книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

3. Аналогом атомной единицы массы является звездная единица массы для звезд главной последовательности: Mus = 1,105*1029 кг.

4.Согласно теоретическим оценкам, для возникновения реакций ядерного синте­ за в недрах звезд последние должны иметь массы более 0,07 масс Солнца М с.

5.Масса p-звезды (звезды-аналога протона) M PS= 1,1 НО29 кг = 0,056МС. Звезды с такими массами являются вырожденными водородными карликами с чрезвычайно низкой светимостью. Наблюдательные данные показывают, что масса звезды, равная 0,056 М с, близка к минимальной массе известных маломассивных звезд (смотри

Таблицу 4). В случае значительного количества таких звезд возможно объяснение проблемы скрытой массы галактик.

6.Основное количество звезд находится на главной последовательности диаграм­ мы Герцшпрунга-Рессела, поэтому звезды ГП являются основным объектом для уста­ новления подобия атомных и звездных систем. Характеристики звезд ГП приведены в Таблице 8.

7.Зная массу звезды M s в единицах солнечных масс, можно определить массовое число А звезды по формуле (6):

А= Щ М 8/ М с), где число 18 есть массовое число Солнца.

Каждой звезде с массовым числом А соответствует нуклид с тем же массовым чис­ лом Л.

8.В Таблице 9 построена зависимость между спектральными классами звезд глав­ ной последовательности и химическими элементами, которым они соответствуют.

9.Звезды спектрального класса О имеют слишком большие массы, чтобы соответ­ ствовать известным химическим элементам.

10.Исследование галактики Большое Магелланово Облако дает общее количество звезд-сверхгигантов класса О около 750, или 1(Г8 от общего количества звезд галакти­ ки. Отсюда точность установления подобия звезд и химических элементов по массе составляет 10“6 % от общего количества звезд.

11.Массы некоторых известных спутников звезд близки к массе Юпитера, что го­ ворит о возможности существования значительного количества планетных систем у других звезд (смотри Таблицу 11).

12. Масса е-лланеты (планеты-аналога электрона) М л = 6,06*1025 кг = 10 ,\М3, где М 3— масса Земли. Данная масса лежит посередине между массами планет земной группы и массами планет-гигантов (см.Таблицу 1).

Глава 2. Соотношения энергий, размеров и времен протекания процессов

§ 7. Сравнение энергий ионизации электронов в атоме и энергий планет в Солнечной системе

а) Подобие энергий электромагнитных и гравитационных взаимодействий.

Определим коэффициент подобия атомных и звездных систем по энергии как от­ ношение соответствующих энергий звезд и атомов. В отличие от подобия по массе по­ добие по энергии имеет более сложный характер, что можно видеть на следующем примере. Расположим на расстоянии R от звезды массой М два объекта — планету массой М п и другую звезду массой М'. Гравитационная энергия взаимодействия будет равна:

Разделив данные соотношения друг на друга, получим, что отношение энергий U2/Uxравно отношению масс М'/Мп. Таким образом, гравитационная энергия про­ порциональна массе притягивающихся объектов. Рассмотрим теперь ядро атома с за­ рядом Z е, на расстоянии г от которого расположены электрон с зарядом —е и другое ядро с зарядом Z 'e . Энергии кулоновского взаимодействия будут равны:

гдее0 = 8,854*10 12 Ф/м — электрическая постоянная, е —элементарный электри­

ческий заряд.

Отношение энергий W2IW{ равно отношению зарядов ( - Z '), то есть для атомов

энергия взаимодействия пропорциональна величине зарядов. Более того, поскольку существуют положительные и отрицательные заряды, энергии могут быть тоже поло­ жительными и отрицательными, что соответствует силам отталкивания и притяже­ ния.

Вкосмосе гравитационные силы уплотняют вещество до размеров звезд и планет,

атепловое движение сжатых частиц противостоит дальнейшему коллапсу. В ядрах атомов, согласно общепринятой точке зрения, все обстоит аналогично — электромагнитные силы расталкивают одноименно заряженные протоны ядра, а ядерные силы противостоят этому.

