книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

тороидальных областей вокруг заряженной черной дыры. При достаточно сильном магнитном поле посторонние заряды удерживаются в ловушках и черная дыра не раз­ ряжается. В результате будет наблюдаться изгибное и магнитотормозное излучение релятивистских частиц из магнитосферы черной дыры. В данной модели наличие джетов у рентгеновского источника SS 433 объясняется выдавливанием вещества из магнитных полюсов при сверхкритической аккреции от оптического компонента.

Сверхмассивные черные дыры (~ 108 Мс) иногда предполагают основным источ­ ником энергии в ядрах активных галактик и в квазарах. В качестве альтернативы яд­ ро активной галактики можно представить в виде плотного вращающегося обьекга, состоящего из вырожденных звезд различного типа, магнитные поля которых взаим­ но согласованы и образуют одно выделенное направление в пространстве. Тогда при постоянном притоке газа на такой объект возможно образование долговременных джетов и выбросов из ядра вдоль выделенного направления, что часто и наблюдает­ ся.

В заключение рассмотрим вопрос о сингулярности внутри черных дыр. Предпо­ ложим, что при коллапсе вещество движется по спирали с уменьшающимся радиу­ сом. Вследствие эффектов ОТО удаленный наблюдатель должен увидеть, что быстрое вначале сжатие сменяется медленным асимптотическим подходом к гори­ зонту черной дыры, а излучение от вещества испытывает все большее красное сме­ щение и затухает [216]. Время достижения горизонта можно найти по формуле:

где R - радиус горизонта черной дыры, г - текущее расстояние.

При приближении г к R время логарифмически нарастает, поэтому удаленный наблюдатель сингулярности не увидит.

В системе координат, связанной с падающим веществом, наблюдатель может пе­ ресечь горизонт черной дыры. Как было рассмотрено выше, коллапс обязан сопро­ вождаться диссипацией энергии вращения вещества с уменьшением момента импульса. После пересечения горизонта даже фотоны не смогут покинуть черную дыру, поэтому вся диссипированная энергия останется в черной дыре. Если считать, что энергия диссипации находится в виде поля (например, электромагнитного), то прежде чем вещество уйдет в сингулярность внутри черной дыры, оно превратится в поле. В результате для внешнего наблюдателя вещество черной дыры как бы размаза­ но по ее поверхности, в то время как для внутреннего наблюдателя материя черной дыры должна бы быть излучением (полем) в равновесии с веществом типа ядерного.

К вопросу о сингулярности в черных дырах можно подойти и с другой стороны. Вращающиеся черные дыры с массой (1 - 1,5) Мс близки по своим свойствам к нуклонам — и те и другие имеют одинаковую характерную скорость частиц - скорость света, а характерный спин нуклонов, равный постоянной Планка Л, подобен звездной постоянной hst являющейся характерным спином данных черных дыр. В § 23 было показано, как для звезд работает соотношение неопределенностей Гейзенберга. Для черных дыр, как и для нуклонов, можно записать согласно (91):

где АР - неопределенность в величине среднего импульса вещества черной дыры,

АХ - неопределенность величины средней координаты вещества, Lx - характерный спин черной дыры,

hs = 2 n h s - звездная постоянная (98).

Если при своем возникновении черная дыра имеет характерный спин Lx , то в да­ льнейшем он уменьшиться не может (это не относится к обычному спину, который отмечается удаленным наблюдателем), поскольку черная дыра не выпускает мате­ рию и общий спин материи не может уменьшиться в силу закона сохранения момен­ та импульса. В то же время сингулярность требует обязательного уменьшения именно характерного спина —то есть предельно возможного спина частиц, находя­ щихся в сфере заданного радиуса. Следовательно, должно выполняться (329), и ско­ пление вещества в одной точке (сингулярность), когда АХ = 0, сопровождается бесконечно большим импульсом вещества, что можно считать невероятным. Отме­ тим, что в рамках теории РТГ [118] сингулярность также не имеет места.

в) Характеристики черных дыр.

В зависимости от наличия спина и заряда черные дыры в общей теории относительности разделяются на четыре типа, описываемые разными метриками пространства-времени:

В качестве примера рассмотрим экстремальную Керр-Ньюменовскую черную дыру, имеющую максимально возможные вращение и заряд, причем вклады враще­ ния и электрического заряда в формуле (320) будем считать одинаковыми. В этом случае подкоренное выражение в (320) равно нулю и выполняется следующее соот­ ношение:

Однако, как будет показано далее, некоторые параметры такой экстремальной черной дыры обращаются в нуль. В этом случае мы будем находить соответствующие параметры невращающейся незаряженной черной дыры Шварцильда, обозначая их значком «ш».

Одновременно характеристики черных дыр можно оценить с помощью системы координат «масса —характерный спин —скорость света», то есть с помощью теории размерностей (смотри (252), (256)). Такие оценки будут обозначаться штрихом.

Положим теперь, что гравитационная масса нашей черной дыры М = 1,414 Afc, а характерный спин Lx равен звездной постоянной hs, и найдем ее параметры.

1. Радиус горизонта событий согласно (320) и (330):

Из звездных планковских единиц типа (242) получаем третью оценку радиуса:

2. Коэффициенты подобия по отношению к протону:

здесь М = 1,414МС - масса черной дыры, Л/? - масса протона,

R = 2,088 км - радиус черной дыры, Rp - радиус протона по (82),

у—гравитационная постоянная,

Л- постоянная Планка,

с - скорость света.

Предполагается, что характерные скорости частиц в протоне и в черной дыре одинаковы и равны скорости света.

3. Спин согласно (330) равен:

I = = 1,24-10"Дж-с.

<2 с

4.Характерный спин по (269):

Lx = MRc = ^ - = 1,76-10" Дж-с= Л5.

С

5.Характерный интервал времени:

t =R/c = 7-10‘б с = / ' = - Ц - . 3/с

р „ P f ! _ л /4с 5 _

= 2,2-Ю3* Па.

8.Характерное ускорение на горизонте черной дыры:

^ _______________ с*^у1М 1 - l 2M~2c2 - yg2(4^gor ‘____________

2угМ 2 —у ^2(4^ге0)“1 + 2 у М ^у 2М 2 - I 2 М~2 с2 - у^2(4яг0Г 1

В силу выбранных нами условий (330) гравитационное ускорение (7оказывается равным нулю и черная дыра другие массы вблизи горизонта не притягивает. Для оценки возможных величин ускорения возле черных дыр обратимся к шварцильдовской черной дыре:

Ускорение из теории размерностей:

G' ~ — =4,3-10,3м/с3. hs

t

Интересно, что в выражении для максимальной светимости нет зависимости от массы, так что светимость одинакова для всех экстремальных черных дыр. Для чер­ ной дыры Шварцильда максимальная светимость равна:

£ = — = 1,810я Вт. 2у

Отсутствие зависимости максимальной светимости черных дыр от массы позволяет провести сравнение светимости черных дыр и протона. Согласно (256), максимальную светимость протона можно представить в виде:

= M i l 1 = 3,4-1013 Вт. h

Максимальная светимость черной дыры L колеблется в пределах (1,8 —3,6)* 1052 Вт в зависимости от наличия спина у черной дыры. Отношение светимостей равно:

— = (0,53 - 1.06И 03’ .

Ьр

С другой стороны, светимость имеет следующую размерность:

[Ц = (Масса)(Длина)2(Время)_3.

Тогда, используя коэффициенты подобия по массе, размерам, времени и скоро­ стям, можно записать:

— = Ф '(Р ')\л 'у } = 0 '(P 'r '(S ')\ LP

Подставляя Ф\ Р\ S' из пункта 2, вновь получим:

he

= 5,ЗТ038 =

2 уМ \

Поскольку характерная скорость частиц в черной дыре, как и в протоне, равна скорости света, то можно представить себе, что черная дыра наполнена излучением с температурой, равной внутренней температуре протона. Максимальная светимость получится тогда, когда все это излучение вдруг начнет покидать черную дыру. Используя (165), приравняем светимость абсолютно черного тела и максимальную светимость черной дыры Шварцильда:

а4лЯгТА = — , 2у

здесь о - постоянная Стефана-Больцмана, R - радиус черной дыры,

Т —температура черного тела.

