книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1

Рис 5.3

д-|.Ом, б* 1,4 м, Л=1* кН ,9»20 асДОм, ЛМ б хЕ1-м, Л-210 МПа

1, Составить уравнения поперечны пл и изгибающих моментов но участкам и построил» их эпюры.

Запишем уравнения статики и определим 01горные реакции:

%МЛ=0: - М л + Г а - д - 2 'а (Ь+2 а)+ М ^0;

М 4 = -102 [к 11-м];

5 > г = 0 : Л^ + ^ - 9 2 п * 0 ; ^ = 22[к Н].

Проверке: ]ГЛ/й = 0: -Х /А,-Я л -а-<]-2‘а-(а +1>)+М**0.

Выражении для внутренних усилий 2}, М получим с помощьн» методе ссчсинй. Поперечная сипа в произвольном ссчсиин балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных но одну сторону ог сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если |>авноде(1ству>ошая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа - вниз, те.

стремитеж сдвинуть левую отсеченную часть балки относителы) правой вверх.

Изгибающий момент в сечении балки равен плгсбрпическоЛ сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсеченной части, Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся е верхней части сечения балки.

На рис. 5.3. а показаны выделенные участки балки. Запишем для каждого из них выражения внутренних усилий и найдем их значения на грашщах участков.

1. О ^ х, ^ 2,0 м

^ = ^ 1 = 2Ог1; 0 у(«)=О ; & г(2)«40[кН ]. Мх * М - от/ = 16 - 10г?;М х (0) = I б [к 11 * м ];

АГ *(2)=40[кК ы ].

2.1,4м

6 ^ = ^ -2 0 = 401*11]; Мх а Л /- ^ * 2 а - ( г 1 + о)= - 2 4 - 4 0 г 1 [к 11•м ];

М х (0) = -24 [к Н •м]; М х (1,4) = - * 0 [к Н • м].

3. 1,4*х3 52,4м

0 Г = ^ ^2 ^ -Р = п [кМ ^ Мх = М - я • 2а • (г, + о) +Р ■(г3 - Ь) = -4 9 ,2 - 22г3;

М х (М ) = -80 [к Н • м ];

А/а(2,4)*-102[к И м].

Построение эпюр Оу А(, проводится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры 0у откладываются выше оси, отрицательные ниже. Положительные значения ординат эпюры М, откладываются ниже оси, отрицательные - выше. На первом участке поперечная сила линейна зависит от координаты, возрастая от нуля в начале участка до 40кН в конце. Эпюра на этом участке ограничена отрезком прямой, проходящей через указанные значения. Изгибающий момент имеет на данном участке уравнение квадратной параболы с вершиной в сечении Г|=Я, т.е. там, где равна нулю поперечная сила, являющаяся произиолной от Л/, ло координате г. Эпюра изгибающего момента ограничена кривой второго порядка, проходящей через точки с координатами 16 кН*м и -24 хН-м, соответственно на правой и левой границах участки. Парабола

имеет выпуклость, направленную о сторону распределенной нагрузки.

На втором и третьем участкам поперечная сила имеет постоянные значения, соответственно 40 кН и 22 кН. Изгибающий момент меняется по лннейиолту закону - эпюра А/, ограничена на участках отрезками прямых, проходящих через точки с ординатами -24 хН-м, -*0 кН м на пторои, и -60 кН м ,-102 кН-и на третьем участках. Результаты построения эпюр (?,, Мя приведены на рис. 5.3 а, 6.

Наиболее опасным является сечение Л, в котором изгибающий момент доел тает наибольшего по модулю значения

А/* - 10 2кН - м.

2. Произвести проверку с помощью дифференциальных зииеимосгсП.

Построению эпюры проводится на основе известных дифференциальных зависимостей между 0,. Л/, и интенсивностью распределенной нагрузки <7(5.1).

О нашем случае ла первый участок действует распределенная нагрузка ц = сонь!, следовательно, поперечная сила должна быть лниеЛноII футшией координаты гь а изгибающий момент ме1гяться по закону квадратной параболы. Эпюра изгибаюиртх моментов не имеет экстремумов, поскольку эпюра ее производной 0Г не пересекает ось. Второй н третий участки свободны от распределенной нагрузки, т.е. производная функции ду тождественно равна дулю, следовательно, сама поперечная сила должна бьпь постоялка в гран ивах каждого участка, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией-

В тех сечениях, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами, ка эпюре О, должно скачком мсиятъся значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. В нашем случае это происходит' в сечелии А%где возникает реакция Нл>и в сечении Я, где приложена нагрузка Р. I Га эпюре А/, аналогичные скачки имеют место о сечениях Л и О, где действует сосредоточенные внешние моменты. Анализируя все перечисленное, делаем вывод о правильности построенияэпюр.

3. Подобрать размеры указанных выше сечений из услонкя

определим требуемое значение момента сопротивления сечения балки:

К1. 102 I0*=48610 ‘м’ =48бсм’

А210 10*

Приниыаси по ГОСТу </=1*0аш, площадь сечения

=254 с»13

Определи наибольшее напряженке:

32'

5)Олределнм размеры кольцевого сечения с отношением

г* л* внутреннего и внешнего диаметров а = — = 0,в.