Следующий пример позволит найти вид зависимости коэффициента подобия по энергии. Рассмотрим две системы для установления подобия:

Система 1 включает: атом с зарядом ядра Z, е и соответствующую ему планетную систему с массой звезды М х;выберем какой-либо электрон из электронной оболочки атома (пусть этот электрон имеет номер п ) и соответствующую ему планету с тем же номером.

Система 2 включает: атом с зарядом ядра Z 2e, причем Z 2 > Z,, и планетную

систему с массой звезды М 2 > М х; рассматриваемый электрон и планета имеют тот же номер п , что и в первой системе.

Найдем коэффициенты подобия по энергии для обеих систем. В основном состоя­ нии для атомов и планетных систем будет справедливо следующее соотношение для полной энергии Е:

Е = Ек + U, Е = Ек + Wf где Ек — т v — кинетическая энергия электрона

(или планеты), т —масса, v —скорость, U — потенциальная энергия планеты, W — потенциальная энергия электрона. Предположим, что выполняется теорема вириала [165], так что U= - 2 ^ . Тогда Е = “ Ек> а отношение Э полных энергий планеты и электрона равно отношению их кинетических энергий.

Пусть v p Vx- скорости электрона и планеты в первой системе, v2, V2— скорости электрона и планеты во второй системе, МЕ — масса электрона, М п —масса планеты.

34 §7. Сравнение энергий

Как могут различаться между собой коэффициенты подобия по энергии и Э21 Для ответа на этот вопрос используем классические формулы для равновесия систем с

тпv2

Совершим теперь переход от первой системы ко второй, увеличивая заряд ядра от Z, до Z 2, а массу звезды от М ]до М2>оставляя моменты импульса электрона и планеты системы 1 неизменными. По мере увеличения Z ,H Л/, электрон и планета приближа­ ются к ядру и звезде соответственно, увеличивая свою скорость, однако момент импу­ льса измениться не может ввиду того, что основные действующие силы имеют центрально-симметричный вид. Поэтому для моментов импульсов имеем:

С другой стороны для второй системы имеем:

Правые части выражений (23) и (24) одинаковы. С другой стороны, моменты импульсов LEl и LE2должны быть равны, поскольку речь идет об электроне с тем же самым номером п в основном состоянии. Аналогично будет и для величин Lni и Lnr

Выберем теперь в качестве первой системы атом водорода и планетную систему со звездой-аналогом протона (р-звездой).

Отношение S 0 = K,/v, есть коэффициент подобия по скоростям для водородной системы, а для произвольной системы обозначим отношение скоростей через S. Опу­ ская индексы в (26), получим:

где А — массовое число звезды, равное массовому числу для соответствующего нуклида, Z — заряд ядра нуклида.

Для водородной системы А , Z = 1, S = S0 . Согласно (27) коэффициент подобия по скоростям S зависит от массового числа А и заряда Z рассматриваемой системы. Найдем теперь вид коэффициента подобия по энергии из (18), (27), учиты­ вая, что отношение масс равно Ф согласно (II):

где30 — коэффициент подобия по энергии для водородной системы.

С ростом массового числа Л отношение AjZ для химических элементов несколько растет, что увеличивает величину Эдля более массивных нуклвдов и звезд.

Рис. 6. Расстояние от Солнца до планет в зависимости от номера п планеты, в астрономических единицах а. е.

и Солнечной системы через энергии ионизации.

Построим зависимость расстояний от Солнца до планет от числа л, где п = 1,2,3,...9, причем п = 1 соответствует Меркурию, 2 — Венере, 3 — Земле и т.д. до Плутона с п = 9. Данная зависимость приведена на рис. 6, расстояния до планет даны в астрономических единицах а. е. Поразительным является тот факт, что почти все пла­ неты оказываются на гладкой кривой, кроме Юпитера (п = 5), видимо вследствие его гигантской массы. Практически все другие зависимости от п (например, скорости, момента импульса, энергии и т. д.) не имеют такого плавного хода, а точки ложатся со значительными отклонениями от усредненной кривой.

Полная энергия планеты с номером п равна:

2R(n)

здесь Ек — кинетическая энергия, U—потенциальная энергия тяготения, Мс —масса Солнца, Мп — масса планеты, R(n) — расстояние от Солнца до планеты с номером л,

у — гравитационная постоянная.

