книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

ЧАСТЬ 2.

ПОДОБИЕ АТОМНЫХ И ЗВЕЗДНЫХ СИСТЕМ

Глава 3. Вращательные движения

§ 14. Момент импульса и постоянная Планка. Орбитальные вращения планет в Солнечной системе

а) Постоянная Планка в физических законах.

Основная часть процессов в атоме, происходящих с трансформацией энергии, так или иначе связана с изменением импульса или момента импульса частиц. Изменение момента импульса носит квантовый характер, и мерой дискретности для момента импульса выступает постоянная Планка (квант действия) А:

Приведем основные формулы, в которых фигурирует постоянная Планка.

1. Закон Планка, описывающий мощность излучения черного тела как функцию

с - скорость света, Я — длина волны излучения, dX — длина спектрального интервала, к — постоянная Больцмана, Г — температура излучающего тела, А — площадь излуча­ ющей поверхности, е = 2,718... — основание натурального логарифма.

где v —частота излучения, Я—длина волны, с — скорость света. Поскольку И есть элементарный момент импульса, a v = l / t , где t — период волны, то формулу (89) можно трактовать так: энергия излучения W пропорциональна скорости изменения момента импульса излучающей частицы.

3. Дебройлевская длина волны ХБ:

где т —масса частицы, v — скорость частицы, р — импульс. Формула (90) ставит в соответствие каждой частице с импульсом р длину волны ХБ>так что каждая движу­ щаяся частица как бы связана с так называемой материальной волной. Материальные волны отражают волновые свойства частиц и тесно коррелируют с волнами вероятно­ сти и волновыми функциями в квантовой механике.

4. Качественные соотношения неопределенностей Гейзенберга [64] :

где Ар — неопределенность в измеренной величине импульса частицы,

Ах — неопределенность в измеренной величине координаты частицы, АЕ — неопределенность в измеренной величине энергии частицы, А/ —интервал времени измерения (или изменения) энергии частицы.

Соотношение неопределенностей (91) показывает, что невозможно измерить од­ новременно и импульс и координату частицы с такими малыми погрешностями, что произведение этих погрешностей будет меньше величины Л. Предел точности здесь определяется тем, что наилучшие измерительные инструменты, которыми мы распо­ лагаем, имеют тот же размер, что и исследуемые частицы, так что при любом измере­ нии нарушается движение измеряемой частицы. Соотношение неопределенностей (92) оказывается очень полезным для определения времени жизни короткоживущих элементарных частиц по известным значениям ширины уровней энергии. Точные со­ отношения неопределенностей для средних квадратичных отклонений канонически сопряженных величин, например, координаты X и импульса Рх , имеют вид:

—АХ2 '~т* > 1,1 р* > 1б^-

5. Моменты импульсов электронов L в атоме пропорциональны h:

где £ — орбитальное (азимутальное) квантовое число. Момент импульса L является вектором, причем его проекции на произвольную ось z квантуются и могут принимать следующие значения:

6. Собственные моменты импульса / (спины) элементарных частиц и атомных

Кроме этого, величина Ьвходит в уравнение Шредингера, определяющее волно­ вую функцию частицы в заданном силовом поле U(r) и являющееся краеугольным камнем квантовой механики. Таким образом, постоянная Планка характеризует атомные системы в целом, поскольку она соответствует элементарному моменту им­ пульса атомных частиц.

б) Аналог постоянной Планка в звездных системах.

Определим с помощью теории подобия величину элементарного момента импульса h s , который характеризует вращение звезд и планет. Предположим, что в атомной системе частица массы m имеет орбитальный момент импульса, равный h Тогда будет справедливо равенство:

где v — скорость частицы на орбите, г — радиус орбиты . Для подобной звездной системы должно выполняться аналогичное условие:

при этом отношение масс М/m есть коэффициент подобия по массам Ф. Отношение скоростей V/v есть коэффициент подобия по скоростям S из (27):

74 §14. Момент импульса и постоянная Планка

а отношение размеров орбит R/r есть коэффициент подобия по размерам Р из (61):

гА

Разделим теперь (97) на (96) и используем коэффициенты подобия <P,S,P :

В данной формуле массовое число А и зарядовое число Z сокращаются, так что отношение моментов импульсов от них не зависит. Подставляя величины h из (87), Ф из (11), S0 из (46), Р0 из (64), найдем Л s и связанную с ней величину hs :

Величина Л 5 должна быть характерной мерой орбитального момента импульса в звездных системах. Для атомных систем безразмерной величиной, характеризующей силу электромагнитного взаимодействия, является постоянная тонкой структуры а :

здесь е — заряд электрона, е0 — электрическая постоянная, h — постоянная Планка,

с — скорость света.

Истинный смысл постоянной а заключается в том, что она равняется отношению скорости вращения электрона в основном состоянии в атоме водорода вокруг ядра к скорости света:

а= v/c.

Всилу подобия для звездных систем аналогичной безразмерной величиной с уче­ том (97) и (103) является следующее выражение:

V— орбитальная скорость вращения е-планеты (смотри Таблицу 23),

R— радиус орбиты е-планеты,

С— звездная скорость из (45).

Чтобы скорость V в (98.1) выразить через постоянные величины, следуете (97) массу М заменить на массу планеты М п, а в (103) вместо массы М подставить массу M ps, тогда имеем:

в) Распределение планет в Солнечной системе и электронов в атоме кислорода. Моменты импульса планет.

Рассмотрим электронную структуру атома кислорода. Согласно квантовой меха­ нике, она состоит из двух слоев и трех оболочек в соответствии со следующей схемой:

R — радиус орбиты спутника, у — гравитационная постоянная, М — масса планеты, VR — удельный орбитальный момент спутника. Чтобы величина VR была максима­ льной, возьмем планету с наибольшей массой — Юпитер, а в качестве R — расстояние 4 а. е. — среднее расстояние между планетами (большее расстояние брать нельзя, иначе спутник будет оторван соседними планетами). При этих предположениях мак­ симальный удельный момент (103) будет равен 2,75-1014 м2/с, что на порядок меньше, чем (102). Для сравнения приведем удельные орбитальные моменты Луны и спутни­ ков Юпитера Ганимеда и Каллисто:

3,9М0П, 1,2-Ю13, 1,7-1013 м2/с соответственно.

В то же время астероиды как спутники Солнца имеют значительные удельные мо­ менты. Так, Церера с орбитой, лежащей между Марсом и Юпитером, имеет удельный орбитальный момент импульса 7,4*1015 м2/с, что больше (102).

Обращаясь вновь к устройству атома, замечаем, что для электронов существуют многочисленные правила квантования их энергии, момента импульса, спина, проек­ ций моментов на избранную ось и т. д., что объясняется наличием электрических и магнитных сил, которые меняют полярность в зависимости от знака зарядов. Так, на­ пример, условие минимума энергии требует, чтобы в заполненной оболочке суммар­ ные орбитальные и спиновые моменты электронов равнялись нулю. В планетных системах основное (гравитационное) взаимодействие имеет только одно направле­ ние, связанное с притяжением тел, так что правила квантования значительно упроща­ ются. Например, поскольку полная энергия планет практически не зависит от направления их вращения вокруг Солнца, то вопрос о направлении вращении планет связан в основном с вопросом об эволюции Солнечной системы в целом.

В § 7 был определен коэффициент подобия по энергиям^ из сравнения удельных полных энергий планет Солнечной системы и энергий ионизации электронов в атоме кислорода. Данная величина Э0 оказалась близкой к величине коэффициента подо­ бия по энергиям, определенного из сравнения полных энергий звезд и энергий покоя атомных ядер. С другой стороны, величины удельных орбитальных моментов планет оказались пропорциональны звездному удельному моменту импульса (102) в формуле (100). Все это наводит на мысль о том, что если бы было возможно исключить взаимодействие электронов в атоме кислорода между собой, то такой атом был бы Солнечной системой в миниатюре.

§ 15. Вращение звезд и планет

а) Звезды малых масс.

Гипотеза образования звезд из газовых облаков и закон сохранения момента коли­ чества движения естественным образом приводят к тому, что звезды должны обладать спином, или собственным вращательным моментом. И действительно, все звезды вращаются, что можно определить с помощью эффекта Допплера по расширению ли­ ний звездного спектра. При наблюдении вращающейся звезды одна часть диска звез­ ды приближается к наблюдателю, а другая удаляется, поэтому излучение первой части диска дает фиолетовое смещение, а другой части диска — красное смещение линий. Из измерений определяется величина VEsin/, где VE — экваториальная скорость

I звезды в предположении твердотельного вращения можно вычислить следующим образом:

где К — коэффициент, зависящий от распределения вещества в звезде. При равно­ мерном распределении вещества К = 0,4 , в звездах К < 0,4. M s — масса звезды, УЕ — скорость вращения на экваторе, Rs — радиус звезды.

При очень больших скоростях вращения формула (104) будет не совсем точной, поскольку экваториальный радиус звезды будет превышать полярный радиус, а фор­ ма звезды будет отличаться от шара.

Предположим, что выполняется принцип подобия между протоном и р-звездой в отношении спина, и если максимальный спин протона равен й/2, то наибольший спин p-звезды должен равняться Ь s /2, где tis — звездная постоянная (98).

