книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

42 §8. Полные энергии звезд

момент ухода звезды с главной последовательности. К моменту ухода звезды с ГП энергия излучения увеличивается, однако в диапазоне масс до 16 Мс не превышает 13 % во время эволюции звезд на ГП.

Данные Таблицы 16 показывают также, что в основном выполняется теорема вириала с учетом энергии излучения:

U = —2UBH —U1Г

Точность выполнения соотношения (40) составляет не хуже 3 % .

На рисунке 7 приведена зависимость полной энергии звезд Е от их массового числа в соответствии с данными в Таблице 16. Массовое число звезды А связано с ее массой M s соотношением (6):

А = 1 8 M s /М с> где Мс— масса Солнца.

Начальная главная последовательность (НГП) расположена вдоль верхней линии на рисунке 7, нижней линией обозначены энергии звезд при их уходе с ГП (линия ВГП). Сравнение радиусов звезд, использованных для построения моделей звезд в Таблице 16, с радиусами, определенными опытным путем из анализа эксперимента­ льных данных для главной последовательности (Таблица 8) показывает, что радиусы звезд ГП лежат между радиусами для НГП (когда радиусы минимальны) и ВГП (когда радиусы увеличены).

Рис. 7. Зависимость полной энергии звезд от их массового числа согласно данных Таблицы 16. НГП — линия начальной главной последовательности, ВГП — линия ухода звезд с главной последовательности в область гигантов. Значками обозначены: Д — модели звезд на НГП, □ — модели звезд на ВГП, X— модели звезд главной последовательности, радиусы которых близки к наблюдаемым, • — модели двух сильнопроэволюционировавших звезд (с массой 1,3 Мс и 15 Мс).

Если на рисунке 7 провести линию для полной энергии звезд главной последова­ тельности, подсчитанную для случая, когда звезды имеют те же радиусы, что и в боль­ шинстве случаев наблюдаются для звезд ГП средних и больших масс (см. Таблицу 8), то эта линия будет ближе к нижней линии ВГП, чем к верхней для НГП.

Из рисунка 7 следует, что изменение полной энергии звезд во время пребывания их на главной последовательности не превышает ± 23 %относительно полной энергии звезд среднего возраста на главной последовательности.

в) Определение полной энергии звезд с помощью соотношения Эйнштейна.

Воспользуемся формулой для энергии тела Ек, движущегося со скоростью V, из теории относительности Эйнштейна:

с _ М0 сг

(41)

где М 0 — масса покоя тела, с — скорость света.

При малых скоростях Vпо отношению к скорости света можно избавиться от корня в знаменателе (41) и с достаточной точностью записать:

Ек = M 0c1+M0 V2/ 2,

где первый член есть кинетическая энергия покоя, а второй член — обычная кинетическая энергия. Для нуклида соответственно получим:

Ек н = М и с2+Мн У2Ц .

Кинетическая энергия нуклида Екн включает в себя член Екон = Мн с2, являющийся внутренней кинетической энергией частиц, составляющих нуклид. При выполнении теоремы вириала (смотри (32), (33), (34)) для неподвижного нуклида при скорости V = 0 имеем:

Ен —и + Е КОц — 2ЕК0Н+ЕК0Н ——Екон ——Мн с2,

где Ен — полная энергия нуклида , U — энергия связи частиц, составляющих нуклид, Екон — внутренняя кинетическая энергия частиц.

В результате полная энергия нуклида с точностью до знака равна внутренней ки­ нетической энергии частиц, составляющих нуклид. Нас же интересует соотношение энергий покоя нуклидов (атомных ядер) и звезд. Масса нуклида с точностью не хуже 1 % определяется соотношением (1):

Мн АМц,

где А — массовое число, Ми — атомная единица массы. Тогда для энергии покоя (полной энергии) нуклида получим:

Для перехода к энергиям звезд необходимо в (42) домножить атомную единицу массы на коэффициент подобия по массе Ф из (11), а скорость света на коэффициент подобия по скоростям S из (27):

E s = - А М иФс2 Sl(AfZ)2.

Произведение МиФ = Mus - 1,105-Ю29 кг согласно (12). Обозначим произведение

где M s — масса звезды.

Величина E s должна быть энергией покоя, следовательно Es является полной энергией звезды, и для проверки (44) можно использовать данные Таблицы 16 и ри­ сунка 7. В формулу (44) входит величина (A/Z)2t равная квадрату отношения

отношение (A /Z)2 соответствует рисунку 8. Линия полной энергии представляет из себя ломаную линию из-за изменения величины (A/Z)2.