Энергия ионизации атома есть энергия, необходимая для удаления того или иного электрона из атома. Для того, чтобы удалить планету из Солнечной системы, необхо­ димо так увеличить кинетическую энергию планеты, чтобы полная энергия (29) стала равна нулю. Для этого согласно (29) необходимо добавить энергию, равную по величине -Uf 2. Поэтому можно считать, что энергия (29) соответствует по величине энергии ионизации.

В связи с большим разбросом масс планет будем далее рассматривать удельную полную энергию для каждой планеты как аналог энергии ионизации, при этом знак минус в (29) опускаем:

В Таблице 13 отсутствуют данные для Плутона с п = 9, для того чтобы можно было провести сравнение с атомом кислорода, у которого п = 8. Как показывают расчеты, неучет энергии Плутона вносит лишь небольшую ошибку, кроме того, нашей основ­ ной задачей является только оценка величины коэффициента подобия по энергии. Потенциалы ионизации атома кислорода из [171] приведены в Таблице 14 в первой строке.

Таблица 14

Во второй строке Таблицы 14 приведена удельная энергия ионизации Щп)у} полученная делением энергии ионизации на массу электрона (в свою очередь для вычисления энергии ионизации следует перевести потенциалы ионизации из электронвольт в джоули). Потенциал VI соответствует энергии ионизации электрона, находящегося на внешней оболочке атома и меньше всех других связанного с ядром. Следовательно, в нашем случае потенциал VI соответствует Нептуну, a V8 — Меркурию. Разделим теперь данные Таблицы 13 на вторую строчку Таблицы 14, результат занесем в Таблицу 15.

Отношение удельных энергий есть отношение квадрата скоростей:

Е{п)у ш S 2

U(n)y

Средняя величина S 2 из Таблицы 15 равна 8,2-10“6. Согласно (28) и (11) найдем величину Э:

Э = 0 S 1 = 6,654-10й,8,2-10~‘ = 5,510й.

С другой стороны, Э = 30(A/Z)2, гдедлякислородаЛ = 18,Z = 8. Тогда30 равно:

Величина (31) является приблизительной оценкой коэффициента подобия по энергии для водородной системы, полученной с помощью сравнения энергий иони­ зации атома кислорода и энергий планет Солнечной системы.

§ 8. Полные энергии звезд. Сравнение с соотношением Эйнштейна

а) Основные формулы.

Рассмотрим качественно изменение полной энергии звезды в течении ее жизни. В первом приближении полную энергию можно записать следующим образом:

В газопылевом облаке, из которого образуется звезда, скорости движения атомов невелики из-за низкой температуры, а расстояния между атомами большие из-за раз­ реженности облака. В результате кинетическая и потенциальная энергии Е к и U близки к нулю, также как и их сумма, равная полной энергии Е. При сжатии облака расстояния между частицами уменьшаются, что приводит к увеличению потенциаль­ ной энергии Uпо абсолютной величине, но поскольку энергия Uотрицательна, то в целом она убывает. Вещество будущей звезды с точки зрения энергии как бы скатыва­ ется в потенциальную яму. Согласно (33) при этом растет кинетическая энергия (и температура частиц). Только половина гравитационной энергии расходуется на увеличение кинетической энергии, другая половина уносится излучением. Сжатие звезды останавливается, когда по мере роста температуры частиц выросшее газовое давление скомпенсирует гравитационные силы.

Наибольшие плотность, температура и давление достигаются в центре звезды. Для гравитационной энергии можно записать:

где К — коэффициент, зависящий от распределения плотности, у — гравитацион­ ная постоянная, M s — масса звезды, Rs — радиус звезды.

Если бы плотность звезды была бы везде одинаковой, коэффициент К был бы ра­ вен 0,6 (смотри § 48.3.). Однако в действительности основная масса звезды сосредото­ чена в сфере, имеющей меньший радиус, чем R s , и гравитационная энергия получается больше, чем в однородной модели. Поэтому коэффициент АГобычно боль­ ше, чем 0,6. Более точно для гравитационной энергии можно записать:

здесь у — гравитационная постоянная, M s — масса звезды, Rs — радиус звезды, M(R) — масса звезды, заключенная в обьеме с текущим радиусом A, R — текущий радиус звезды, меняющийся при интегрировании от 0 до Rs . Сравнивая (35) и (36), можно записать для К:

к = / M™ * s d{M(R)/Ms).