Подставляя вместо Т внутреннюю температуру протона (187), найдем R:

R= ] - —— =г = Зкм.

у8лауТ*

Полученный радиус практически совпадает с радиусом легкой черной дыры Шварцильда в Таблице 57.

11. Характерная внутренняя температура черной дыры близка к температуре внут­ ри протона, поскольку зависит только от средней скорости движения частиц согласно (186)-(187):

здесь М = Мр Ф'—масса черной дыры,

K's = кФ' - эквивалентная звездная постоянная Больцмана, к —постоянная Больцмана, Ф'—коэффициент подобия по массе,

МР—масса протона,

с—скорость света.

12.Внутренняяя условная энтропия черной дыры может быть определена как от­ ношение полной энергии к внутренней средней температуре (как если бы энергию звезды забирали в виде тепла при постоянной температуре):

Аналогично, в звездах главной последовательности средние внутренние темпера­ туры почти одинаковы, и для условной энтропии с учетом теоремы вириала, когда полная энергия звезды равна ее тепловой энергии, можно записать:

здесь E s = - M SC2(A/Z)2 - полная энергия звезды согласно (44),

Ък

согласно (178),

М s —масса звезды,

С = 220 км/с - звездная скорость,

A, Z —массовое и зарядовое числа звезды,

fi —количество нуклонов на одну частицу газа звезды, ц ~ 0,5 - 2.

Если пренебречь величиной /г, то мы находим, что условные внутренние энтропии звезд главной последовательности и черных дыр практически совпадают и зависят только от массы. Условная энтропия, приходящаяся на один нуклон вещества звезды ГП, равна:

Для простейшего вещества - водорода /г = 0,5, а энтропия

SH = Зк = 4,14-10"23Дж/К.

13. Эффективная температура поверхности черной дырыс точки зрения удаленного наблюдателя в общем виде определяется согласно [207] квантовыми процессами рождения частиц:

Т = tiG I n k c '

где %—постоянная Планка, G- ускорение на горизонте, к - постоянная Больцмана,

248 §35. Черные дыры

с —скорость света.

Для нашей экстремальной черной дыры ускорение на горизонте G = 0 и поверх­ ностная температура Т также равна нулю. Интересно, что согласно [226] нулевая температура поверхности черной дыры имеет тот же характер, что и абсолютный нуль температуры Кельвина —его невозможно достичь за конечное число шагов.

Найдем температуру черной дыры Шварцильда при М ~ 1,414 М с :

Пс3

Тш = 8л к у М = 4,36-КГ8 К.

Наличие температуры у черной дыры означает, что она излучает с минимальной светимостью согласно (165):

L' = оАшТщ = 4,49-КГ29Вт,

здесь а = л 2 к4 = 5,67032*10~8 Вт/(м2*К4) - постоянная Стефана-Больцмана,

60й3с3

А= 4я (Л2 + I 2 М~2 с 2) - площадь горизонта черной дыры в общем случае,

Аш = 4 лВ}ш = 1 6 лу2М 2с~4 = 2,19-Ю8 м2.

Благодаря светимости Ь'ш черная дыра может испаряться, теряя массу (процесс Хокинга). Для шварцильдовской черной дыры можно найти предельное время ее испарения, приравнивая светимость к уменьшению полной энергии и решая дифференциальное уравнение:

Поскольку кроме фотонов черная дыра излучает и другие частицы, время испаре­ ния будет меньше, чем (ш [65]. В связи с этим в приведенный выше расчет можно ввести следующие уточнения. Во-первых, вращающаяся черная дыра теряет энергию за счет рождения частиц со светимостью:

-— ~ Па)г < 1,2-10"25 Вт, dt

здесь ft—постоянная Планка,

со - максимальная угловая скорость вращения. Данная светимость превышает светимость Ь 'ш.

