книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

192 §29. Дискретность коэффициентов подобия

все более массивные элементы радиоактивны и распадаются с течением времени. Путем дальнейшего умножения на Д фможно построить такую зависимость:

Впоследней строчке ряда (259) указана масса е-планеты М п (17) и масса звезды в единицах солнечных масс и звездных единицах массы (12).

Естественно, что масса 11,6 Мс не является предельной массой звезд, лишь ус­ ловно показывая верхнюю границу распределения их масс.

Вкачестве иллюстрации к полученному распределению по массе тел приведем не­ которые данные. Изучение кометы Галлея в 1986 году с помощью космических аппа­ ратов, подходивших к комете до 600 км ( европейский аппарат «Джотто»), показало,

что комета выбрасывает многочисленные пылевые частицы массой 10'19 - 10"17 кг, а частицы массой 10"17 - 10'15 кг встречаются гораздо реже.

На основе данных по изучению поляризации света выводятся характерные параметры пылинок в межзвездной среде —средняя масса 10"17 кг при размере 2-10"7 метра [70].

По данным из [44], распределение высот ненасыщенных метеорных следов дает следущее: максимум следов, достигающийся на высоте 85 км над Землей, соответст­ вует каменным метеорам с плотностью приблизительно 3000 кг/м3, а на высоте 96 км

— менее плотным метеорам типа углистых хондритов. Массы метеорных тел при этом получаются до 10"3 кг при скоростях их движения порядка 20 км/с.

Распределение лунных кратеров показывает, что они были созданы метеоритами с массами от 8-104 кг до 7,5-10® кг с максимумом при 5,6-105 кг [35].

Одна из крупных комет, комета Галлея, имеет массу до 3-1014 кг [376], размеры 8x8x16 км [141], период вращения 53 часа, обьем 5-1011 м 3 и характерную для комет низкую среднюю плотность 100 - 400 кг/м3

Оценки масс комет дают не более 1016 кг как верхний предел, а массы известных астероидов не превышают массы Цереры 1,2*1021 кг при ее усредненном радиусе 512 км.

Интересно, что астероиды, как и планеты, можно разделить на две аналогичные группы: «внутренние» астероиды имеют большую плотность и высокое альбедо (отражательную способность), а «внешние» астероиды более темные, не такие плот­ ные и находятся дальше от Солнца.

= 3,85109 метра. Другие члены ряда будем получать делением Rn на Д р. В результате распределение по размерам будет выглядеть так:

Для того, чтобы оценить неточность распределения (261), используем формулу,

где М - масса тела, V - объем тела,

р - плотность,

R —характерный размер тела.

Подставляя массы тел из распределения (259) в (262) с учетом размеров тел из (261), найдем, что при разумных величинах плотностей тел от звезд до молекулярных комплексов характерные размеры (261) отличаются от наблюдаемых величин не бо­ лее чем в 2-3 раза. При этом под характерными размерами понимаются эффективные радиусы тел или радиусы сфер с массой, равной массе тел.

Космическая пыль весьма разнообразна в своих проявлениях. Она присутствует в атмосферах холодных звезд, встречается в виде пылевых облаков в галактиках, рассе­ янной межзвездной пыли, мелкой метеорной пыли в Солнечной системе, создает зо­ диакальный свет и F-корону Солнца, падает на Землю общей массой несколько сотен тонн в сутки и одновременно выносится от Земли в космос за счет диффузии.

194 §30. Характерные скорости

По данным из [331], в морских отложениях находят множество микрометеоритов - сферул размером 6-1СГ5 - 1,2-Ю' 4 метра. Согласно [193], частицы с размерами 10"5- КГ4 метра и массой 10" 8 - 10" 6 кг ответственны за противосияние, зодиакальный свет и F-корону Солнца и дают большой вклад в общую массу пыли. Характерный раз­ мер частиц мелкой пыли составляет 10“ 7 - 1СГ5 метра, причем на высотах 90—170 км от поверхности Земли было найдено, что число частиц с размером КГ7 метра на шесть порядков больше, чем с размерами 10"4 метра [125].