оК М s

Обычно величина А"для звезд меньше, чем 2,5.

К концу жизни звезды на главной последовательности растет ее центральная плот­ ность. При этом у звезд с массой < 2,25 Мс образуется стабильное гелиевое ядро, у звезд с массами 2,25 < M s /M c < 8 образуется углеродное ядро, массам звезд 8-10 Мс соответствует кислородно-неонно-магниевое ядро, а для звезд с массой >13 Мс на последних стадиях эволюции возникает большая нейтринная светимость, причем звезда находится в состоянии предсверхновой [22].

В выражение (32) для полной энергии включают также такие виды энергии, как энергию ионизации плазмы, энергию вращения звезды, магнитную энергию, энер­ гию излучения и т. д. Укажем в первом приближении только основные виды энергии,

здесь N — число частиц (атомов, ионов, нейтронов и т.д.) в звезде,

к = 1,38-Ю"23 Дж/К— постоянная Больцмана, Т — средняя температура звезды,

а = 7,565-Ю"16 Дж/(м3-К4) — постоянная плотности излучения,

V— обьем звезды.

Первый член в (37) описывает внутреннюю энергию (тепловое движение частиц), второй член — энергию излучения и третий член — гравитационную энергию. Внут­ реннюю энергию можно определить с помощью интеграла следующего вида:

где к — постоянная Больцмана, ^i(R) — количество нуклонов на одну частицу газа (средняя атомная масса), Ми — атомная единица массы, T(R) — температура на расстоянии текущего радиуса R от центра звезды, M(R) — масса звезды, заключенная в обьеме с текущим радиусом R, а — постоянная плотности излучения, p(R) — плотность вещества как функция R.

Заметим, что в расчетах эволюции звезд рассматривается ряд моделей, в которых почти все параметры меняются в зависимости от расстояния от центра звезды, так что приходится интегрировать целую систему дифференциальных уравнений, включаю­ щую в себя уравнения равновесия, неразрывности, баланса энергии, лучистого равно­ весия, конвекции, химического состава и т. д. Подробный обзор расчетов можно найти в [22].

б) Модели звезд, баланс энергии.

Расчетам эволюции звезд и построению моделей для уточнения их структуры посвящено огромное количество работ. Среди зарубежных исследователей следует назвать Шварцшильда, Ибена, Сирса, Келсола, Стотхера, Пачиньского, Зиолковского, Полака и других. В нашей стране хорошо известны работы Масевич, Тутукова, Коток, Федоровой, Надежина, Туоминена, Уус.

Обозначения в Таблице 16 имеют следующий смысл:

M s /M c — массы звезд в единицах солнечных масс, R s/R c — радиусы звезд по отношению к радиусу Солнца, - U , UBH>Uff, - Е — соответственно гравитационная (со знаком минус), внутренняя, лучистая(излучения), полная (со знаком минус) энер­ гии с множителем Ю40 Дж, согласно (36), (38), (39), (40), /, млн. лет — возраст звезды, начиная с момента прихода на главную последовательность; значком = помечен пол­ ный возраст звезды с момента ее возникновения, НГП — начальная главная последо­ вательность (момент первого появления звезды на ГП), Литература — ссылки на работы, откуда получены данные для энергий или для их расчета.

Данные Таблицы 16 можно дополнить расчетами энергии планетообразных объектов: согласно [242] газовое тело массой ДО"5 Мс и радиусом 0,1 Яс имеет полную энергию Е = -5-1032 Дж , а по данным Федоровой А. В. и Кругловой Е. П. вырожденный карлик малой массы 0,015 Мс с радиусом 0,066Яс через 5,5 миллионов лет после своего образования имеет гравитационную энерппо U = -1,1-1039Дж.

Роль энергии излучения в общем балансе энергий быстро падает с уменьшением массы звезды. Оценкидоли энергии излучения поданным [101], [102], [222] относите­ льно гравитационной энергии приведены в Таблице 17.

В Таблице 17 ГП обозначает период существования звезды на главной последова­ тельности, НГП — момент прихода звезды на главную последовательность, ВГП —