книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

р /р = 1,6-Ю10 (м/с)2 почти совпадает с аналогичным отношением для Галактики в (154), где оно равно 1,8*Ю10 (м/с)2.

здесь А = 209, Z = 83 согласно пункту г) данного параграфа.

7. Светимость: Р3 ~ М3С (А/Z)_ _ 2,56-Ю38 Вт = 6,6-1011 Lc, "э

где Lc = 3,881026 Вт - светимость Солнца.

Рассмотрим простейшую модель, когда в галактике всего лишь один раз происхо­ дит звездообразование, после чего звезды медленно превращаются в вырожденные компактные объекты. Сравним эволюцию такой галактики с эволюцией звезд. Образование звезды происходит за характерное время Кельвина-Гельмгольца tKH, которое почти совпадает с временем аккреции оболочки (время гравитационного сжатия протозвездного облака) и с временем охлаждения звезды , введенном в § 23. Звезда находится на главной последовательности время tMS такое, что в среднем отно­ шение tMS /tfw = 120. После главной последовательности звезда за короткое время превращается в вырожденный объект.

Возвращаясь к нашей модели галактики, обнаруживаем такие же закономерно­ сти. Время образования галактики близко к времени кавитационного сжатия t3 из (316) и согласуется по Таблицам 39, 40 с временами образования звезд с массой до 0,5Мс, что можно считать средней массой звезд рассматриваемой эллиптической га­ лактики. Умножая t3 на 120, найдем среднее время жизни звезд галактики на глав­ ной последовательности и одновременно характерное время жизни галактики до ее превращения в вырожденный объект:

tMS = 120 13 = 1,6*Ю|0лет.

Из аналогии с эволюцией звезд также следует, что маломассивные спиральные галактики должны иметь время жизни, превышающее найденное значение tMS для эллиптических галактик.

8. Внутренняя температура. По аналогии с (178) приравняем модуль полной энергии галактики Е к кинетической энергии движения звезд, выраженную через кинетическую температуру:

\Е\ = M3e { A ! Z f = ± K S N S TK,

где Ks - средняя звездная постоянная Больцмана по (183),

N s - число звезд в галактике,

Тк —средняя кинетическая температура.

Предположим, что средняя масса звезды в галактике равна 0,5Мс: M3/ N s = M s = 0,5Мс.

Если учесть, что по (183) Ks = Кк А, то для температуры Тк находим:

здесь М s = 0,5Мс —средняя масса, приходящаяся на одну звезду,

С= 220 км/с - звездная скорость,

А= 209, Z —83 —массовое и зарядовое числа галактики согласно пункту г)

данного параграфа,

Kps = 9Д87-1032 Дж/К - звездная постоянная Больцмана (182),

А = 9 —среднее массовое число для звезды с массой0,5Мс.

Если подсчитать среднюю внутреннюю температуру Ts звезды с массовым чис­

лом Л = 209 и зарядовым числом Z = 83 по формуле (178), то получится следующее:

Т5 = 1,25-107 К, что в два раза меньше, чем температура Тк галактики, из-за вклада

электронов в общую энергию звезды. В целом же можно считать, что близость

температур Ts и Тк обусловлена одной и той же причиной: средняя скорость движе­

ния частиц в звезде и средняя скорость звезд в галактике пропорциональны звездной скорости С.

9. Эффективная поверхностная температура: Используя (170), для эффективной температуры получим:

тз = (-^ -)1/4 = 1,3-10‘К,

Us Ь

где Рэ - светимость галактики по (316),

Qs - звездная постоянная Стефана-Больцмана (168), S = 4 лЯ 2 —площадь поверхности галактики.

Значительная величина поверхностной температуры Тэ по сравнению со звездами обуславливается большой прозрачностью галактикдля излучения.

§ 35. Черные дыры

а) Коллапс звезд.

Одним из выводов теории звездной эволюции является то, что звезды сжимаются (коллапсируют) под действием сил гравитации от состояния начального газопылево­ го облака до вырожденного компактного объекта, возможно, вплоть до состояния черной дыры. Рассматривая конечную эволюцию различных звезд, можно сделать теоретические выводы и о свойствах гипотетических черных дыр. В Таблице 57 при­ ведены параметры характерных звездных объектов по данным из §§ 1,3,7,15,27,30, 31.

Список объектов в Таблице 57 содержит:

-самую массивную планету Солнечной системы - Юпитер;

-звезды главной последовательности, включая p-звезду (звезда с минимальной массой), современное Солнце, массивную звезду с массой 15,6 Мс в момент прихода на главную последовательность НГП;

-красный гигант популяции II, образовавшийся из звезды типа субкарлика с начальным химическим составом 90 % - водород, 9,9 % - гелий, 0,1% - остальные элементы;

-две модели белых карликов с минимально и максимально возможными масса­ ми (холодные белые карлики);

-три модели нейтронных звезд в диапазоне масс, соответствующем стабильным холодным нейтронным звездам;

рц - максимальная центральная плотность.

Вкруглых скобках приведены степени десятичных множителей, на которые нужно умножать соответствующие величины, а в квадратных скобках указаны ссыл­ ки на работы, в которых сделаны оценки центральной плотности. Обратим внимание на распределение плотности в звездах главной последовательности, белых карликах, нейтронных звездах и черных дырах - во всех случаях максимальные центральные плотности звезд какой-то группы всегда меньше, чем средние плотности следующей более вырожденной группы звезд. Например, средние плотности белых карликов превышают максимальные центральные плотности в звездах главной последователь­ ности. Именно это и должно быть для долговременной стабильности рассматривае­ мых групп звезд.

Как известно, красные гиганты являются промежуточной ступенью при эволю­ ции звезд главной последовательности к белым карликам. В модели красного гиганта

вТаблице 57 радиус звезды достигает величины порядка 100 солнечных радиусов, од­ нако значительная масса звезды сосредоточена в небольшом ядре, центральная плот­ ность которого превышает среднюю плотность некоторых белых карликов. Фактически красный гигант есть почти готовый белый карлик, если не учитывать оболочку звезды.

Анализ коллапса звездных объектов на всех этапах необходимо проводить с учетом теоремы вириала, в соответствии с которой работа гравитационных сил при коллапсе идет в одинаковой степени как на увеличение кинетической энергии частиц звезды, так и на излучение (передачу) энергии во внешнее пространство. Для примера рассмотрим стационарное вращение планеты вокруг звезды. Гравитационная сила равна центростремительной силе:

здесь у - гравитационная постоянная,

М—масса звезды,

т—масса планеты,

R0 —радиус орбиты планеты,

v —скорость движения планеты на орбите,

U- гравитационная энергия планеты в поле звезды, Ек - кинетическая энергия движения планеты.

В стационарном случае кинетическая энергия Ек равна половине модуля грави­ тационной энергии U. Орбитальный момент импульса планеты равен с учетом (317):

Притяжение звезды само по себе не может изменить орбитальный момент плане­ ты, поскольку для этого необходимо приложить момент сил, поэтому момент импу­ льса L сохраняется и коллапс невозможен. Допустим теперь, что планета движется в вязкой среде или теряет свой импульс путем излучения света (или любым другим способом). Через некоторый момент времени мы найдем планету с меньшим орбита­ льным моментом и с меньшим радиусом R^ согласно (318). В этом состоянии также выполняется теорема вириала:

так как АЕк > 0, то кинетическая энергия планеты увеличилась. Изменение потенциальной энергии планеты оказывается в два раза больше:

AU = U ’ - U = - 2АЕк.

Тогда из закона сохранения энергии следует, что энергия, равная ДЕк, должна быть передана окружающей среде в качестве платы за уменьшение орбитального момента и возможность коллапса. Рассмотренный пример легко переносится на вращение частиц, составляющих звезду, и коллапс звезды обязан сопровождаться пе­ редачей спинового момента импульса звезды окружающей среде.

Итак, при переходе ко все более компактным объектам спин звезды может только уменьшаться. При этом для каждой звезды существует предельное значение спина, связанное с условием удержания вещества на экваторе при предельном вращении.

Для дальнейшего важно также наличие еще одного ограничения на спин звезды, связанного с ее характерным спином. Согласно (269) характерный спин равен:

Lx = MR СХ9

где М —масса звезды, R - радиус звезды,

Сх - характерная скорость движения частиц в звезде.

Если движение частиц в звезде не согласовано, то при заданных величинах М9R, Сх реально наблюдаемый спин звезды будет меньше, чем величина Lx .

Например, для Солнца Lx = 6,9-Ю44 Дж* с по данным Таблицы 57, а расчет спина Солнца по его наблюдаемой экваториальной скорости вращения при условии твер­ дотельного вращения дает I = 1,6*1041 Дж*с [5]. У массивных быстровращающихся

звезд наблюдаемый спин приближается к величине характерного спина, а у черных дыр с предельным вращением эти величины сравниваются. Характерный спин мож­ но рассматривать как потенциально предельный спин тела, а также в статистическом смысле, как определено в § 15 для р-звезды.

Заметим сейчас, что у звезд главной последовательности имеется минимальный характерный спин hs = 1,76*1042 Дж*с, принадлежащий p-звезде с массой 0,056 Мс. У всех более массивных звезд характерный спин больше, чем hs (смотри § 31). Согласно Таблице 57, характерные спины белых карликов также больше, чем hs. Однако переходя к нейтронным звездам, находим, что нейтронная звезда с минималь­ но возможной (по теории ядерной материи) массой 0,1 Мс имеет характерный спин, который меньше чем hs .

Чтобы понять, возможно ли это в действительности, проанализируем ход коллап­ са звезд более подробно. После выгорания водорода в самом центре звезды горение распространяется наружу в виде сферического слоя (водородный слоевой источник). Звезда при этом с главной последовательности переходит в область красных гиган­ тов, поскольку оболочка расширяется из-за приближения к ней слоевого источника. Гелиевое ядро звезды под действием гравитации сжимается до тех пор, пока не появ­ ляется новый источник энергии - реакция горения гелия. После выгорания гелия в ядре вслед за водородным слоевым источником может возникнуть гелиевый слоевой источник и т. д. Если масса звезды невелика, то на каком-то этапе горение ядерного топлива в ядре остановится окончательно и оно начнет коллапсировать до состояния

белого карлика, в котором давление поддерживается движением электронов. При этом скорость вращения ядра будет увеличиваться с уменьшением радиуса ядра со­ гласно (317). За счет энергии, излучаемой при сжатии ядра, а также нарастающего магнитного давления (магниторотационная модель) оболочка мягко разбрасывается в виде планетарной туманности.

Предположим, что масса звезды настолько велика, что прошли все возможные реакции горения ядерного топлива, а ядро состоит уже из железа. Сжатие такого ядра приводит к фотодиссоциации железа и нейтронизации вещества - при высоких температурах, возникающих от сжатия, электроны захватываются ядрами и давление падает. Диссоциация железа эндотермична, а улет нейтрино эффективно охлаждает звезду. В результате развивается коллапс ядра с остановкой на стадии нейтронной звезды (или черной дыры?), а оболочка разбрасывается в виде сверхновой.

Из данного описания видно, что нейтронные звезды могут возникнуть лишь тре­ мя путями —либо при потере устойчивости массивным белым карликом (например, при увеличении его массы), либо при непрерывном коллапсе ядра массивной звезды, либо при катастрофических столкновениях звездных объектов.

Найденная в § 30 максимальная масса белого карлика - 1,22 Мс практически совпадает с критической массой белого карлика: 1,222 Мс вследствие эффектов общей теории относительности и 1,181 Мс из-за нейтронизации вещества [22]. Сле­ довательно, нейтронная звезда минимальной массы может образоваться из белого карлика с массой не менее 1,22 Мс и радиусом порядка 3,7610б м или из аналогичного

по свойствам ядра звезды.

При коллапсе спин ядра будет изменяться по закону (318), это же справедливо и для характерного спина. Другими словами, отношение характерных спинов коллап­ сирующего ядра звезды (или массивного белого карлика) и рождающейся нейтрон­ ной звезды должно равняться квадратному корню из отношения их радиусов. В Таблице 57 приведена модель нейтронной звезды (жесткая модель среднего поля) с гравитационной массой М = 1,22 Мс и массой свободных барионов М0 = 1,32Мс. Величина М < М0>поскольку при обьединении свободных барионов в нейтронную звезду излучается половина энергии гравитационной связи, а уменьшение энергии системы означает уменьшение ее массы. Сравнивая данную модель нейтронной звезды с моделью белого карлика с массой 1,22 Мс, находим следующее:

(319)

здесьRDW —радиус белого карлика, RN —радиус нейтронной звезды,

LXDW —характерный спин белого карлика, LXN —характерный спин нейтронной звезды.

