книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик

Авторы [274] предполагают также, что твердотельное вращение является лучшим приближением для звезд указанных масс, чем дифференциальное, при котором ядро

иоболочка могут иметь разные скорости вращения.

Вбольшинстве работ приводятся зависимости скоростей вращения VEsin/ от спектрального класса. Однако более наглядной является зависимость скорости вра­

щения не от спектрального класса, а от массы звезд или от массового числа А = 18 М s /М с. В [239] приведена зависимость скорости вращения для звезд спектра­ льных классов ВО—GO, что приблизительно соответствует массам звезд от 13,3 М с до 1,3 Л/с . Используя данные Таблицы 8, можно от спектральных классов перейти к мас­ сам звезд, а затем с помощью (6) — к массовым числам А. В результате можно постро­ ить зависимость вращательной скорости K£ sin/ от массового числа А, которая приведена на рисунке 20. Скорости определялись по профилю спектральных линий, было измерено несколько сотен звезд. Фактически приведены две зависимости —для звезд галактического фона — крестиками и для звезд в скоплениях — точками.

Из рисунка 20 следует, что скорости звезд средней и большой массы в основном находятся в диапазоне 100-200 км/с, чему соответствуют достаточно большие спины. Оценка величины спина I s по формуле (104) при К = 0,1 сделана в Таблице 27 для звезд в скоплениях при предположении твердотельного вращения. Массы и радиусы звезд соответствуют Таблице 8.

Из Таблицы 27 следует, что спин звезд непрерывно растет с массой, превышая на 3 -4 порядка величину Ьs по (98). Возможно следующее объяснение сложившейся си­ туации. Согласно правилам квантования в атоме как орбитальные, так и спиновые моменты в заполненных оболочках компенсируются, поэтому полные моменты таких оболочек равны нулю. Это справедливо как для электронов в атоме, так и для нукло­ нов в атомном ядре. В результате спины ядер не являются линейной функцией от мас­ сы ядер, а колеблются от нуля до более чем 25/2 Ь (для Урана 235U в возбужденном состоянии). Для орбитального момента планет Солнечной системы никакой компен­ сации не существует, все планеты вращаются в одну сторону и с увеличением числа планет общий орбитальный момент растет. В предыдущем параграфе это объяснялось тем, что гравитационные силы в основном являются силами притяжения, а элекгомагнитные силы — и притяжения и отталкивания. Логично предположить, что нет компенсации и в отношении спинового момента планет и звезд. Для планет это под­ тверждается рисунком 19, где более массивным планетам соответствуют большие уг­ ловые скорости вращения, а для звезд —данными Таблицы 27.

а суммарный орбитальный момент L всех планет будет такой:

о»»)

П=1 1

где Z — зарядовое число, равное числу планет и числу электронов в соответствующем атоме.

Общий момент звездной системы складывается из спина звезды I s и момента L планет:

Момент (110) должен равняться вращательному моменту газово-пылевого облака, из которого образовалась звездная система. Предположим вначале, что радиус исход­ ного газового облака есть R, а масса равняется массе звезды M s . При вращении всех слоев такого облака в одну сторону при условии его однородности по плотности вра­ щение его будет твердотельным. Из условия равновесия (103) найдем скорость V газовых частиц на экваторе облака:

Учтем теперь, что равновесие облака поддерживается не только вращением, но и давлением самого газа, при этом движение частиц может быть хаотическим. В резуль­ тате спин реального облака окажется существенно меньше из-за компенсации орби­ тальных моментов газовых (пылевых) частиц. Поэтому в (111) необходимо ввести уменьшающий коэффициент D. Выразим массу звезды М s через массовое число А и звездную единицу массы по (4) и (12) и подставим в (111):

где D — коэффициент компенсации орбитальных моментов частиц облака, D < 1. Обозначим множитель перед Л5/3 в (112) через В и приравняем (110) и (112):

Если построить зависимость логарифма левой части (113) от логарифма массового числа А, то согласно (113) должна получиться прямая линия с наклоном 5/3 . Данная зависимость приведена на рисунке 21. Полные вращательные моменты определялись по формуле (110), спин каждой звезды определялся по ее экваториальному вращению (смотри рисунок 20 и Таблицу 27). Величины Z были взяты в Периодической таблице химических элементов по известному массовому числу А. Точкой С на рисунке 21 ука­ зан полный момент Солнечной системы, заключенный в основном в орбитальном вращении планет (что характерно для всех маломассивных звезд из-за их малого соб­ ственного спина). Точка Р показывает полный момент p-звезды, складывающийся из момента орбитального вращения одной планеты и спина p-звезды. Для р-звезды

Рис. 21.Зависимость полного вращательного момента импульса планетной системы от массового числа звезды А. Точка Р —p-звезда, С —Солнечная система, остальные точки согласно соотношения (110) и данных из Таблицы 27. Средняя штриховая линия проведена по соотношению (113).

А = 1, Z = 1 и орбитальный момент в основном состоянии равняется fts согласно (109). Спин р-звезды IPS по оценке в пункте а) данного параграфа в 8,5 раз меньше, чем величина h s /2.

Все точки на рисунке 21 лежат междудвумя прямыми. Для верхней прямой наклон равен 1,76 , для нижней прямой наклон равен 1,54. Штриховая линия на рисунке 21, имеющая наклон 5/3 = 1,66 , лежит посередине между верхней и нижней линиями. Таким образом, предположения о наличии планетных систем у звезд и образование звездных систем из слабовращающихся газово-пылевых облаков вполне совмещают­ ся друг с другом.

Величина В при А = 1 должна быть полным моментом импульса системы р-звезды, и она оказывается близкой к звездной постоянной fts. Если бы мы знали значение ко­ эффициента Д то из (112) можно было бы определить и значение плотности газовых облаков, рождающих звезды. О вероятных причинах перераспределения момента импульса между звездами и планетами (потеря массы, магнитное торможение в протопланетном диске и в звездах) смотри дополнительно § 38.

д) Предельные скорости вращения звезд.

В связи с тем, что отдельные звезды показывают очень быстрое вращение (скорость на экваторе до 500 км/с), встает вопрос об устойчивости таких звезд. Оче­ видно, что если скорость вращения достигнет величины, когда центробежная сила сравняется с силой притяжения, начнется распад звезды за счет отрыва частей обо­ лочки. Критическое вращение моделей звезд было рассмотрено в ряде работ,

86 §15. Вращение звезд и планет

например в [177], [289], [350]. Результаты вычислений этих авторов приведены на рисункЛ21 Обозначения на рисунке имеют следующий смысл:

1. ▲ - критические скорости вращения моделей звезд в стадии начальной главной последовательности НГП , a ■ — то же для стадии ухода с главной последовательно­ сти ВГП по данным [289]. Авторы этой работы сделали лишь оценку предельных ско­

2.X— критические скорости моделей звезд по [350] на стадии НГП. При расчете 64 моделей звезд с вращением использовался химический состав вещества звезд 67 % водорода, 30 % гелия и 3 % тяжелых элементов. Массы моделей от 5 до 15 М с .

3.• — предельное твердотельное вращение звезд по [177] на стадии НГП, массы звезд — 4,6, 8 М с.

Рассмотрим вопрос о предельной скорости вращения звезд с точки зрения теории подобия. Как известно, для атомных систем предельной скоростью движения являет­ ся скорость света с = 299792 км/с . В соответствии с результатами главы 2, для звезд главной последовательности аналогичной величиной является скорость С (A/Z) из (86), где С = 220 км/с , А — массовое число звезды, Z — зарядовое число. При этом скорость С(A/Z) является также и мерой средней скорости движения частиц в звезде, поэтому если скорость некоторых частиц звезды превысит это значение, то такие час­ тицы могут покинуть звезду. Можно поэтому считать, что скорость С (A/Z) есть преде­ льная скорость вращения звезды на экваторе. Отношение Д/Z колеблется от одного химического элемента к другому, что видно из рисунка 8, где приведена зависимость (A/Z)2от Л для всех стабильных изотопов. С учетом колебания отношения AjZ на

Массовое числоА

Рис. 22.Предельные экваториальные скорости вращения звезд главной последовательности. Обозначения: ▲ - критические скорости вращения моделей звезд на стадии НГП из [289]i ■ - то же самое на стадии ВГП, X - критические скорости вращения моделей звезд НГП из [350], • —предельноетвердотельное вращение звезд по [177]. Верхняя заштрихованная полосаскорости C(A/Z) как предельные скорости для звезд, нижняя заштрихованная полоса - предельные наблюдаемые скорости вращения звезд согласно [357].

рисунке 22 приведена зависимость величины С(A/Z) от А в виде заштрихованной вер­ хней полосы. Видно, что внутрь этой полосы попадают теоретически расчитанные критические скорости вращения моделей звезд из [177], [289], [350]. Увеличенные значения скоростей из [289] при Л > 163 объясняются неточностью оценки скоростей, сделанной авторами при завышенном отношении КЭКВЛтрА/Ялолюсл-

Нижняя заштрихованная полоса показывает предельные наблюдаемые скорости вращения звезд согласно [357], которые оказываются меньше, чем величина С(A/Z).

е) Спин планет.

В § 14для планет Солнечной системы было найдено, что подобие с атомными сис­ темами в отношении квантования орбитального вращательного момента выполняет­ ся только для удельных моментов в виде формулы Бора. Как было показано выше, подобие в отношении спина звезд не выполняется. Рассмотрим ситуацию со спином планет Солнечной системы. Используем формулы (104) и (105) для спина 1ПЛ:

где К — коэффициент, зависящий от распределения вещества в звезде, обычно * < 0 ,4 ,

MJUJ — масса планеты,

VE— скорость вращения на экваторе, Rnjj — радиус планеты,

со — угловая частота вращения планеты вокруг своей оси, Тпл — период собственного вращения планеты.

Величины , Тпл можно найти в Таблице 1. Значения *для некоторых пла­ нет определены с помощью теоретических моделей, а для Луны с помощью искусст­ венных спутников найдено К = 0,392. В Таблице 28 приведены данные для спина планет (в скобках указан показатель степени десятичного множителя), величины К взяты в [72], данные для l m больших планет — из [43]. Для Плутона спин расчитан в предположении, что К= 0,4.

Рис.23.3ависимость спина планет Солнечной системы от массы. Вертикальная черта возле символа Мл указывает спин е-планеты.

На рисунке 23 приведена зависимость спина планет от их массы в логарифмиче­ ских единицах. Через планеты с наибольшим спином проведена прямая с наклоном 1,88, то есть спин планет пропорционален М лf . Из графической зависимости можно

найти спин е-планеты по ее массе из (17):

Местоположение для е-планеты на рисунке 23 показано чертой и символом М п. Сравним спин е-планеты со спином электрона, равным й/2. Исходя из подобия с электроном спин е-планеты должен равняться h s /2 = 1,4-1041 Дж-с. Найденное же

нами значение спина е-планеты (116) значительно меньше h s /2. Следовательно, по­ добие систем в отношении спина планет и электронов отсутствует, если считать, что спин электрона равен hj2, а вращение планет в звездных системах соответствует вра­ щению планет Солнечной системы. Вопрос квантования спинов планет будет рас­ смотрен далее в § 31.

§ 16. М агнетизм планет

а) Магнитное поле Земли.

Напомним основные положения, характеризующие земной магнетизм. Земное магнитное поле сходно с полем сферического магнита, ось которого наклонена к оси вращения Земли приблизительно на 11 градусов. Направления спина Земли и магнит­ ного момента противоположны, поэтому северный магнитный полюс находится ря­ дом с южным географическим полюсом. В 1839 г. Гаусс разложил земное магнитное поле по сферическим функциям и доказал, что почти весь земной магнетизм опреде­ ляется источниками внутри Земли. Позднее геофизические измерения показали, что около 95 % поля генерируется на больших глубинах, а остальное поле — токами в коре Земли и в ионосфере. В настоящее время общепринятой точкой зрения на природу геомагнетизма является генерация магнитного поля в расплавленном ядре Земли за счет динамо-механизма. Однако в связи с большой сложностью уравнений магнитно­ го поля и гидродинамики теория гидродинамического динамо до конца не построена.

Вещество жидкого металлического ядра может принимать участие в трех сложных движениях: в дифференциальном вращении вокруг центра Земли (с разными скоро­ стями вращения для разных слоев), в конвективных потоках из-за разности темпера­ тур и плотностей, а также в магнитогидродинамических колебаниях. Комбинации этих движений, так или иначе связанных с вращением планеты, могут привести к воз­ буждению токов, поддерживающих магнитное поле. Движение вещества и компенса­ ция омических потерь при протекании токов могут осуществляться за счет энергии вращения, радиоактивных источников тепла или гравитационной энергии. Обнару­ жено, что магнитное поле Земли претерпевает периодические изменения по амплиту­ де, причем определены различные периоды от 60 до 7500 лет. Некоторые колебания с периодами порядка 100 лет показывают тесную связь с вариациями в скорости враще­ ния Земли.

Согласно археомагнитным и палеомагнитным исследованиям, магнитное поле Земли в прошлом неоднократно меняло свою полярность. Продолжительность эпох одной полярности значительно колебалась с величиной от 10000 лет до 660000 лет [159].

Земля обладает развитой магнитосферой, благодаря которой значительная часть заряженных частиц высокой энергии задерживается в радиационных поясах, распо­ ложенных на высоте от нескольких сотен километров до расстояния 6—10 радиусов Земли. При солнечных вспышках потоки заряженных частиц вторгаются в магнитос­ феру Земли, приводя к магнитным бурям, прекращению радиосвязи в метровых вол­ нах и полярным сияниям.

Напряженность магнитного поля диполя на поверхности Земли составляет около 24,5 А/м на магнитном экваторе и в 2 раза большую величину на магнитном полюсе. Для модуля напряженности магнитного поля диполя можно написать формулу из [235]:

где Рм — дипольный магнитный момент, R — радиус планеты,

Q— угол между осью диполя и направлением на точку поверхности планеты, в ко­ торой измеряется напряженность магнитного поля. Из (117) для магнитного момента диполя Земли получаем величину Рм:

Рм = 7,98-10“ Дж/Тл.

б) Корреляции магнитных моментов планет Солнечной системы.

Благодаря успехам космонавтики в 70-ых годах оказалось возможным измерить магнитные поля у планет земной группы, а также у Юпитера, Сатурна и Урана. Ори­ ентации магнитных диполей у Меркурия, Венеры и Земли относительно плоскости эклиптики совпали, а у Марса и больших планет направление магнитного диполя ока­ залось противоположным земному [201], [303]. Интересно, что ось магнитного дипо­ ля Урана сильно сдвинута относительно оси его вращения (Уран вращается почти лежа на боку, а его магнитный момент близок по направлению к магнитным момен­ там других нормально-вращающихся планет). Поданным [238], ось магнитного дипо­ ля Нептуна составляет 50° с осью вращения планеты. В связи с незавершенностью теории магнетизма Земли полезно сравнить магнитные моменты планет Солнечной системы в надежде найти некоторые закономерности. Например, в [332] рассматрива­ ется связь между магнетизмом планет и приливными возмущениями от спутников планет (или от Солнца для Меркурия, Венеры и Марса). В этой работе получено, что магнитный момент планеты Ри приблизительно пропорционален произведению:

Рм = P * V $ ,

где р — средняя плотность ядра планеты, R — радиус ядра планеты,

о— частота приливного возмущения,

£— приливная деформация от спутника или от Солнца на поверхности ядра планеты, выраженная в метрах.

Отклонение от линейности данной зависимости имеет множитель порядка 10 (для Венеры).

Другой подход основан на аналогии, в которой вращающиеся заряженные части­ цы создают магнитное поле, при этом магнитный момент пропорционален механиче­ скому моменту частиц. В соответствии с этой аналогией предполагается, что магнитный момент планет пропорционален их спину (как у электрона). Зависимость между магнитными дипольными моментами планет Солнечной системы и их спина­ ми приведена на рисунке 24 в логарифмических единицах, прямая проведена через точки для Земли и Юпитера. Значения спина планет взяты в Таблице 28, значения магнитных моментов из [16], [72], [104], [201], [303], [332]. Для Марса и Венеры приве­ дены максимальные величины магнитных моментов. Подобная зависимость рассмат­ ривалась многими авторами и известна как правило Боде. Однако из рисунка 24 видно, что положение Венеры и Марса слишком далеко от прямой (отклонение для Марса в 100 раз по магнитному моменту).

В рамках теории динамо-механизма в [254] рассматривалась генерация магнитно­ го поля за счет тепловой конвекции в ядре планеты. Приравнивая силы магнитного давления силе Кориолиса, возникающей при конвекции, было найдено соотношение для магнитного момента, который оказался пропорциональным следующему произ­

где р — плотность вещества ядра, (о— угловая частота собственного вращения планеты, Яя — радиус ядра планеты.

Вработе [348] соотношение (418) было применено к планетам Солнечной системы

иоказалось приблизительно пропорциональным магнитным моментам. В связи с возможной неточностью при определении радиусов коцвектирных ядер и их плотно­ сти точки для некоторых планет несколько отклонены от прямой линии.

в) Связь магнитного поля с вращением ядер планет. Гиромагнитное отношение.

Считая, что магнитное поле генерируется в основном в ядрах планет, где вещество обладает наибольшей электропроводностью, предположим, что магнитные моменты планет пропорциональны не спинам планет, а спинам их ядер. Для проверки этой ги­ потезы сведем необходимые данные в Таблицу 29 со следующими обозначениями: Рм — магнитный момент планеты; ш — угловая частота собственного вращения; Ля — радиус ядра планеты; Мя — масса ядра планеты; Литер. — ссылка на работу, от­ куда взяты данные для массы и радиуса ядра планеты; %— угол между магнитным мо­ ментом и спином планеты, знак + означает основную ориентацию магнитного момента по отношению к плоскости эклиптики аналогично Земле, знак — показывает противоположную ориентацию; 1Я— спин ядра планеты, вычисленный по следую­ щей формуле:

здесь для всех планет взят средний коэффициент 0,3. В Таблице 29 приведены также данные для Луны й для Солнца. Для Луны коэффициент в (119) ввиду малости массы взят равным 0,4. Некоторые данные имеют круглые скобки, в которых приведен пока­ затель степени десятичного множителя, на который необходимо домножить указан­ ные значения. Для Марса, Венеры и Луны приведены наибольшие вероятные