Обращает на себя внимание отклонение теоретической оценки полной энергии для звезды с массой 0,603 Мс (А =11), а также отклонение солнечных моделей (А = 18) от средней линии по формуле (44). Расчеты модели с массой 0,603 Мс были произведены Шварцшильдом в конце пятидесятых, начале шестидесятых годов и мо­ гут быть не совсем точны. Однако все модели для Солнца дают приблизительно оди­ наковые значения полной энергии — около -30-1040 Дж , в то время как из формулы (44) следует величина по крайней мере на 30 % больше по абсолютной величине. Следовательно, необходимо допустить либо неточность (44), либо неточность наших знаний о Солнце как о звезде главной последовательности. Последнее в некотором смысле подтверждается следующими не до конца понятными фактами.

Во-первых, поток энергии Солнца за все время его существования (около пяти миллиардов лет) должен увеличиться не менее чем на 20-30 %, а это не соответствует современным данным геологии и палеоклиматологии — в прошлом на Земле чаще господствовали более высокие температуры, чем в наше время [94].

Во-вторых, в 1974-1975 г. сотрудниками Крымской астрофизической обсервато­ рии АН СССР было сделано следующее открытие: Шар Солнца пульсирует, то есть расширяется и сжимается с периодом 160 минут. Радиус Солнца при пульсации изме­ няется на 12 километров, синхронно меняется яркость солнечного диска. Если строе­ ние Солнца соответствует стандартной модели — температура в центре 15 миллионов градусов, плотность в центре в 50 раз больше средней плотности, то его период пульса­ ций должен был бы быть значительно меньше, приблизительно 48 минут [125].

В третьих, несовпадение ожидаемого нейтринного излучения Солнца с экспери­ ментальными значениями. Опыты американского физика Дэвиса показали, что поток солнечных нейтрино в 3 раза меньше, чем это следует из стандартной теории Солнца [261].

Тем не менее, можно попытаться объяснить наблюдающееся противоречие между формулой (44) и оценками энергии Солнца с помощью следующих рассуждений. Известно, что для звезд с массой < 0,08 Мс вырожденным является водородное ядро, после образования звезды термоядерные реакции не начинаются из-за слишком низ­ кой температуры в центре, в результате химический состав звезды остается почти по­ стоянным, а гравитационная и полная энергии меняются очень медленно. Следовательно, звезду с массой 0,056 Мс — аналог ядра водорода — можно считать стабильной с точки зрения изменения энергии (если не считать ее медленного охлаж­ дения).

Возьмем данные из Таблицы 8для расчета полной энергии такой звезды, полагая,

Используем данные Таблицы 16 и формулу (50) для построения зависимости вели­ чины К от А для масс от 0,015 Мс до 2,818 Мс (А от 0,27 до 50,7) для начальной главной последовательности НГП, зная полные энергии, массы и радиусы. Зависи­ мость К от А приведена на рисунке 11, кружком обозначен коэффициент К для

Рис. 11. Зависимость коэффициента К в соотношении (50) от массового числа А для моделей звезд начальной главной последовательности.

Солнца. Возможный ход кривой от А = 18до А = 36 показан штриховой линией. Из рисунка 11 для А =1 получим К = 0,86. Подставляя это значение в (51), найдем пол­ ную энергию звезды с массой 0,056 М с {А =1):

(47):

EPS =• - 0,536Ю40 Дж, что отличается от (52) на 30 %.

Полная энергия (52) вычислена из условия ее равенства половине гравитационной энергии, что справедливо для начальной главной последовательности НГП. После этого звезда должна медленно остывать ввиду отсутствия термоядерных реакций, что приведет к увеличению полной энергии по абсолютной величине. В результате пол­ ная энергия может стремиться к величине (47).

Рассмотрим теперь звезды с массами 0,08Мс < M s < 2Л/С, для которых наблю­ дается отличие средней линии по формуле (44) от теоретических оценок. Для звезд с массами < 2,25 М с после выгорания водорода образуется вырожденное гелиевое ядро [22]. При этом время эволюции на главной последовательности для звезд с массой 1 Мс составляет 10 миллиардов лет, для звезд с массой 0,54 Мс — 70 миллиардов лет (см. Таблицу 5). Учтем теперь, что возраст Метагалактики по разным оценкам состав­ ляет не менее 14-20 миллиардов лет. Тогда маломассивные звезды находятся еще очень далеко от завершения своей эволюции на главной последовательности, и по мере выгорания водорода их полные энергии будут расти по абсолютной величине.

При рассмотрении подобия атомных и звездных систем предполагалось, что атом­ ные ядра имеют стабильную полную энергию, тогда и для звезд мы должны взять со­ стояния со стабильной энергией. Из нашего рассмотрения следует, что звезды малых масс еще только приближаются к состоянию со стационарным распределением энер­ гий и их энергии еще малы по абсолютной величине.

Для звезд больших масс время эволюции на ГП значительно меньше и уже успели установиться определенные равновесные значения полной энергии, которой облада­ ют большинство звезд. Согласно формуле (44) это равновесное состояние для массив­ ных звезд находится ближе к линии ВГП, чем к НГП (см.рисунок 9). Исходя из вышеизложенного, среднюю линию на рисунках 9 и 10 можно трактовать как линию полных энергий, которые будут иметь звезды главной последовательности в среднем после достаточно длительной эволюции.

