книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1

Лрк малых углах поворота сечений 0 18.0*©*— =о‘, а изогнутая

ось балки или упругая линия балки может быть представлена приближенным дифференциальным урапиением

которые после определения постоянных интегрирования С, и Сг »□ условий закрепления балки, могут быть использованы для определения V и 0 .

6.2. Метод н&ч ныя параметров

Очевидно, что для балки с п учветкамн необходимо определить 2гг постоянных тпегрпраиаиия и их вычисление становиться громоздким, Однако путец искусственных приемов составления и интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки можно добиться равенства постоянных на всех участках и свести число постоянных к двум.

Ктэхим приемам относятся:

1.Начало координат необходимо выбирать в крайней левой точке балки и делать ею общим для всех участков.

2.Выражение для изгибающего момента .Щг) составлять, вычисляя моменты сил, расположенных слева от рассматриваемого сечения.

3.При включении о уравнение внешнего сосредоточенного момента

А / его нужно умножить на множитель (г-о)° равный единице. Здесь а - тбешкев точки, где приложен момент А/.

4. В случае обрыва ряс предоленной нагрузки (например, в сечении 2-4, (рис. 6.2)) се продлевают до конца балки, в для восстановления действотельных грузовых условий вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления. «Продленную» и «компенсирующую» нагрузки принято покатывать штриховыми линиями.

5. Интегрировать уравнение на всех участках следует, не раскрывая скобки.

Г+* . г

И № ж 5 »

Рис. 6.2.

На рис. 6.2 изображена балка, загруженная произвольной нагрузкой Запишем для нее дифферен!шильное уравнение, используя перечисленные приемы.

Вертикальные линии с цифрами /, УУ, УУ/, У*7, У ограничивают моменты на первом, втором, третьем, четвертом и пятом участках балки. Моменты от каждого вида нагрузки записывают о порядке их расположения на балке.

Интегрируя уравнение (6.2) получим уравнение углов поворота;

где 9о - постоянная интегрирования, физический смысл которой - угол поворота в начале координат, т.е. при г-0.

Интегрируя уравнение (6.3) получим уравнение прогибов, называемое универсальным уравнением упругой линии балки.

е/|х ..в ,ц . о А . ! # . Т 4 л ^ |. » г ^ |- / М | - , Ы | * » ^ |

На практике использовать аппарат дифференциальных уравнений для протоольной стержневой системы довольно громоздко. Кроме того, в большинстве случаев требуется вычислить только перемещения в конкретных точках конструкции по фиксированным направлениям. Эту заначу успешно решает метод немецкого ученого Мора.

Линейное или угловое перемещение сечения стержневойсистемы подверженной изгибу сотое но этому методу может быть определено следующим интегралом:

(65)

••I 4

где п - число участков упругой системы; М^-нэгибающнй момент на /*м участке от внешней нагрузки; А^-изгибающий момент па /-м участке от силы равной безразмерной единице, приложенной в точку определенна линейного перемещения или от момента ровного единице, приложенного в точку определения углового перемещения; <, - длина 1-го участка; Е- колуль продольной упругости; ^-осевой момент инерции сечения ив 1-м участке.

Для определения перемещения методом Мора необходимо проделать следующее;

I.Определить реакции опор от внешней нагрузки.

1Разбить систему нв участки. При разбиении системы на участки следует помнить, что точка онредслегни перемещения рассматривается как граница участка.

(1а квжлом участке определить выражения изгибающих моментов от внешней нагрузки М„.

4.Составить схему единичного нагружения, освободив систему от внешней ивтруакк а в точку определения перемещения приложив единичную сипу, если вычисляется линейное перемещенне нлII единичный коксит, если вычисляется угловое перемещение, и для тех же участков,

перемещение. Знак плюс полученного результата указывает на совладение направления единичного усилия и перемещения, знак минус сшясгельствует о противоположном поправлении единичного усилия и перемещения.

А.II. Верещат показал, что интеграл Мора, пмеютнй вид

где Л#, - выражение грузового силового фактора, представленное линейной или параболической функцией, а - выражение единичного силового

фактора, представленное линейной функцией, проще вычислять графоаналитическим способом. В этом случае

./ = | а^ а л л = « Д 7 ,

где а, - площадь эпюры грузового силового фактора, Л/(| - значение

единичною силового фактора под центром тяжести Ю,.

Тогда в улругкх системах, подверженных изгибу перемещение определяется по формуле

а - 2

где п - число площадей, на которые разбита эпюра моментов от погрузки; « ,-площади, на которые разбита грузовая эпюра; Л7Л значение единичного момента иод центром тяжести со,.

6.5.Пример определении перемещений в балке

Для заданной балки, схема которой с указанными на ней численными значениями нагрузок и размеров приведена ни рис. 6.3, а, подобреть стандартный двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям н, определио углы поворота и прогибы на конце консоли в середине пролета различными методами, провести проверку на жесткость. Если условие жесткости не удовлетворяется, то подобрать новое сечение мз условия жесткости.

Определяй' реакции связей:

4 - ч 4-1* м 0=0,

Проверка реакций:

= Я |-? * 4 - ^ + /> - 3 4 -4 0 -1 4 + 20 = 1).

Рис. 6.3.

б з 6 ^* ч,,,м зпк»ры поперечных сил и изгибающих моментов (ем. рис.

<?. =■«,-<Г,; &(»)=■». = Э 4и 11;а(4)-* , - « 4 = 14 -40= -6к11;

.1

М \г . )= Л/,{3,4)= -14+34-3.4 - юМ -=41,ВкН«

А/|<2)= -16 + 3 4 -1 - 1 0 | = 3*11и;

2-П участок 0 < 7г <2

= - / >= -20кН;

М2 = Г1 2: АГг(о}=0; А^2(2)=40уНм.

Подбираем двутавровое сечение ш условия прочности по нормальным напряжениям:

Из сортамента ГОСТ 8239-89 ближайший номер двутавра с 1Г,=203 см1. Н?20а и /,=2030 см4.

Определяем углы поворота и прогибы на конце консоли и в середине пролета метолом натальных параметров (рнс. 6.4).

Таким образом, уравнение углов поворота окончательно запишется

Далее Булем определять Е1^ и Е1ТЭ ( наэыопя их для краткости

соответственно прогиб и угол поворота, Вычисляем угол поворота в середине пролета при г в 2 и (точка О), используя только часть уравнения для первого участка, т.е. до вертикальной линии А

Ь7,0О(2) * -32 -1 б *2 + 171 -1,67• 21 = 9М кНм*.

Угол поворота нв конце консоли, т.с. при х — 6 м (точка ЗД определим, используя все уравнение (6.9):

= —32 —16*6 +17-6а -1.67-63 - 7-2* + 1,67-2* ^

- 3 2 - 9 6 + 612 - 360,72 - 28 + 13,36 = 108,64 хНм*

Вычисляем прогиб в точке О:

« 1ио= -32.2-*.2>45>67.2, -0,4|7-2| -64-321-4536-6,672= -57^

Вычисляем прогиб ■ точке Е при г = б м:

Е9лоК*= -3 2 - 6 -8 I 1 + 5,67-61-0,417 64 - 2,33-23 +0,417-24 =

-192 - 288 +1224,72540,432 -18,64 + 6,672 = 192,32 кНы \

19232.10*

0,0474 м,

2-10" • 2030-10‘в “

Проверяем жесткость балки на консоли и в средине пропета. Условие жесткости ка консоли балки записывается так:

« ^ 1 / 1 = 400'

где [/,| допустимый прошб на консоли;/, - длина консоли, м.

0,0474 м > [ / I = — = 0,005 м .

Условие жесткости не удоалетпоряется, поэтому подбираем сечение III условия жесткости

*2 -10 /.

/,= 27696 м4.

Проверяем жесткость балки в середкие пролета:

'ъ И / Ц .

где [/], - допускаемый прогиб в полете,

^=^ = 35о= В Д Ш и '

прогиб б пролете для двутавра №45

ил с 1/1* ~ условие жесткости в пролете удовлетворяется.