|
|
|
|
|
- J = ©0 + — |
4LpF |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
©n |
|
|
|
|
|
|
||
Для случая стационарных колебаний da/dt = 0.
Тривиальное решение имеет вид «сто = 0 и соответствует ус тойчивому движению ленты вдоль центральной линии 8= 0. Кроме тривиального решения, имеем также выражение для ста ционарного значения амплитуды первого цикла:
|
г|„Е/я4 ( |
gw |
с, |
|
|
|
|
аы = |
|
2L4 |
2у |
2у |
|
|
(3.81) |
|
3 с,я |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 32 vL2 ' 32 |
v2 |
|
|
|
||
Частота стационарных колебаний |
|
|
|||||
|
|
|
|
Л„£/я4 | gw |
с, |
|
|
СО . = |
сО п |
ъ1к |
| ь |
21? |
2у |
2у |
(3.82) |
+ |
|
2 ^ |
я 2ю0 ю2") |
||||
ст1 |
0 |
14LpFw0 |
|
||||
|
|
|
|
|
3vL2 |
v2 J |
|
Проинтегрируем второе уравнение системы (3.80), приведя его сначала к более удобному виду. Введя обозначения
М _ |
4„EJn4 |
gw |
2v |
2П |
2v |
|
Гп2 , 3C0Q |
|
32v чЬ2 v2 |
, |
|
запишем второе уравнение системы (3.80) в виде
da
• = N dt.
, М 2
а— + а
N )
Интегрируя это уравнение, получаем
In М а |
= 2Mt + 2 |
— C, |
|
— +а2 |
|
N |
|
N |
|
|
|
откуда |
|
|
|
Na2 |
М |
|
(3.83) |
= ехр 2— С ехр(2Mt). |
|||
M +Na2 |
N |
|
|
Из начального условия а = а0 при t = 0 (т.е. предполагается, что в начальный момент времени лента имеет некоторое смещение а0) определяем член, содержащий постоянную интегрирования:
( п |
М Л |
" 2 |
|
ехр 2 |
— С |
= |
2• |
|
N |
M+Na, |
Тогда выражение (3.83) запишем в виде
Na2 a2N -ехр(2M t) .
M + N a2 ~ M+Na,
Следовательно,
М
а2 —■
М
- N 1+ехр(-2 Mt)
Nal
С учетом соотношения (3.81) окончательно запишем
а = |
|
а... |
2 |
(3.84) |
|
|
'1+ £s |
ехр(-2 Mt) |
|
° 0 |
J |
Выражение (3.84) описывает эволюцию во времени ампли туды поперечных колебаний ленты от некоторого начального смещения а0. Интегрируя третье уравнение системы (3.80), по лучаем
V - Фо +(V + |
п2к |
9ЬЪ |
|
|
|
|
dt |
||
— + T Z — а1 /- |
|
|
|
||||||
|
|
|
4LpFa>0 |
32(о0 |
|
°1+ |
= f - l |
схр(-2ЛЛ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интеграл в этом выражении имеет вид |
|
|
|||||||
г |
|
dt |
|
|
1 |
|
1 |
( |
„1 ^ |
|
|
= t+- |
-In 4 |
+ |
1 |
1 ехр(-2М/) |
|||
|
|
|
|
2М |
|
|
1 |
и ° |
|
|
|
|
|
«ст |
1 |
ст / |
|||
|
i + M M |
ехр(-2 Mt) |
|
|
\ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J
Таким образом, для описания эволюции фазы колебаний во времени имеем следующую формулу:
Ч/ = ф0 + СО</+ |
тхгк |
-+ 9 * v O t + |
||
4LpFoi0 |
32со0 |
|||
„2 |
( |
1 |
„2 \ |
|
+ |
|
w0 |
ехр(-2 Mt) |
|
64со0М а:, |
Г |
о |
|
|
Общее выражение для бокового схода ленты в первом при ближении запишем в виде
5,(0 = |
|
|
|
•cos {cp0+(co0+ |
|
||
|
1+ ч _ |
exp (-2 Mt) |
|
||||
|
|
V ао |
j |
|
|
|
|
+- |
%гк |
9Ьм 2 \ |
|
9b,а2 |
|
||
|
Зет |
t +- Зст |
In |
|
|||
4Lp/rco0 |
32to0 |
|
64со0М |
|
|||
|
2 Л |
|
К |
|
|
||
1 |
a° |
exp (-2 Mt) |
|
(3.85) |
|||
►sin—X , |
|||||||
1 |
.2 |
|
|||||
|
a.CT J |
|
|
L |
|
|
|
где
M |
|
t|„EJn4 | gw |
c, |
|
|
2L4 |
2v |
2v . |
|
a‘x V N |
|
3 с3л3 |
9 CJCOQ |
|
|
|
32 vL2 |
32 |
v2 |
'£ / |
л4 |
/ |
V |
, |
> £ |
L4 |
- - V |
7 Г +Й. |
|
(p £ |
|
|
||
С учетом формулы (3.84) для стационарного значения час тоты первого приближения имеем
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5,(0 = |
( |
2 |
аст |
cos{<p0+oo0f + |
|
|||
> |
|
|
||||||
|
1+ |
Дст _ 1 |
ехр(-2М/) |
|
|
|||
|
о |
1 |
|
|
||||
|
\ |
а 0 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 Л |
1«ш• —л х. |
|
|
+ |
|
|
|
ао |
ехр(-2М0 |
(3.86) |
||
|
ъ |
1 |
|
2 |
||||
64со0М |
|
v |
|
«ст у |
|
|
|
|
Выражение (3.86) для амплитуды поперечных колебаний первого приближения позволяет проанализировать характер ее изменения во времени.
Рассмотрим случай, когда М > 0, т.е. |
|
|||
с, |
^ ЛлEJn* ( gw |
(3.87) |
||
2v |
2L4 |
2v |
||
|
||||
В этом случае независимо от значения начального возмущения а0 амплитуда монотонно приближается к стационарному значению
аст, а частота — |
к значению ©ст |
т.е. имеем устойчивые авто |
|||
колебания (рис. |
3.24, а). Действительно, |
если а0 < аст, |
то |
||
{aU al - l )>0 |
и |
limа = аст; если а0 > аст, то |
-1 < (я2т/а 02- l ) < 0, |
||
но выражение |
(а^/а^ - l)e x p ( - 2Mf) |
всегда остается больше |
- 1, |
||
знаменатель подкоренного выражения всегда положителен и в пре деле стремится к единице. Таким образом, lima = aCTпри / —><».
Нетрудно также показать, что для случая М > 0 движение с амплитудой аст = 0 неустойчиво. Как бы мало ни было началь ное значение амплитуды, оно будет монотонно возрастать во времени до значения аст. Таким образом, поскольку случайные малые возбуждения неизбежны, в рассматриваемой колебатель ной системе, находящейся в состоянии покоя, возбуждаются ко лебания с нарастающей до аст амплитудой (рис. 3.24, б).
Выражение для частоты имеет вид
1 |
| 9 Ь 3 а 2 |
J _________ |
С0 = (00 + — |
|
1+ Ч ехр(-2М/) |
©о 2LpF |
32 " |
\ ао
Из этого выражения видно, что lim© = ©ст при t —» оо.
Рис. 3.24. Виды автоколебательного движения ленты
Рассмотрим случай, когда М <О, т.е.
с, Л ЕМ Л { gw'
(3.88)
2v 2L4 2v '
Если начальное возмущение а0 <аС7 то амплитуда колебаний
а = |
а |
(3.89) |
|
|
'1 + % -1|ехр|-2М /| |
|
ао |
и знаменатель в пределе стремится к бесконечности, следова тельно, lima = 0 при г — г.е. колебания носят затухающий характер (рис. 3.25, а), а частота стремится к величине
со = со0н |
7i2k |
. |
|
|
4a>0LpF |
Если начальное возмущение а0 > аст, то а2 <0 и колебания в системе поддерживаться не могут: лента совершает апериодиче ское движение к стационарному положению, характеризуемому амплитудой аст, и когда текущее значение амплитуды достигает
Рис. 3.25. Виды затухающего движения ленты
значения аст начинаются затухающие колебания до а = 0 с час тотой, стремящейся к со (рис. 3.25, б). Константа с, представля
ет собой коэффициент при первом члене разложения в ряд при веденного коэффициента трения / пр. Выше показано, что ее ве личина существенно зависит от угла обхвата лентой ролика и возрастает с увеличением этого угла. Угол обхвата возрастает с уменьшением натяжения ленты, диаметра ролика, жесткости при изгибе ленты (с уменьшением числа прокладок), т.е. возрас тает от совокупности всех тех факторов, которые соответствуют конвейерам небольшой длины и производительности, например участковым шахтным конвейерам, забойным карьерным, а так же нижним ветвям конвейеров.
Условие (3.84) для таких конвейеров выполняется легче, поэтому конвейеры с подобными параметрами имеют большую склонность к автоколебаниям. Небольшие скорости также рас ширяют область возможного возникновения автоколебаний.
204
На конвейерах значительной длины и производительности, с высоким натяжением ленты, большим диаметром роликов, жесткой лентой и высокой скоростью ее движения наиболее ве роятно выполнение условия (3.89), исключающего автоколеба тельные режимы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шахмейстер Л .Г Дмитриев В.Г Вероятностные методы расчета транспортирующих машин. — М.: Машиностроение, 1983. — С. 255.
2.Шахмейстер Л.Г., Дмитриев В.Г. Теория и расчет ленточных конвей еров. — М.: Машиностроение, 1978. — С. 391.
3.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Физматгиз, 1958. — С. 408.
4.Дмитриев В.Г., Реутов А.А. Исследование боковых смещений ленты порожняковой ветви конвейера, оборудованной центрирующими опорами // Изв. вузов. Горный журнал. — 1980. — №11. — С. 43— 47.
5.Митропольский Ю.А., Мосеенков Б. И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. — Киев: Вища школа, 1976. — 592 с.
If
4
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПУСКЕ И ТОРМОЖЕНИИ КОНВЕЙЕРА