§ 9. Определение коэффициента подобия по размерам систем

а) Зависимость коэффициента подобия по размерам от массового числа А и заряда Z.

В § 7 было описано различие электромагнитных и гравитационных взаимодейст­ вий. В атомах вещества взаимодействие определяется величиной зарядового числа Z, причем заряд ядра растет медленнее, чем его масса. Взвездных системах взаимодейст­ вие определяется в основном массой тел. Поэтому возникает необходимость учесть влияние величин А и Z Рассмотрим водородоподобные атомы, в которых Z > 1, но вокруг ядра обращается только один электрон (сильноионизированнные атомы). Полная энергия электрона будет равна (см. например, [107], [235]) :

M£e4Z 2i

(53)

8 n2e20h2'

где МЕ— масса электрона, е — заряд электрона,

Z — заряд ядра (в единицах заряда электрона), п — номер орбиты, е0 — электрическая постоянная,

И— постоянная Планка.

Кинетическая энергия равна по модулю полной энергии (сравни с (34)):

2 ne0h

Скорость v оказывается пропорциональной величине заряда Z Потенциальная энергия равна удвоенной полной энергии:

Момент импульса не зависит от Z и определяется только числом л. Перейдем теперь к подобной звездной системе, содержащей звезду и одну

планету. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия будет равна:

где у — гравитационная постоянная, M s — масса звезды,

М п — масса е-планеты,

50 §9. Определение коэффициента подобия по размерам систем

R — радиус орбиты.

Преобразуем (58), выразив массу M s через массовое число А, величину R — через радиус орбиты е-планеты в поле p-звезды R' :

М s = AM VS = A M PS , учитывая, что Mvs = M ps с точностью 0,5% (см. (12) и

Величина в скобках есть потенциальная энергия для планетной системы — аналога водорода, обозначим ее Uos:

Преобразуем (55), заменив г через радиус орбиты электрона в атоме водорода г ':

Величина в скобках есть потенциальная энергия для атома водорода, обозначим ее

V0-

Отношение энергий (59) и (60) должно равняться коэффициенту подобия по энергии (49):

Us /U = Э = 3 0(A /Z )\

Подставим значения Us и U из (59), (60), учитывая, что отношение потенциаль­ ных энергий U0S/U0 равняется

Коэффициент подобия по размерам Р получается прямо пропорциональным заряду Z и обратно пропорциональным массовому числу А.

б) Определение величины коэффициента подобия по размерам.

Для нахождения коэффициента подобия Р0 обратимся к водородной системе. Потенциальные энергии будут иметь следующий вид:

л

здесь е = 1,602-КГ19 Кл — заряд электрона,

е0 = 8,85-10“12 Ф/м — электрическая постоянная,

у = 6,67-Ю"11 м 3/(кг* с2) —гравитационная постоянная,

MPS = 1,1-Ю29 кг —масса p-звезды согласно (14),

Мп = 6,06’ 1025 кг — масса е-планеты согласно (17). Из (62) получаем для Р0 :

Соотношение (61) вместе с (64) определяет геометрический фактор подобия для атомных и звездных систем.

В атоме водорода в основном состоянии радиус орбиты электрона равен г' = 5,29-КГ11м, (см. например, [107]).

Тогда в звездной водородной системе радиус орбиты планеты будет в Р0 раз

где а. е. = 1,496-Ю11 м — астрономическая единица или среднее расстояние от

Земли до Солнца. Сравнивая с Солнечной системой, получим, что орбита с радиусом R' лежит рядом с орбитой Урана.

§ 10. Соотношение размеров молекул и звездных систем

а) Системы звезд.

Известно, что основная часть звезд — до 70 % от общего числа — входят в двойные и кратные системы [36]. Число известных пар звезд на 1975 год составляло 67000 в северном полушарии и 69000 в южном полушарии. Распределение компонент пар по спектральным классам такое же, как и для всех звезд, что говорит о том, что физиче­ ские свойства звезд в двойных системах не отличаются от свойств одиночных звезд [106]. Обычно звезды в двойных системах имеют одинаковый возраст и вращаются друг возле друга в плоскостях, случайным образом ориентированных в пространстве. Однако согласно исследованиям [32] долгопериодические звездные пары имеют в ос­ новном направление вращения, совпадающее с направлением вращения Галактики, а короткопериодические — наоборот.

Приблизительно 30—35 % от общего количества двойных звезд одновременно вхо­ дят в тройные системы, от 1/4 до 1/3 всех тройных являются в то же время членами четверных систем, 20—40 % всех четверных систем входят в состав пятерных систем. В тройных системах одна из звезд обычно находится вдалеке отдвухдругих более тесных звезд, так что в среднем отношение периодов обращения вокруг центра масс составля­ ет 200-250.

В работе [106] приведены данные о распределении звездных пар в зависимости от расстояния между звездами, составляющими пару.