Во-вторых, в формуле для светимости Ь'ш вместо площади горизонта Аш необходимо подставлять площадь сечения захвата частиц, равную величине 21л у2 М 2 с'4 для высоких частот и несколько меньшую величину при низких часто­ тах.

В-третьих, согласно [339], [340] учет рождения нейтрино черной дырой Шварцильда дает для светимости массивных черных дыр (М > 1014 кг):

нейтрино и антинейтрино.

С учетом данных эффектов время жизни шварцильдовской черной дыры по [144] оценивается так:

/ < 910"18 М ъсекунд, где масса М —в килограммах.

выглядит изнутри и снаружи). Как внешняя, так и внутренняя условная энтропии зависят от массы, причем для шварцильдовской черной дыры их легко связать между собой:

где У —2,39’Ю-15 К/Дж.

Связь между энтропиями Бш и SB чем-то напоминает связь между площадью поверхности и радиусом шара.

Если рассматривать протон и шварцильдовскую черную дыру с массой 1 Мс, то можно отметить ряд свойств, сближающих эти обьекты. Во-первых, характерные скорости внутренних частиц этих объектов одинаковы и равны скорости света. Во-вторых, совпадают характерные внутренние температуры. В третьих, имеется по­ добие характерных спинов и радиусов:

Rp ~ — ----- характерный радиус протона,

МРс

Rn = - = J h -----радиус горизонта черной дыры,

сМд с

здесь h - постоянная Планка, МР- масса протона,

с—скорость света,

у- гравитационная постоянная, Мд = 1 Мс —масса черной дыры,

hs = 1,761042 Дж- с - звездная постоянная.

Предположим, что для протона, как и для черной дыры, существует связь между внутренней условной и внешней поверхностной энтропиями:

S РШ = У р & Р В ’

где SPU1- поверхностная энтропия протона, Ур—коэффициент пропорциональности,

S PB - условная энтропия протона.

Коэффициент У для черных дыр имеет размерность: М = М -' L _JT 2 Q,

где М - размерность массы, L - размерность длины,

Т —размерность времени,

Q - размерность температуры.

Считая температуру неизменной, можно найти Ур из соотношения подобия:

L . = (Ф Г1(Р'ГЧЛ')7 = ( Ф Г '^ Т 2, Ур

где Ф\ Р\ П \ S' —коффициенты подобия по массе, размерам, времени и скоро­ стям соответственно.

В нашем случае Ф' = М д/ МР, а отношение скоростей частиц S ’= 1, тогда:

у = у ф ’ = Y J h .,

F Mf

Для атома водорода энтропия равна 3 к, а для протона она будет в два раза меньше:

Зрв ~

где к —постоянная Больцмана.

Тогда поверхностная энтропия протона будет равна:

Как и для черной дыры, поверхностная температура, энтропия и полная энергия протона связаны между собой, так что можно найти поверхностную температуру:

Температура Трш может быть границей, ниже которой долговременно охладить вещество будет просто невозможно —если изолировать такое охлажденное вещество, оно вновь нагреется до температуры ТрШза счет внутренней энергии протонов (нуклонов, ядер). Более точные результаты можно было бы получить при учете рожде­ ния заряженных частиц в электрическом поле. Заметим, что при магнитном охлажде­ нии с использованием адерного парамагнетизма уже достигнуты температуры у систем ядер порядка 2*10~8 К [232] идаже 8-КГ10 К согласно [121]. Низкая поверхност­ ная температура протонов гарантирует их долговременную стабильность. Если счи­ тать, что:

Sp = 4жЯ\ —площадь поверхности протона,

L'p = a S p Тр —поверхностная светимость протона по (165),

he*

ТР = ТРШ = ----------—— поверхностная температура протона,

Ы уМ рФ к

М

Ф' = — — = 1,681057 - коэффициент подобия по массе по пункту 2,

МР

то интегрируя по массе протона Мр) как в пункте 13 интегрировали по массе чер­ ной дыры, можно оценить время «испарения» протона:

Испарению протонов противодействует также микроволновое фоновое излуче­ ние с температурой 2,7 К.

15.Угловая скорость (угловая частота) вращения:

Я2М 2с2 + Р