Не так давно «открыт» еще один класс межзвездных пылинок [105]: совсем кро­ хотные частички, имеющие размеры около 1 0 "9 метра и образующиеся из полицик­ лических ароматических углеводородов - наборов расположенных в одной плоскости кольцевых циклов из 6 атомов углерода (бензольных ядер) и присоеди­ ненных к ним атомов водорода и углерода. Эта модель позволила обьяснить происхо­ ждение ряда эмиссионных полос в спектральном интервале 3-12 мкм и повышенную температуру пыли в некоторых областях. Дополнительно о космиче­ ской пыли смотри § 34.

Размеры атомов в (261) можно сравнить с размером атома водорода по его первой электронной орбите г = 5,92*10“11метра и с радиусами атомов в Таблице 19. Если предположить, что радиус свободного электрона порядка его комптоновской длины волны (смотри § 46.3., (464), (466)), тогда ради ус^ ~ 10" 12 м, что близко к минима­ льной величине размера атома в (261).

Радиус протона Rp = 6,6-10" 16 метра по (82) и размеры ядер из Таблицы 21 хорошо

вписываются в диапазон размеров атомных ядер по (261).

Распределения по массе (259) и по размерам (261) являются очень подробными из-за большой степени прогрессии. Применяя в два раза меньшие степени прогрес­ сии - 5 для массы и 6 для размеров - получим увеличенные диапазоны изменения как массы, так и размеров. Степень прогресс™ для размеров при этом на единицу больше, чем для массы. Это объясняется тем, что один из размеров ряда - размер атомов - является промежуточным и не соответствует какой-либо массе из распре­ деления по массам тел.

В первом приближении можно считать, что и другие коэффициенты подобия (по скоростям, энергиям, моменту импульса) раскладываются на множители со сте­ пенью прогрессии, равной 5. В качестве примера в следующем параграфе рассмотрен ряд для скоростей.

§ 30. Характерные скорости

В § 8 для обычных звезд главной последовательности было найдено, что их пол­ ные энергии можно представить в виде (44):

E s = - M S C 2{ A / Z ) \

где M s - масса звезды,

С —220 км/с - скорость, характеризующая в целом звезды главной

A, Z - массовое и зарядовое числа звезды (Л = 18 M s /М с, Мс —масса Солнца). Используя рассуждения предыдущего параграфа, определим множитель прогрес­

сии ряда скоростей. Коэффициент подобия по скоростям S0 = 7,338-10~4 согласно (46), и при показателе прогрессии, равном 5, получим:

В качестве первого члена ряда возьмем скорость света, а другие члены вычислим

У2= 70781 км/с. К3 = 16711 км/с. У4 = 3946 км/с. У5 = 931 км/с.

У6= С = 220 км/с - звездная скорость по (45). К7 = 51, 9 км/с.

Скорости Kj и Кб нам уже хорошо известны, поэтому попытаемся найти возмож­ ный физический смысл других скоростей. По аналогии со звездной скоростью в (86) в общем виде можно записать:

где Е si и M si —энергии и массы звезд, соответствующие скорости V-.

В (265) скорость V; играет роль средней скорости движения частиц, составляю­ щих звезду (как скорость в соотношении (162)). Далее будет показано, что:

а) Скорость У7является предельной для планет.

б) Скорость У6соответствует звездам главной последовательности. в) Интервал скоростей У5—У4занимают белые карлики.

г) Нейтронные звезды попадают в интервал скоростей V3- V2.

д) Материя нуклонов и гипотетических черных дыр имеет характерную скорость Ух(скорость света).

Общепринято, что эволюция одиночных звезд определяется их исходной массой и для нормального химического состава имеет следующий вид:

1. М s < 0,08 Мс. Вырожденные водородные карлики. Характерная скорость - У6 и меньше.

2. М s < 8 - 9 Мс. Вначале - звезда главной последовательности (скорость порядка К6), затем превращение в белые карлики (скорости У5- У4).