По формуле (104) находим :

уЕ= — —— .

2K M rsRfs’

где положим, что К= 0,1, RPS — из (81).

Тогда VE = 141 км/с. Полученное значение экваториальной скорости действитель­ но больше обычно наблюдаемых скоростей вращения у звезд-карликов, хотя и не пре­ вышает предельных скоростей вращения у звезд главной последовательности. Другой способ оценки скорости вращения, возможно не очень корректный, для р-звезды заключается в экстраполяции угловой скорости вращения планет Солнечной систе­ мы. Зависимость угловой скорости вращения планет от массы приведена на рисунке 19, добавлены также спутник Юпитера Ио и астероид Церера. Из рисунка 19 видно, что многие планеты сильно заторможены по отношению к линии, проведенной через планеты с наибольшим вращением. Меркурий и Венера вращаются очень медленно вокруг своих осей, причем Венера имеет обратное вращение, так что орбитальный и спиновый моменты импульса направлены противоположно. Замедление вращения Земли хорошо объясняется лунными приливами. В другой паре заторможенных пла­ нет, включающей Уран и Нептун, также имеется особенность — Уран вращается, лежа на боку и направления орбитального и спинового моментов импульса у него почти перпендикулярны.

Для определения возможной угловой скорости вращения p-звезды сделаем экст­

(обозначена на рисунке 19 символом MPS). Экваториальную скорость VEможно выра­ зить через угловую частоту w и радиус звезды Rs:

откуда для p-звезды получается VE= 16,7 км/с . Тогда спин p-звезды по формуле (104) при ^ = 0 ,1 будет равен:

I PS = 1,64-1040Дж*с,

что в 8,5 раз меньше, чем величина hs /2.

Как будет показано далее в § 21 , средняя скорость движения частиц в р-звезде равна С = 220 км/с (формула (162)), причем это движение можно считать хаотиче­ ским. Проделаем следующий мысленный эксперимент: мгновенно заморозим все ча­ стицы звезды и отметим, куда они двигались, с целью определения мгновенного момента импульса. Одна треть частиц (в среднем) двигалась параллельно некоторой избранной оси вращения, другая треть — перпендикулярно, удаляясь от оси враще­ ния. Эти частицы не дадут вклад в момент импульса. Остается еще одна треть частиц,

кружившихся вокруг оси вращения, для которых можно найти момент импульса. Здесь неважно, что половина этой трети частиц кружится в одну сторону, а другая по­ ловина — в противоположную сторону, поскольку мы ищем максимально возможный импульс частиц вокруг оси вращения. Назовем этот момент статистическим момен­ том импульса. Величина его по (104) будет равна:

/ « = | <Н®-> с л „ ,

коэффициент 3 / 4 появляется из-за того, что скорость предполагается одинаковой для всех частиц и равной С. Подставляя значения массы и радиуса p-звезды, получим:

Гк = 5,4-1041 Дж-с.

Сучетом неточности нашей оценки величина ГР5 оказывается достаточно близкой

квеличине звездной постоянной hs (98). Отсюда самым парадоксальным образом вытекает относительное подобие спинов протона и p-звезды: спин протона пропор­ ционален й/2 , а статистический момент импульса частиц p-звезды того же порядка,

что и звездная постоянная h s .

б) Вращение Солнца.

Солнце как ближайшая звезда изучена наиболее тщательно и в отношении своего вращения, которое можно проследить по перемещению солнечных пятен, по факе­ лам, а также по расширению спектральных линий из-за эффекта Допплера. Стандарт­ ная эмпирическая формула для угловой скорости вращения Солнца имеет следующий вид [125]:

здесь (о— угловая скорость вращения в дуговых градусах за сутки, <р— гелиографическая широта, <р= 0 на экваторе.

Согласно (106) период вращения Солнца зависит от широты: на экваторе период вращения относительно звезд равен 26,28 земных суток, на широте 75° период дости­ гает 32 суток. Таким образом, Солнце вращается не совсем как твердое тело. По фор­ мулам (105), (106) для экваториальной скорости Солнца находим величину 1,925 км/с. Если предположить твердотельное вращение и однородность плотности Солнца по обьему, то К= 0,4 в (104) и спин Солнца будет равен:

/ с = 10,661041 Дж-с.

Если учесть неравномерное распределение массы внутри Солнца, то согласно [5] спин

Заметим, что спины атомных ядер в невозбужденном состоянии пропорциональ­ ны величине hj2 . Для примера в Таблице 26 приведены спины ядер некоторых изото­ пов из [158] в единицах h