Соотношения (319) удовлетворительно согласуются между собой. Таким обра­ зом, можно сделать вывод о том, что естественная эволюция звезд приводит к рожде­ нию нейтронных звезд с минимальной массой порядка 1,2 Мс и характерным спином не менее hs . Данный вывод подкрепляется измерениями масс нейтронных звезд в двойных системах. Согласно [218], наиболее вероятный интервал масс по 7 пульсарам составляет 1,2 —1,6 Мс.

Образование менее массивных нейтронных звезд не исключено, например, в слу­ чае столкновения и обмена массами у двух нейтронных звезд.

Характерные скорости Сх, приведенные в Таблице 57, вычислялись по (265):

где (-U) —работа гравитационных сил по образованию звезды или компактного объекта из рассеянного газового облака, величина {—(//2) приблизительно равна полной энергии объекта в силу теоремы вириала,

М s —масса звезды,

Еу - модуль удельной полной энергии рассматриваемого объекта.

В Таблице 57 видно, что характерные скорости частиц звезд растут по мере того, как обьект становится все более компактным, вплоть до скорости света.

б) Диапазон масс черных дыр.

Как показывает теория черных дыр (смотри, например, [216]), такие параметры, как гравитационная масса, спин и заряд полностью характеризуют черную дыру. Ра­ диус горизонта черной дыры в рамках ОТО определяется следующим выражением [164]:

где у —гравитационная постоянная, М - гравитационная масса, ответственная за гравитацию черной дыры

по отношению к внешним телам, с —скорость света,

I —спин черной дыры, q - заряд черной дыры,

е0 - электрическая постоянная.

Для нас важны два случая - когда / = 0 и когда I достигает предельного возможного значения 1М. Будем предполагать, что заряд q мал и им можно пренебречь. Тогда если I = 0, то из (320) следует связь между радиусом и массой невращающейся (шварцильдовской) черной дыры:

Если / = 1М, то при q = 0 подкоренное выражение в (320) равно нулю и мы

так что радиус RM и предельный спин 1М определяются только массой черной дыры Мм. Сравнивая (269) и (322), находим, что предельный спин рассматриваемой черной дыры 1М совпадает с ее характерным спином Ьх .

Что произойдет с полной энергией при коллапсе массивной нейтронной звезды при потере ею устойчивости или в ходе непрерывного коллапса ядра очень массив­ ной звезды без остановки на стадии нейтронной звезды? Из теоремы вириала, если она верна при таком коллапсе, следует приблизительное соотношение энергий:

где Е —полная энергия коллапсирующего тела,

U—гравитационная энергия,

у - гравитационная постоянная,

M N - начальная масса нейтронной звезды (ядра звезды), Rs —радиус коллапсирующего тела,

Ек - кинетическая энергия коллапсирующего тела, Uи —энергия, излученная при коллапсе.

В (323) не учитывается начальная полная энергия нейтронной звезды (ядра звезды), которая считается малой по сравнению с полной энергией образующейся черной дыры. В ходе коллапса излучается энергия порядка UMi а результирующая гравитационная масса черной дыры оказывается меньше, чем исходная масса MN

где М —эквивалентная масса излученной энергии и гравитационная масса черной дыры,

с —скорость света и характерная скорость частиц в черной дыре.

Подставляя (324) в (323) и устремляя радиус Rs к радиусу черной дыры (321), из (323) находим:

Таким образом, при образовании невращающейся черной дыры излучается энергия, равная половине энергии покоя исходной нейтронной звезды (или коллапсирующего ядра массивной звезды), при этом отрицательная энергия свя­ зи уменьшает гравитационную массу коллапсирующего тела.

и гравитационная масса черной дыры с предельным вращением Мм оказывается больше, чем масса М невращающейся черной дыры за счет вклада энергии враще­ ния в общую массу-энергию.

Данные выводы качественно согласуются с результатами в [218], где указывается, что приблизительно 42,3 % энергии покоя медленно падающего по спирали на чер­ ную дыру вещества должно превратиться в излучение, или:

Е„ = 0,423тс2,

где Еи - энергия, выделяющаяся при падении вещества за счет работы гравитационных сил,

т- начальная масса падающего вещества,

с—скорость света.

Сделаем оценки минимальной массы черных дыр, полагая верными соотноше­ ния (325), (326) и беря согласно § 30 в качестве массы коллапсирующей нейтронной

черной дыры с предельным спином. Параметры гипотетических черных дыр с минимальной массой приведены в

Таблице 57, откуда видно, что их характерные спины практически совпадают со звездной постоянной hs . Если учесть, что p-звезда фактически является вырожденным водородным белым карликом, то получается следующий результат:

240 §35. Черные дыры

«Все вырожденные объекты минимальной массы (p-звезда с массой 0,056 Afc, нейтронная звезда с массой 1,2 Мс, черные дыры с массами ~ 1 Мс и 1,4 Мс в зависимости от вращения) имеют характерный спин, по порядку величины равный звездной постоянной Л5.»

Рассмотрим вопрос о максимальной массе черных дыр (для случая, если они действительно образуются из наблюдаемых звезд) учитывая, что массы подавляющего числа звезд редко превышают значения 15 —20 М с.

Из самых общих соображений следует, что на стадии сверхгиганта и при коллапсе массивной звезды с массой порядка 20 Мс только часть исходной массы может пре­ вратиться в черную дыру, другая же часть будет рассеяна в пространстве. При этом спокойный режим истечения вещества из-за быстрого вращения звезды и сильного светового давления может смениться взрывным разбрасыванием оболочки при выде­ лении гравитационной энергии коллапсирующего ядра (взрыв сверхновой). Допус­ тим, что черные дыры чаще образуются в сверхновых типа И. В самом деле, SN II встречаются только в дисках спиральных галактик, где преобладают молодые звезды, и считается, что предшественниками SN II являются массивные звезды спектраль­ ных классов О - В [125]. В спектрах SN II присутствуют водородные линии, а массы выбрасываемых оболочек превышают 1 М с (для сравнения, массы оболочек SN I не превышают 0,3 Л/с, а в спектрах отсутствуют водородные линии, что указывает на то, что SN I происходят от старых сильно проэволюционировавших звезд). Скорости разлета оболочек SN II находятся в диапазоне 4000 - 12000 км/с при кинетической энергии движения до 1045Дж [156]. Формула для кинетической энергии имеет следу­ ющий вид:

где т —масса оболочки, v - скорость разлета.

При Ек = 1045 Дж, v = 104 км/с для массы оболочки получается значение:

т = 2-1031 кг = 10М с.

Предположим, что действительно у звезды с массой 20 М с при сверхновой вы­ брасывается оболочка с массой 10 М с, а оставшаяся часть вещества коллапсирует. Тогда согласно (325) может возникнуть невращающаяся черная дыра с массой около 5 Мс, а согласно (326) —черная дыра с максимальным спином и массой порядка 7 Мс. Полное выделение энергии в первом случае равно:

Е = 5Мс сг = 9 1047Дж,

а во втором случае Е = ЪМс с2 = 5,4*1047Дж.

Полагая, что более 99 % выделенной энергии уносится нейтрино [22], мы получа­ ем правильный порядок энергии ~ 1045 Дж, который необходим для разлета оболочки. Интересно, что спектры и формы кривых блеска SN I похожи друг на друга, а формы кривых блеска SN II имеют значительное разнообразие, что может происходить из-за большого разброса масс звезд-предшественников (предположительно в диапазоне

(10 — 20) М С ) .

Если в двойной системе, состоящей из двух сверхгигантов, одна из звезд взорвет­ ся с образованием массивной черной дыры, то с большой вероятностью такая черная дыра останется в двойной системе (в противоположность некоторым радиопульса­ рам, обладающим большими скоростями движения). Аккреция вещества от компа­ ньона на черную дыру должна сопровождаться выделением значительной энергии в рентгеновском диапазоне (за счет магнитотормозных потерь и рассеяния электронов

на протонах) и действительно, массивные рентгеновские звезды считаются главны­ ми кандидатами в черные дыры.

Оценки масс предполагаемых черных дыр в Таблице 57 дают диапазон от 1 Мс до 7,55 Л/с, который согласуется со значениями масс рентгеновских компонент, приведенных в Таблицах 58 и 59. Большая часть данных в Таблице 58 взята из [218], в Таблице 59 из [214], [215], [258], на другие работы сделаны ссылки в квадратных скобках.

Излучение первых пяти ретгеновских источников в Таблице 59 не проявляет строгой периодичности, что можно объяснить либо поглощением в большом плаз­ менном облаке либо тем, что магнитное поле направлено вдоль оси вращения ком­ пактного обьекта. Источники Her Х-1 и Cyg Х-3 отличаются тем, что кроме рентгеновского излучения у них было обнаружено мощное гамма-излучение с энер­ гией фотонов вплоть до 1015 эВ [221].

Таблица 58