книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Произведем оценку размера электрона с помощью теории подобия, для чего ради­ ус е-планеты разделим на коэффициент подобия по размерам Р0 из (64). Радиус е-планеты можно найти, воспользовавшись зависимостью радиуса известных астеро­ идов, спутников, планет и звезд от их массы, приведенной на рисунке 18 (массы в кг, радиусы в метрах, применены логарифмические единицы). При построении зависи­ мости были использованы средние размеры крупнейших астероидов — Паллады, Весты, Цереры, радиусы Луны, спутника Юпитера Ганимеда, всех планет Солнечной системы, а также радиусы звезд из Таблицы 8. Масса е-планеты согласно (17) равна:

М п = 6,06Т025 кг, тогда из рисунка 18 для7?я получим:

Rn = 20000 км (положение Rn на рисунке 18 отмечено большой точкой). Опреде­ лим теперь радиус электрона:

Лее = Лп/Ро = 3,7Т0-6м.

Полученная величина/^ в 7,6 раз меньше, чем в (80).

Из рисунка 18, экстраполируя от массы Юпитера Мю = 0,000955 М с к звездам минимальных масс, начиная с массы М s = 0,11 Мс>найдем радиус p-звезды, имею­ щей массу 0,056 Мс согласно (15):

П олож ение/^ на рисунке 18 отмечено звездочкой. Радиус (81) близок к радиусам звезд самых малых масс и поэтому введен в Таблицу 8.

Используем другой подход для определения размеров элементарных частиц. По де Бройлю каждой частице ставится в соответствие волна материи:

А = Л mv

где А — длина волны,

h — постоянная Планка,

т— масса частицы,

v— скорость движения.

Максимальная скорость движения есть скорость света, тогда получим:

Хк = — , величина Хк носит название комптоновской длины волны. Считая,

тс

что средняя скорость движения частиц, составляющих протон, равна скорости света, Хк для протона должна быть близка к его размеру. Допустим, что за время Т вся энергия протона Е = М р с2превращается в световой квант с энергией h v , а фронт излучения перемещается со скоростью света от одного края протона к другому. Тогда имеем:

Полученное значение^ практически совпадает с экспериментальными значени­ ями. Например, измерение зарядового радиуса протона, который может быть больше, чем RP, дает среднеквадратичное значение 8,6-10“16 м [231]. Согласно [199], протон имеет среднеквадратичный зарядовый радиус 8,14-КГ16 м, пион —6,63-КГ16 м , К-мезон — 5,ЗТ0“16 м . Еще один вывод соотношения (82) приводится в § 43 в связи с

волнами де Бройля.

Для оценки радиуса протона можно также использовать близость свойств протона и нейтрона, составляющих вместе изотопический дублет. Разницу масс между элект­ рически нейтральным нейтроном и протоном, имеющим заряд е, логично приписать

электрической массе-энергии, уменьшающей по абсолютной величине энергию связи протона и тем самым его эффективную массу, В результате для энергий можно записать:

К е2

СМм- М Р)сг

4Я£0ДР’

здесь M N— масса нейтрона, Мр — масса протона, с — скорость света,

К = 0,6 для однородно заряженного шара и К —0,5 для поверхностно-заряженной сферы,

е— элементарный электрический заряд,

е0 — электрическая постоянная,

Rp — предполагаемый радиус протона.

Подставляя все известные из справочников величины, при К= 0,6 находим:

RP = 6,681(Г“ м.

Используя (82), можно получить третью оценку радиуса электрона:

RE = — — = 1,2-10~|2м.

£2 МЕс

Данная величинаЯЕзначительно отличается от значений/?^ и REEi определенных выше, но перекликается с выводами из работ И. Л. Герловина (смотри например [153]), в которых в рамках теории фундаментального поля построена модель внутрен­ него строения элементарных частиц, найдены гравитационная постоянная, постоян­ ная тонкой структуры и другие константы. Таким образом, мы имеем по крайней мере три оценки радиуса электрона. Как будет показано в § 46, если представлять электрон в виде отдельного шарообразного тела, то оценка его радиуса по (80) некорректна, по­ скольку энергия покоя обычно превышает электромагнитную энергию. Радиус элект­ рона R£E, найденный по методу подобия путем сравнения с е-планетой, также оказывается неправильным. Дело в том, что коэффициент подобия по размерам Р0 (64) определялся исходя из подобия размеров атома и планетной системы, а не из по­ добия размеров самих притягивающихся тел типа протона, электрона, p-звезды или е-планеты. Вто же время формула типа (82) для радиуса протона Rp и радиуса электро­ н а ^ оказывается ближе к действительности (подробное изложение вопроса смотри в §46).

§ 12. Периоды движений электронов и планет. Параметры водородной системы для звезд главной последовательности и атома водорода

Сравним периоды обращения электронов в атоме и планет вокруг звезд:

Здесь Г — период обращения планеты,

R — радиус орбиты планеты, 2 л R — длина орбиты, V— скорость движения планеты по орбите,

t — период обращения электрона, г — радиус орбиты электрона,

v — скорость электрона.

Положим, что атом и планетная система полностью соответствуют друг другу, то есть атомное ядро и звезда имеют одинаковое массовое число, число электронов и планет совпадает, рассматриваемые электрон и планета находятся на подобных орби­ тах. Тогда отношение периодов в (83) будет равно коэффициенту подобия по времени Я:

Отношение Я/г есть коэффициент подобия по размерам (61):

*fr = Р = Р0±

С другой стороны, отношение V/v есть коэффициент подобия по скоростям (27):

Таким образом, длительность протекания атомных процессов почти в 10м раз меньше, чем длительность соответствующих процессов в системах звезд главной по­ следовательности. Для наглядности составим Таблицу 23 с данными для водородной системы (А = 1, Z = 1) в основном состоянии.

68 §13. Основные результаты

Таблица 23 состоит из трех частей. В первой части приведены параметры планет­ ной системы-аналога атома водорода, состоящей из p-звезды и е-планеты—аналога электрона. M PS,M ni R, У, Т, Еп означают массу звезды, массу планеты, радиус орбиты планеты, скорость движения по орбите, период обращения и полную энергию связи планеты соответственно. Параметры необходимо умножить на соответствующий де­ сятичный множитель.

Во второй части приведены параметры для электрона в атоме водорода в основном состоянии. М р, МЕ, г, v, /, Ее означают массу атомного ядра-протона, массу электро­ на, радиус первой орбиты электрона, скорость движения электрона по орбите, период его орбитального вращения и полную энергию связи в атоме соответственно.

В третьей части Таблицы 23 указаны коэффициенты подобия для водородной сис­ темы, получающиеся путем деления параметров планетной системы на параметры электрона в атоме водорода. Ф, P0, S 0, Л 0, Э0 означают коэффициенты подобия по массе, размерам, скоростям, времени и энергии соответственно.

Сравним движение е-планеты вокруг p-звезды с движением Урана вокруг Солнца. Из Таблицы 23 для е-планеты имеем:

Радиус орбиты — 2,877-Ю12 м, скорость У= 1,6 км/с, период Т= 357 лет. Данные для Урана следующие:

Радиус орбиты — 2,872*1012 м, скорость Уур = 6,8 км/с, период Тур = 84 лет.

При практически одинаковом радиусе орбиты указанные планеты имеют разные скорости и периоды обращения. Это легко объясняется из формулы равновесия сил (19):

Скорость движения по орбите V пропорциональна квадратному корню из массы звезды M s . Но Солнце (А = 18) в 18 раз массивнее, чем p-звезда, поэтому скорость движения Урана Уур при том же расстоянии R будет в %/l8 раз больше, чем скорость

е-планеты У:

vyp = M v .

Аналогично, период обращения Урана в М раз меньше, чем у е-планеты:

ТУР = Т / М .

§13. Основные результаты

1.Отличие гравитационных взаимодействий от электромагнитных взаимодейст­ вий в веществе заключается в том, что первые пропорциональны массам взаимодейст­ вующих объектов, а вторые — пропорциональны зарядам. В результате коэффициенты подобия параметров атома и соответствующей планетной системы становятся зависимыми от массового числа А (одинакового для атомного ядра и соот­

ветствующей звезды) и от зарядового числа ядра Z (Z также равно количеству элект­ ронов в атоме и порядковому номеру химического элемента в Периодической таблице).

2. В водородной системе (А = 1, Z = 1) рассматривается подобие параметров между атомом водорода и планетной системой, состоящей из p-звезды (звезды-аналога протона, имеющей массу M ps = 1,1 МО29 кг = 0,056МС) и е-планеты (планеты-анало­ га электрона, имеющей массу М п = 6,06*1025 кг = 10,1 М 3 , М 3 — масса Земли).

ной системы. Одновременно для Э0 выполняется соотношение:

Э0 = Ф$о, Ф = 6,654*1055 — коэффициент подобия по массе.

Оценка величины Э0, полученная из сравнения энергий ионизации атома кислорода и удельной энергии планет Солнечной системы, близка к величине Э0 для водородной системы, превышая ее в 3 раза.

5. Полная энергия звезды без учета энергии покоя составляющих ее частиц складывается из потенциальной (гравитационной) энергии, внутренней (тепловой) энергии движения частиц, энергии излучения, энергии вращения, магнитной энергии и т.д. Для звезд главной последовательности полная энергия может быть записана в виде, аналогичном соотношению Эйнштейна между массой и энергией:

где E s — полная энергия звезды, М s — масса звезды, С= 220 км/с — звездная скорость, А — массовое число, Z — зарядовое число.

Для величины С выполняется соотношение:

С = S0с,

где S 0 — коэффициент подобия по скоростям для водородной системы, с = 299792 км/с — скорость света.

Величина C(A/Z) является мерой средней скорости движения частиц звезды, поскольку выражение для полной энергии (86) имеет вид, пропорциональный кинетической энергии.

Сравнение полной энергии звезд по формуле (86) с результатами расчетов разных авторов (смотри Таблицу 16) показывает, что отклонение величины полной энергии звезд средних масс при эволюции на главной последовательности не превышает

±23 % от среднего значения.

6.Безразмерный коэффициент подобия по размерам Р равен:

Р = Р0 —, Р0 = 5,44*1022 — коэффициент подобия по размерам для водородной

А

системы.

Оценки величины Р0, сделанные при сравнении длин связи двухатомных молекул и полуосей орбит тесных двойных звезд, размеров Солнечной системы и атома кисло­ рода, размеров атомных ядер и радиусов звезд, а также с помощью радиуса орбиты Меркурия, оказываются того же порядка величины, что и Р0для водородной системы.

7.Безразмерный коэффициент подобия по времени П равен:

П= П 0(Z/А )2, П 0 = 7,4Н025 —коэффициент подобия по времени для водород­ ной системы. Одновременно для П0 выполняется соотношение:

П 0 = Р0/S 0, где P0i S 0 — коэффициенты подобия по размерам и скоростям для водородной системы соответственно. Из величины П0 следует, что атомные (адерные) процессы протекают приблизительно в 1026 раз быстрее, чем соответствую­ щие процессы в планетных системах и звездах главной последовательности.

8. Сводка параметров водородной системы и коэффициентов подобия приведена в Таблице 23.