3. М s > 8 —9 Мс . По мере выгорания ядерного горючего средние скорости частиц звезды увеличиваются от У6вплоть до У4, а ядро звезды достигает плотности белого карлика. В ходе дальнейшего коллапса ядра возможно образование нейтронной звез­ ды со скоростями частиц в интервале от Уъдо У2.

Скорость У7является предельной для планет, что видно из следующих расчетов. Из (265) после подстановки вместо Es половины модуля 1равитационной энергии

где К —коэффициент порядка единицы, у —гравитационная постоянная, Мпл —масса планеты, Япл - радиус планеты.

Для Земли при К = 0,6 находим: У3 =4,3 км/с. Соотношения типа (265), (266) одновременно позволяют оценить скорости звука в соответствующих объектах. Например, если звуковая волна колеблется вдоль диаметра Земли, то ее период должен равняться: Т = 4Л3/у, тдрЯ3 - радиус Земли, v - скорость звука. Подставляя вместо v скорость V-j и выражая массу Земли через ее среднюю плотность и радиус, получим:

где р = 5518 кг/м3 —средняя плотность Земли.

Период 98 минут (приблизительно 0,01 колебание в минуту) в самом деле наблюдается в спектре колебаний Земли, соответствуя одному из самых больших ее периодов [188].

Так как масса планет пропорциональна кубу их радиуса, то скорость (266) в

Для звезд главной последовательности (265) с учетом (8 6 ) дает:

Vrn= C(A/Z),

где С= V6 = 2 2 0 км/с - звездная скорость,

A, Z —массовое и зарядовое числа звезды.

Для Солнца А = 18, Z = 8 и Vc = 495 км/с. Если рассматривать фундаментальное радиальное колебание от центра звезды к ее поверхности, то для периода можно за­ писать: Т = 2Rc/v, гдеRc - радиус Солнца, v - скорость звука. Подставляя вместо v скорость Vc, находим: Т~ 41 минут. Специальные расчеты по теории акустических колебаний газовых шаров [46] дают для периода значение порядка 48 минут и коле­ бание с таким периодом фактически наблюдается в спектре Солнца, правда, с небо­ льшой амплитудой. Если же волна бежит по поверхности Солнца, то период должен превышать величину:

Т > 2nR r = 147 минут, поскольку у поверхности Солнца плотность вещества

меньше среднего значения и скорость (267) уменьшается. И действительно, согласно [125] наблюдается период 160 минут.

Скорость Vs является наименьшей для белых карликов, чему по (267) соответст­ вует малая масса и большой радиус. Этим условиям лучше всего удовлетворяют гели­ евые белые карлики.

Для звезд водородной главной последовательности p-звезды, соответствующие по теории подобия водороду, являются вырожденными водородными карликами с мас­ сой 0,056 Мс. При этом для эффективного действия водородного цикла (загорания водорода) звезда должна обладать массой не менее 0,07-0,08 Мс (смотри § 2 ).

Аналогичная картина складывается и для звезд гелиевой последовательности. По данным [308] горение гелия в чисто гелиевой звезде возможно при ее массе не менее 0,31 М с. Тогда гелиевая звезда с массой 0,166 Мс, соответствующая по массовому

ком, в котором сгорание гелия не происходит. Такая звезда и будет гелиевым белым карликом с наименьшей массой. Согласно [373] для гелиевого белого карлика с мас­ сой 0,166 Мс радиус равен 1,48Т07 метра и из (267) получим:

v; = 865VZ км/с,

гдеХ’= 0 , 6 для однородной по плотности сферы, а для звезд К - 1. Мы видим,что скорость К5' близка к V5= 931 км/с из (264).

Обратим внимание на то, что вырожденные звезды с характерными скоростями V6 и У5имеют массовые числа, соответствующие водороду и гелию. Оказывается, что бе­ лые карлики с массой 1,22 Мс и массовым числом А = 22, соответствующие

другому инертному газу - неону JjNe (это самый массивный стабильный изотоп

неона), имеют характерную скорость V4и массу, близкую к предельной для белых кар­ ликов. Возьмем из [373] параметры магниевого белого карлика (в связи с отсутствием данных для неоновых белых карликов и близостью масс “ Ne и 24M g), который при массе 1,22 Мс должен иметь радиус 3,76-106 метра, и подставим в (267):

К; = 4650VA' км/с.