«<1,203ы.

Принимаем 0=225 г.1М, <^=180 ым. Плошаль сечения л *0Х( | - а э} = Ю см '.

Вычислим наибольшее калряженкс:

102-Ю3

* 155- Ю6 По = 155М11п < К

~(0.325)* (1 - 0.8-1)

4.Оценить рмшон алыметь подобранных сечений.

Как видим, наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения: двутавр, кольцевое сечение.

5. Построить эгиору нормальных напряжений в опасном сечении (для двутавра, кольца).

Напряжения о опасном сечении меняются по л илейкому закону:

достигая максимума в наиболее удаленных от оси точках.

На рис.5.4 показаны эпюры напряжений для указанны чениП.

Рис-5-4

5.4 Приме]» расчет на прочность двутавровой балки

Для заданной стальной балки из условия прочности полобрать номер двутавра па ГОСТ 8239-72 и произвести полпум проверку прочности.

Рис. * 5

а®0,4м, 6^0,6м, /=2,4м,^-150x11, ^-200к11/м( Л*=20кНм,Я=2 ЮМПй й,=126 МПа.

I. Составить уравнение поперечных си и изгибающих моментов но участкам и построить их эпюры.

3.1пишем уравнения статики и определим опорные реакции,

покатанные парне. $.5, б.

Реакции получились положительные, это ознАЧпет, что их нзпранленне выбрано верно. Язя проверки спроектируем все сипы на вершкальную ось:

= Я л 1-»- Нд -/* = 194,2 - 200-2,4 + 435,8- 150 =. 0 .

Выделим II обозначим участки балки так, как это покатко на рис. АЛ б. Исполыу* уже известный метод сечений, для каждого участив запишем выражения поперечной силы Ог и изгибающего

момента А/, и вычислим их значения вхарактерных сечениях.

1.027,*0,4м От- *л -Ч *г58 Ю*.2-20Ог,;а-(1>) = 194,2кН:

(^(0,4) = 114,2101.

Мх ■=ВА■■*| ~Я^ -194.2 *, -1 ООг,1; Л/*(0) = 0;

Л/^(0|4)в61,7кН*м.

2.0,4 5/^5 2,4м

ф« А, - * * *а «194,2 - 200*г;&(0,4) - 114,2кН;

&(2,4) = -2И,8кН.

Значения попсрсчноП силы на левой к правоЛ границах участка имеют разные знаки, следовательно, имеется такое значение координаты го, при котором (?* обращается в пуль, а моментА4 имеетэкстремум. Найдем величинуг0:

^ - 0 ^ 0 -1 9 4 ,2 -2 0 0 ^ = 0 , 7о = 0,971 м;

Мх = Я/ + Л^*г2 - ^ ~ ' = 20+ 194,222 - Ю0х | .

А/^СМ) = 81,7кН'И; А/х(2,4) = -90,0 кЛм;

А/д-(0,971) ^ М™ = 1 кН-м*

3. 05*3^0,6м

& = Г=150кН;

Мх = -Л-ГЗ— 150Г,; А/д(0) = 0; ЛГ*(0,б) = -90 кЛ м.

По вычисленным значениям ДА построим их эпюры. При этом будем учитывать вид этих функций, в также дифференциальные зависимости между ними и интенсивностью

распределенной нагрузки ?. Результат построения показан на рис,

5.5о. г.

2.Определить положение опасных сечений и показать опасные точки па чертеже балки.

ЕС опасный, прежде всего, откосится сечение, в котором отгибающий, момент принимает наибольшее по модулю значение

|А ^|ви1, т с. сечение, расположенное на расстоянии 2о от левого

торца балки. Кроме того, опасным может оказаться ссченнс Д, в котором наибольшего значения достигает поперечная сила. К тому же, в данном ссчснии действует изгибающий момент, лишь, псиного уступающий максимальному. В первом сечении опасными булуг точки, наиболее удаленные от оси - на рис. 5.6, а они помечены цифрой /. В этих точках нормальные напряжения лоезигоюг наиболынсЛ псличики. Й сечении В имеется два. типа опасных точек. В точках на оси сечения, помеченных на рисунке цифрой 2, наибольшего значения достигают касательные нлпргжеии , что может привести к разрушению срезом. В опасных точках третьего типа (си. рис. 5.6, а) ни нормальные, ми касательные напряжения не являются максимальными, однако их

Нанлучшим образом подходит двутавр №33 с момогтом сопротивления Иу=597 см*, моментом инерции см4, статическим моментом половины сечения 5,-039 си1 и толщиной стенки (2*7,0 мм.

4. Произвести проверку прочности по максимальным касательным напряжениям к при необходимости усилить сечение.

Поперечная сило достигает наибольшего значения

1^>1тх = 285‘’8 кН нап пР4воП опорой (ссчснис В)- Найти максимальное касательное нопряжение: