книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1
.pdf
|
= № +17 =1,41)|, |
/, = |
> 1,8м. |
||
А1,= |
КАг |
320’10д -1/11 |
т |
= 14,8-10"*и = 1.««ч. |
|
|
2 10й -13,210Г4 |
|
|||
4. Л>1 '■ |
720 10’ |
1,4 |
т =1*.4*10'и.= 18Ы у. |
||
Дг, в —- — ■ |
|
|
|||
|
Я Л, |
2 -10'* -35,2-10 4 |
|
||
4 .Определяем перемещение точки С.
Задачу об определении перемещений точек системы можно решать различными способами. Один Из них базируется на плане перемещении. Построение плана перемещений является сложным этапом решения, так как для каждой стержневой системы он индивидуален, требует от исполнителя воображения и внимательного учета особенностей закрепления элем«1ГТОВ системы.
Гели система содержит жесткие элементы, то построение плана перемещений начинают с показа предполагаемого положения их после деформации упругих стержней (положение /*,/;д и <\и на р|1С.2.11).Кокпы деформируемых стержней приводят в положение после их деформации, раскладывая действительное перемещение их кондов по направлениям вдоль н поперек стержня (сы. перемещение точки « в « , и огв р, на рнс.2.11). Такой прием позволяет выразить перемещение точек через деформации стержней.
По плану персмешен1нП устанавливаем связь между известными деформациями стержней к искомым перемещением. Так, исходя из подобия треугольников СС,0 II ОДЯ.находим
|
|
|
ЕЕ, а Л/, + Е,Як. |
Из подобия трсуголышкоп /4|С?2<71 » '*|ВД: |
|||
ад |
^-дг, |
1М.|0^ -7,04-ГО'4 =»Д Ю ‘ *и. |
|
з.пб |
1 |
0,71 |
|
Е,ЕЛ= 13,8Ю’**0,57=7,8б•10'м.
ЕЕ, =7,<М-10И +7,86-1014 = 14,9М0~4м. ее, » И.91-10'4 «-33,47к г 1=48,38КГ^и
Таким образом: СС, = 48,Э8*1<Г* -2.5 = 120-10", м = 1,2си.
Наиболее простим и универсальным способом определения перемещений точек стержневой системы является метод Мора, доказательство которого будет проведено позже. Согласно методу Мора перемещение Д любоЛ точки сирены равно
- $ / 5 3 *
где л - число стержней; Л’( - нормальная сняв в I- том стержне, возникающая от действия внешней нагрузки; А»,- нормальная сила в / - том стержне от силы равной единице, приложенной в точхе определения перемещения в направлении перемещения; Л,-
плошадь ^-того стержня; 7,- длина 1 - того стержня; Е,- модуль
упругости / - того стержня.
Методика определения перемещения заданной точки стержневой системы состоит в следующем.
1. Определяют нормальные силы в стержнях от погрузки.
2. В точку стержневой системы, перемещение которой определяется, прикладывают силу равную единице в направлении
искомого перемещения и определяют нормальные силы |
в |
стержнях от этой единичной силы. |
|
3. Записывают интеграл Мора и вычисляют его. |
|
Определим вертикальное перемещение точки С с помоты |
|
нтеграла Мора: |
|
л, - 1 \ у Г/< ь, |
|
МУ Ч 'Л( |
|
Для заданной стержневой системы интеграл Мора запишется следующим образом:
О^ 'л1 В л' п2 В 1 Нормальны* силы в стержнях от внешней нагрузки Р
определены (см. формулы (2.25)):
170*11; -320*1Г; Л'3 -720*11.
К стержневой системе, освобожденной от действующей нагрузки прикладываем в точку С в вертикальном направлении
безразмерную единичную силу (рнс.2.12) и определим |
так |
|
же, как н |
В связи с тем, что единичное силе приложена в |
|
том же направлении, что и сияв Р, =1,06,Л^ =2,0,^ «4,5, г. е, в Р раз меньше.
Рнс.2.12
Вычисляем вертикальное перемещение:
„ ) |
169,МО3 |
1,06 , |
. Ч |
1 |
320■ IО3 • 2,0 |
Г* + I |
720-103 4.5 |
^ |
Ас= 1----- |
71---------- |
7« + I |
|
----- п------------ |
------П------------ |
1® = |
||
о2* 10 1-12-КГ4 |
о М 0,1-17.<Н<Г4 ^ |
2-Юм -35.2-10'* |
||||||
7.5-10-4 +25,93•ЧГ* * 82,8- 10‘4 = 116-10~4м= 1,16см
О горизонтальном направлении точна Сне перемешается, т.к. по условию стержень СО абсолютно жесткий и не деформируется. В связке этим полное перемещение и вертикальное равны.
Некоторое отличие величии д, и сс, может быть объяснено различной точностью вычислений и различной точностью методов определения перемещений.
2.3.5 Пример 5.
Определить допускаемую нагрузку па статически определимую стержневую систему (рис.2.9).
Исходные данные: /=2и; аа 1.5м; 6а 1м.
Стержень 1 - двутавр №14 площадью поперечного сечения А\ = 12сн1,стержень 2 - двутавр №16
площадьюл г = 20,2см3,стержень 3 - шпеллер №33, Ал = 46,5см2, Я=210ыПа
Содержание и порядок выполнена
1. Вычерчиваем в масштабе схему с указанием численных
значений заданных величин (рис.2.9). |
|
|
|||
2. Для системы, |
у которой действие |
отсеченных |
частей |
||
уп рут* |
стержней заменено |
внутренними |
усилиями, А ^ л ^ я |
||
действие |
опорных |
связей |
заменено их |
реакциями |
Я^,Я, |
(ркс.2.10) составляем уравнение равновесия и выражаем нормальные силы через искомую нагрузку Р выражения (2.22), (2.23), (2.24).
Получаем Лг| = 1,0бЯ; ЛГ, = 2Д |
Н3= 4,ЗР. |
|
Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности |
||
каждого стержня. |
|
|
Стержень 1: |
|
|
1,06 Р *2Ю-ю'=>Я5г 21010* -12’Ю"1 |
= 238-10, Я-2ЭК*/Л |
|
12 КГ* |
1,06 |
|
Стержень 2:
— |
-г 2 И М 0 -= э Я 5 210 10*3±‘г1^ ,212 |
101Н = 212|с^ |
|||
20.2 ■10 |
|
|
2 |
|
|
Стержень 3: |
|
|
|
|
|
|
4,5-/» |
^210-10*: |
„210-10*-46,5 10-* |
„ „ „ |
|
|
46,5-10** |
> Г * -------- —- --------= 2ПкЕ1. |
|||
|
|
" |
4.5 |
|
|
Допускаемой нагрузкой будет такая нагрузка, при которой условия прочности всех стержней будут удовлетворяться. Этому требованию отвечает наименьшая из вычисленных Я= 212*11.
2.3.6. При.иер б.
Подобрать поперечные сечения стальных стержней статически определимой системы н определить перемещенн точки А (рнс.2.13).
Исходные данные; Дм; я = 2н; = |
Р = 7С0к11, |
Я = 210МЛа. |
|
Решение.
Вычерчиваем в маеона6е схему с указанием численных значении заданных величин (рис.2.13).
2. Составляем уравнения равновесия для всей стержневой системы и для ее узлов, выряжая реакции связей и усилия в стержнях через силу Г(рпс 2.13,2.14,2.15 и 2.16).
3 =0. |
Г, - 1Г |
<2.26) |
|
Гс - 2 р |
(2.27) |
=о
Для проверки используем уравнение:
5;д/, = р.5-ЗГг -2-1'г -2 = 3 -Г - 0 -^ -/'.2 = 0.
Узел А (рис.2.14); С8а = дУ6«1.=>в = 43’.
А |
/• |
А,& |? » — .у
■Г Р
Рис.2.14 |
Рис.2.15 |
Рис.2.16 |
2 ^ = |
= |
Ч |
= М ^ = 1,‘П Р' |
(2 2 *) |
|
52 |
= Л', + ТУ, |
сада в о, ЛГ, = -Л/, -сс«л = - Р |
(2.29) |
||
Узел /><рнс 2,15); г*/7=»л/(Г-Л) = 2,=* >9 = бЗ.г. |
|
||||
]ГР, - -Л1 мпа-Л1, - * ^ - О» |
(2,30) |
||||
52Р, =А/,+ЛГ,.5|иу9.^,.со5а=0, Л1, =0.5 Р + Р = 1,5-Р. |
(23 О |
||||
Узел Д (рис.2.16). |
|
|
|
|
|
2 Л |
= - уш~ * |
« = |
°. |
Л*4 = -1,П* Р. |
(2.32) |
X Р. = -ЛГ, -ЛГ< -айс* = 0. |
.V, = -Л \ со*а = 1,5-Р. |
(2.33> |
|||
Величина дг„ найденная независимо туслови я равновесия узла В и й совпала, что свидетельствует о правильности расчетов. Отмстим, что стержни 1,2 растянуты, а стержни 3,4,5 сжаты.
3. |
Подбираем площади сечений стержней ш условия |
|||
прочности каждого стержня. |
|
|
|
|
|
■ ч |
|
1 1.41-700 101 |
! 4Г7• 10",м|, |
|
|
21010* |
|
|
|
_ н . |
^ Л^, |
М-700-10’ |
, |
|
Г^ , |
|
|
|
|
А, |
Л |
-1,115-700 10» = 3,72 -Ю'ЧЛ |
|
|
- 2 10- 10* |
|
||
При расчете ссчениП Ау аа,а%следует учесть, что стержни сжаты, н использовать в условии прочности расчетное сопротивление на сжатие. Для стали расчетное сопротивление но сжатие равно по абсолютной величине таковому на растяжение.
-700-10*
ззз ю V .
-210-10“* ' По площадям поперечных сечений подберем из сортамента
номера стандартных профилей для стержней 1,2,3 н вычислим диаметры стержней 4,5, имеющих круглое сечение. Согласно сортамента стержню 1 соответствует швсллср№36 с площадью сечения Ах= 53.4см2, стержню 2 - двутавр N833 с площадью сечения л1= 53,8си2.стержню 3 - уголок 160* 160* 12 с площадью сечения Ал = Э7.4сыг . Определяем диаметры четвертого н пятого
стержней:
. / Г Т |
/4 71 п _ |
, [4 -А) / Г Щ |
Так как диаметр пятого стержня имеет нс стандартный размер, то иатаблицы нормальных линейных размеров (стр.39)
принимаем ближайший больший </; =67дсп. В этом случае
44
4.Определим изменение длины каждою стержня.
|
1.41-700 10*--—— |
|||
й/,= |
|
|
, |аЧ |
|
|
г м |
|
|
|
|
ЛУ/д - |
1^ Ю > - 3 |
0-3ц. |
|
|
' Е Л, |
210, , 5^В-10'1 |
|
|
|
-1,115-700 10' |
2 |
|
|
|
|
|
||
" , |
Е- 4, |
^ | ^ |
= -2,95-И)Ч |
|
|
2'Ю11 -3,74'Ю |
|
|
|
"4 |
е л * |
210|Т-7,ЫГ |
|
|
|
|
|
||
|
ЛУ/ |
700-иЛд |
|
= -1115-10"3и. |
|
|
|
|
|
’Е Л 2 10м 3.52-Ю"1
5.Пользуясь интегралом Мора определяем вертикальное, гориюнталымс и полное перемещение точки Л.
а - Х |
1 ^ |
М ( |
« л. |
Вертикальное перемещение.
Нормальные силы Л’, а стержнях извести: Ы%= 1.41/*.
Иг = 1,5Г, Ы, -1,11Р, ЛГ, = -2.13Р, |
= - Р |
Для определения Ыхприкладываем силу равную I о точку А в вертикальном направлении и находим Тг, также как и (методом вырезания узлов). Очевидно 7^ будут в Р раз меньше «V,, т.е.
Л4= 1.41, |
Л^=1,5. ^ = -Ц1, |
^ =-3,13. ^ |
= -1. |
|||
Следовательно, |
|
г 1,5 * '&г |
|
|||
. |
Г /•[* |
1.4 1*«*г |
Г < - 1 ,1 5 )^ г |
|||
Л - |
т Т < } |
7 7 й• |
10- |
1 |
5 1 0 ° |
^ 3,72 -I 0'* |
>У (-2 ,1 3 Ус?1 |
|
С- Р а^ету) = |
19,7 -10 м |
|||
1 |
7 ,П О " |
| 3,52 |
10 |
|
||
Горизонтальное перемещение.
Прикладываем в горизонтальном направлении в точку ,4 силу равную единице (рис,2.17). Определяем IV,.
^ Я , |
+ Ц-соза*0. |
%Рр=7Г%-мпа = 0 =» Л» = 0,*| = I.
Из равновесия |
остальных, узлов легко показать, что |
д = |
Нормальные силы от внешней нагрузки |
Достанутся без изменения. |
|
Таким образом, |
согласи интегралу Мора, горизонтальное |
перемещение точки А равно:
Рис.2.17 |
|
|
в |
Д 42 |
-700-Ю1. 0г = -3-10°м. |
Е |
Аь |
"'2-Ю " -3,52.10° |
Знак минус результата указывает на то, что точка А переместилась в направлении противоположном направлению с единичкой силы.
Полное перемещение точки А :
А= 7л’/+ Л хг = № У + У ■10° « 19.9- 10_,лг
2.3.7.Пример 7
Определить |
допускаемую |
нагрузку |
на |
статически |
||
определимую стержневую систему (рнс.2.13) примера 6. |
|
|||||
Исходные донные: / = Зы. |
а * 2м, |
Д =2ЮМПа. |
|
|
||
Стержни: |
1* |
швсллер№40, 2 |
- двутявр^ЫО, 3 - уголок |
|||
160*160*16,4 |
- |
двугавр>61б, |
5 |
двутавр |
№10. |
Пользуясь |
таблицами стандартных профилей, выписываем площади сечений стержней: ^1|=61,6см1. Аг - 71,4с»!1. А} *49,1см2, А4= 20,2см3,
А}=12си*.
Содержание и порядок выполнения: |
|
|
I. |
Вычерчиваем в масштабе схему с указанием <1 |
|
значений заданных величин {рис.2,13 примера б]. |
|
|
X |
Составляем ураанепне равновесия к выражаем |
реакции |
связен |
и усилия & стержнях через силу |
р (см. |
рис.2.13,2.14,2,15,2.16 и выражения 2.28.229,2.30,2.31,2.32 примера
6). Получаем |
= \41Р, |
Л»г = 1,5#>, |
Нъ “ -1,115Р. |
^.=-2,13/\ |
||
3. Определяем допускаемую нагрузку ш условия прочности |
||||||
каждого стержня. |
|
|
|
|
|
|
Стержень I: |
|
|
|
|
|
|
1,41 |
/> |
|
|
,= ^ 4Л- |
|
|
» 210-10* |
|
1,41 |
=915x11 |
|||
61,5.10-' |
|
|
|
|
||
Стержень 2: |
|
|
|
|
|
|
15 |
Р |
$210 10* => /*$ 210-М* «71/1• 10"* |
=999x11. |
|||
71,4-10'* |
|
|
|
1.5 |
|
|
Стержень 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<ъ |
|
|
Стержень 4: |
|
|
|
|
|
|
2,п. р |
|
. |
210-10*-20 2-10"* |
= 199x11. |
||
- 4- -; - 5 210-10* =* Р$ — |
V ' |
|||||
20,2-10'* |
|
|
|
2.13 |
|
|
Стержень 5:
— — г Ь 210.10* Р&210-10*. 12-10** в 252x11
12-10* Наименьшую нагрузку равную 199 кН допускает 4-й
стержень. Эта нагрузка является допускаемой для всей системы, т.к. ее превышение приведет к нарушению условия прочности и четвертом стержне.
Таблица нормальных линейных размеров (ГОСТ 6636*69), мм: 10, 10.5, И, 11.5, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20,21,22,24,25.20. 28, 30, 32, 34, 35, 36, 38,40,42,45,48, 50. 52, 53, 55, 56, 60, 62, «3. 65, 67, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 120, 125, 130, 140, 150, 160, 170, 180,190.200.
Подобрать из условна прочности поперечные сечения стержне! статически определимой системы и определить перемещение точки Л. Схема системы и типы сечений (круг, двутавр) приведены на рис.2.18, численные данные втабл.1. Материал: сталь Ст.З.
|
|
|
|
|
|
Таблица I |
Цифра |
1-я |
2-я |
3-я |
4-я |
5-я |
6-я |
шифра |
схема |
/,м |
а, и |
а . ° |
Р.° |
Л кН |
1 |
1,11,21 |
1.8 |
0,6 |
30 |
75 |
300 |
2 |
2,12,22 |
1.9 |
0.6 |
35 |
70 |
350 |
3 |
3,13,23 |
2.0 |
0,7 |
40 |
65 |
400 |
4 |
4,14,24 |
2.1 |
0,7 |
45 |
60 |
450 |
5 |
5,15,25 |
2,2 |
0,8 |
50 |
55 |
500 |
6 |
6.16,26 |
2.3 |
0,8 |
55 |
50 |
550 |
7 |
7,17,27 |
2.4 |
0,9 |
60 |
45 |
600 |
8 |
8,18,28 |
2.5 |
1,0 |
65 |
40 |
650 |
9 |
9,19,29 |
2.6 |
1.1 |
70 |
35 |
700 |
0 |
10,20,30 |
З Д - . |
1.2 |
75 |
30 |
800 |
|
|
|
|
|
|
Содержание и порядок выполнения работы:
1.Вычертить в масштабе схему, указать заданных величин.
2.Составить уравнения равновесия и определить усилия в стержнях.
3.Подобрать из условия прочности сечения стержнеП.
4.Определить изменения длины хаждого стержня.
5.Построить в масштабе план перемещения точки А.
6.ПаПти аналитически н проверить графически горизонтальное, вертикальное и полное перемещение точки А.