У неонового белого карлика должен быть больше радиус, чем у магниевого, так что скорость V4 будет еще ближе кК4 = 3946 км/с из (264).

Для оценки скорости Vzрассмотрим модели нейтронных звезд из [244]. Согласно вычислениям минимальная масса нейтронной звезды M s = 0,0925Мс при радиусе 164 км и центральной плотности р = 1,55-1017 кг/м3. По (267) найдем:

V[ = 6 \ЪЪ4к км/с, что меньше, чем К3. Однако в моделях звезд [244] имеется сильная

зависимость радиуса от массы - уже при массе M s = 0,1 Мс радиус^ = 56,5 км и скорость будет равна:

v; = 10870JK км / с ,

что уже сравнимо с V3= 16711 км/с из (264).

По аналогии с белыми карликами предположим, что предельная масса нейтрон­ ной звезды соответствует еще одному инертному газу - аргону 4!Аг с массовым чис-

необходимо еще учитывать общую теорию относительности (ОТО) при расчете энер­

где U -------— - —гравитационная энергия с учетом ОТО.

Rs

Сцелью определения возможных значений энергий Uвоспользуемся данными из

[277]. Вращение нейтронной звезды увеличивает ее максимально возможную массу и экваториальный радиус по отношению к полярному - характерный эксцентриситет фигуры звезды достигает величины е = 0,65. Для всех возможных уравнений состоя­ ния вещества и моделей ядерного взаимодействия расчетная величина модуля Uне превышает 1,4-1047 Дж. Тогда при массе М 5 = 2,2 Мс предельное теоретическое зна­ чение для V2n будет равно:

V7 = 126100 км/с.

Как и следовало ожидать, V2n оказалась больше, чем V2 = 70781 км/с по (264). Для жесткой модели в приближении среднего поля [341], в которой максималь­

ная масса невращающейся нейтронной звезды достигает 2,7 Мс (что больше, чем предполагаемый нами предел в 2,2 Мс ), величина модуля U = 6,5*104* Дж при

вращении звезды с угловой скоростью З-Ю3 с"1, экваториальном радиусе 15,9 км, гра­ витационной массе M s = 1,97 Мс и массе покоя (суммарной массе барионов) М0 = 2,22 Мс [277]. Для этой модели по (268) получаем:

При Кх = 0,25 , К = 0 ,6 зависимость (271) очень близка к прямой линии на рисунке 23, где построена зависимость спина планет от их массы. Если не учитывать заторможенных планет типа Меркурия и Венеры, то это означает, что спины планет, как и их удельные орбитальные моменты, пропорциональны порядковому номеру планеты, и следовательно, квантуются. В связи с этим заметим, что в атомах спин электрона обычно предполагается постоянным и не зависящим от местоположения орбиты. В Таблице 49 приведены спины планет, вычисленные по соотношению (271) при К}= 0,25 и К = 0,6. В скобках указаны показатели степени десятичного множите­ ля. Полученные величины близки к значениям спинов большинства планет в Таблице 28.

6 . Малые планеты. Обратимся снова к формуле (266) для характерных скоростей частиц планет. В § 15 было показано, что характерная скорость движения частиц в звезде одновременно является предельной величиной для вращательной экваториа­ льной скорости звезды во избежание ее распада. Аналогично, и скорость (266) явля­ ется предельной скоростью вращения для планет на момент их образования из протопланет. Будем теперь рассматривать малые планеты, в которых роль гравита­ ции становится незначительной по мере уменьшения массы тела. Учитывая, что

Мпл Р (266) можно переписать так:

у_ [2лК ур р

где Уш - характерная скорость частиц планеты, К —коэффициент порядка единицы,

у—гравитационная постоянная,

р—плотность планеты,

- радиус планеты.

Наименьший период вращения планеты будет равен: