книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Предположим, что протон и электрон двигаются в ячейке как в потенциальной яме. Для минимальной энергии такого движения согласно [11] имеем:

где h - постоянная Планка, т —масса частицы.

Из (226) видно, что поскольку масса электрона меньше, чем масса протона, то кинетическая энергия электрона превышает кинетическую энергию протона и по­ следней можно пренебречь. Используя (225), приравняем (226) при т = М Е, где МЕ - масса электрона, к величине (-£/'/2) из (224) согласно (223) и найдем N:

В (227) учтено, что количество протонов в р-звезде N равно коэффициенту подобия по массе Ф.

Будем считать, что радиус протона Rp точнее всего определяется по формуле (82):

2 МРс

где с —скорость света.

Вкачестве радиуса/?^ необходимо брать радиус полностью вырожденной звезды

смассой 0,056 Мс. Относительно величины Rps можно сказать, что она должна быть меньше, чем в Таблице 8 , где приведены радиусы звезд главной последовательности. Выразим RPS через коэффициент подобия по размерам Р0 и подставим в (227):

где К1> 1 согласно результатов § 11 (смотри Таблицу 20).

Из (229) можно оценить коэффициент Р0 при Ф = 6,654Т055 согласно (11) и

Найдем теперь связь между коэффициентами подобия по массе и скоростям Ф и S 0 с помощью постоянной тонкой структуры a s (§ 14) для звездных систем:

Фhca

В(234) коэффициенты подобия Р0, $ 0,Ф связаны между собой через фундамен­ тальные постоянные (это же получается и из (231)). С другой стороны, коэффициен­ ты подобия можно выразить и только через безразмерные величины, подставив (231)

в(229):

Коэффициент К в (235) для однородной звезды был бы равен 0,6, а в § 8 для p-звезды на стадии НГП путем экстраполяции было найдено К= 0,86. Сделаем оцен­ ку коэффициента К для вырожденной p-звезды. Скомбинируем следующие соотно­

здесь М Е —масса электрона, М р —масса протона,

Со способами построения других планковских единиц и теорией размерности в астрофизике можно познакомиться в [69]. Обычно считают, что квантовые эффекты в гравитации становятся существенными, когда необходимо изучать объекты, параметры которых близки к планковским единицам. Например, таким объектом могла бы быть наша Вселенная, если считать, что она расширялась от сингулярного состоя­ ния. Не соглашаясь в целом с таким подходом, построим на основе экзотических планковских единиц, рассмотренных выше, другие единицы (назовем их звездными планковскими единицами), в которых основную роль будут играть:

hs = 2 n h s = 1,76*1042 Дж- с - звездная постоянная по (98), у = 6,672-КГ11м3/(кг-с2) —гравитационная постоянная,

С = 220 км/с —звездная скорость согласно (45).

Мы будем использовать в формулах величину hst а не h s , что несколько увели­ чит точность наших расчетов, однако надо заметить, что теория размерностей дает лишь приблизительные результаты, поскольку не учитывает некоторых закономер­ ностей, присутствующих в реальных звездах. Например, обычным эффектом являет­ ся влияние геометрии объекта - круглая форма сама по себе отличается от других форм, возможна также неоднородность распределения плотности вещества звезды вдоль радиуса и т. д. Часть этих эффектов несложно учесть, поэтому в некоторых формулах будут присутствовать небольшие численные коэффициенты.

Величина R близка к радиусу p-звезды на главной последовательности по (81) и к радиусу вырожденной р-звезды (237). Выразим гравитационную постоянную у в (241) через массу p-звезды MPS и через hs и С:

Если считать, что плотность р ~ —j, то для t получаем стандартную формулу

R

времени 1равитационного падения:

4ур

4.Характерной звездной скоростью является величина С = 220 км/с, а характер­ ным моментом импульса —hs :

С точностью до коэффициента 2,5 плотность (245) совпадает со средней

Величина (247) должна характеризовать момент инерции p-звезды, который, в

У ‘ "S

Ускорение (248) можно сравнить с ускорением силы тяжести на экваторе некото­ рых объектов: у Земли —9,78 м/с2, у Юпитера - 23,01 м/с2, у Солнца - 274 м/с2. Интересно, что у звезд малых масс ускорение растет, что можно проверить с помощью обычной ньютоновской формулы по данным из Таблицы 8 :

Светимость (250), как это ни странно, близка к светимости нашей Галактики Lr = 7,6Т036 Вт из (158). Величина L получается, если звезда очень быстро

188 §27. Оценка параметров звезд по теории размерностей

высвечивает всю свою энергию. С другой стороны, хорошо известно, что сверхновые звезды в момент вспышки действительно сияют, как целые галактики.

где KPS = 9Д87-1052 Дж/К —звездная постоянная Больцмана по (182). Температура (251) достаточно близка к средней внутренней температуре р-звезды

по (184): Тк = 1,95*10* К.

Как видно из (241) - (251), если в соотношениях для планковских единиц испо­ льзовать звездную скорость С и звездную постоянную hs , то мы получаем неплохие оценки параметров звезд. Вероятно, можно было бы решить и обратную задачу: не зная заранее значений С и hs , найти их из условия наилучшего совпадения величин (241) - (251) с известными параметрами звезд.

б) Система координат « М - С - hs».

До сих пор речь шла об отыскании параметров звезд в системе координат «гравитационная постоянная у - скорость - момент импульса». Мы не можем приме­ нить эту систему, например, к атомам, поскольку обычная гравитационная постоян­ ная для атомов не является важной величиной. В то же время, масса является уникальной интегральной величиной, прямо или косвенно (через соотношение масса —энергия) характеризующей любой объект. Поэтому следует ожидать, что система координат «масса - скорость - момент импульса» будет более универсальной и при­ годной для описания свойств как звезд, так и атомов (или других объектов). Для пере­ хода в эту систему координат необходимо выразить в соотношении (241) гравитационную постоянную через массу р-звезды:

2.Характерный размер: R ~ — -— = 7,2*107 метра —радиус р-звезды.

М„С

Мы можем получить еще один интервал времени, если вместо hs подставим величину звездной орбитальной постоянной h0 = 2,Н057Дж*с из (210):

'о = „ h°^ 2 = 3,9-Ю17 с = 1,24*10'° лет.

м ps с

Согласно (210), величина/0 характеризует время достижения p-звездой главной последовательности от состояния протозвезды (время Кельвина-Гельмгольца).

§28. Характеристики протона

Впредыдущем параграфе была определена удобная система координат «масса - скорость - момент импульса», в которой можно произвести оценку параметров как звезд, так и атомных ядер. В принципе, пригодны и другие координаты общим числом не менее трех, что необходимо для описания механических явлений (обычно используют такие единицы, как метр, килограмм, секунда). Найдем характеристики протона с помощью следующих координат:

МР = 1,6726-10-27 кг - масса протона,

Полученное значение Rp с точностью до множителя, равного 2, совпадает с (82).

4jr/r

—М Ас5

4.Среднее давление: Р ~ —£-г- = 5,2*1033 Па.

6. Энергия: Е = - Мрс2 = 4,5-10 10*Дж9876 .

7. Светимость: Lp ~ ~ ^РС = 3,4М013 Вт.

Величина LP является максимально возможной светимостью покоящегося протона (мощностью излучения энергии) при полной переработке его энергии в

излучение.

9 M r 2

здесь а —постоянная тонкой структуры.

Из формулы для заряда видно, что появление электрической постоянной е0 связано только с выбором системы единиц измерения физических величин.

10.Ядерный магнетон:

Экспериментальное значение магнитного момента протона по [62] несколько больше: ц р = 1,4Н0~26 Дж/Тл.

11.Напряженность магнитного поля:

Сравнивая соотношения (252) и (256), находим, что соответствующие величины соотносятся между собой как коэффициенты подобия (например, отношение времен tps/tp равно коэффициенту подобия по времени П0 из (85)).

§ 29. Дискретность коэффициентов подобия

Полученные эмпирически в главе 1 и затем теоретически в § 26 коэффициенты подобия позволяют связать между собой достаточно удаленные друг от друга атом­ ные и звездные системы. Однако существуют и промежуточные по массе системы, имеющие не столь ярко выраженное подобие, например, мелкая космическая пыль и крупные звездные комплексы - галактики. Наличие промежуточных систем позво­ ляет думать о том, что возможно описать их свойства также с помощью коэффициен­ тов подобия. В качестве одного из подходов к этой проблеме предположим, что коэффициенты подобия раскладываются на множители как в геометрической про­ грессии. Показатель степени прогрессии из условия соответствия эксперименталь­ ным фактам для коэффициента подобия по массе возьмем равным 10, а для коэффициента подобия по размерам —равным 12. В результате получим следующее:

1. Масса тел. По (11) коэффициент подобия по массе Ф = 6,654*1055 Множитель прогрессии будет равен:

В качестве первого члена ряда масс возьмем массу электрона МЕ (на сегодняш­ ний день это минимальная масса известных элементарных частиц, если не считать нейтрино). Умножая МЕна Д ф, найдем второй член ряда:

где Ми = 1,66-10“27 кг - атомная единица массы.

Произведение (258) приблизительно равно массе изотопа с массовым числом А = 210, что близко к массам свинца ^РЬ и висмута 2WBi.

Известно, что свинец и висмут являются последними стабильными химическими элементами в цепочках распада радиоактивных семейств урана, тория и нептуния, а