книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1
.pdfМоменты инерции сложных сечений равны сумме моментов инерции простых фигур на которые разбито это сечение:
К - |
1, - Ё<ЛХ ; К = |
м |
. |
(М ) |
|
«1 |
|
|
3.3Нгмсиенне мом«ггоо инерции при повороте осей координат
При повороте осей (*|; не какой-либо угря а по отношению к исходным (рис. 3.3, в) момент инерции изменяются:
У* е У .о о ^ л + У ^ ^ а -У ^ ы п З а в ^ ^ + ^ у ^ а и г в г -У ^ и п З а ;,
Уг = У. яп' «г+Усот* а+У^ Йп2а = ^ |
2а + У, яя 2а ; |
|
У |
-У, |
|
Угл = — |
1-»п2а +У, оо42а. |
|
Рис. 3.3
Эти зависимости справедливы только для осей с общим ночалол координат. Положительный угол ос отсчитывается от осп * в направлении кратчайшего поворота ее до совмещения с осью у.
3.4Определение главных моментов инерции н напри влепи
главных осей
Положение главных осей находится по формуле:
(310)
где Оо - угол, на который нужна повернуть оси х и у, чтобы получить положение главных осей. При а*>0 поворот оси х до совметения с главной осью прок вводится против члеовой отреши.
Главные ыоыенты инерции вычисляются по формуле (3.9), если в них положить а^что» или по формулам:
|
|
Ш 1 ) |
л |
^ 4 Ж ч 7 ^ Г . |
|
Причем верхние аники следует брать при |
о инжкие |
|
при ^г < |
Правило иноариантв: /, +./, ■ Л, ♦ ■/„ = |
+Л* ■ сол»/. |
При повороте осей сумма осевых моментов инерции относительно перпендикулярных осей остается величиной постоянной.
Понятие о радиусе инерции: момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно записать в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, которую называют радиусом инерция:
Л - у<П=Л ^ |
(3.12) |
где \, - радиус инерции относительно оск х.
Тогда
1Я= |
(3.13) |
Относительно главных осей радиусы инерции будут равны соответственно:
<• = |
1, = |
<3.14) |
|
|
щ- |
1. Любая сложная фигура разбивается па простейшие (прямоугольник, кволрет, треугольник, полуокружность, четверть окружности и т.д.), геометрические характеристики которых известны, рнс.3.4.
2. Проводится произвольная система прямоугольных координат (вспомогательные оси) относительно которых положение центров тяжести любой простейшей фигуры является величиной известной.
3. По формулам (3.3) определяется центр тяжести всей фигуры и проводятся нейтральные осилгс иу0 которые параллельны центральным осям простейших фигур.
4.Используя зависимость изменс1П1я моментов инерции при параллельном переносе осей (формулы 3.7, 3.$), определяют моменты пнерцин н центробежный момент инерции всей фигуры относительно центральных осей.
5.По формуле (3,10) вычисляют положение главных осей
инерции (угол сто).
6.Определяют по формулам (3.11) главны
инерции.
7.По формулам (3.14) вычисляют главные радиусы инерции.
З.б Геометрические характеристики некоторых плоских ссчсннЛ
А = ЬЬ
Ч*
-^ 1 12
‘- ’ ТИ
|
|
‘--ТП |
|
|
а *& |
|
X |
лЯщ |
|
|
|
Зж |
Л. |
Д1Л* |
|
||
|
|
Т, =0,265Л |
V. |
А = ВП-ЪЬ |
||
Г |
|
ЯЛ’-АЛ' |
|
|
* |
||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
^^= 0 ,О Я 9 Л ‘ |
|
^ =0,0165Л’ |
|
^ ~^л -0.196Я' |
Зж |
^ = 0,071л4 |
Г,. = О,ОЗВ4Д' |
Ги НВ'-ЬЬ*
Л12
1ОТ’- Л 1
4<112(Д//-М)
ПЙ ^А Ь5™
4' \ |12(Л«-ЬА)
Рис. 3.4
3,7 Примеры определения геометрических характеристик сложных фигур
Пример /.
Определить для заданного плоского сечения (рис.3.5) положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции и радиусы инерции. Д=5 см.
К,. Ус. у}
1,5Л
Рис 3.5
1. Определение центра тяжести фигуры.
а) Разобьём фигуру иа полуокружность и треугольник, проведем центральные оси Х\-у\, хгЛ этих ф т>р падалиельные сторонам треугольника.
б) Проведем вспомогательные оси, относительно которых будем находить смещение центра тяжести всей фигуры. Вспомогательные осп рациональнее совмещать с центральными осями какого-либо ш элементов сложной фигуры, г.к. статические моменты этого элемента относительно центральных осей рав1гы нулю. В рассматриваемом примере вспомогательные оси совместим с осями хгУ\ (центральные оси полукруга).
в) Используя зависимости (3.3), определяем центр тяжести фигуры и проводим центральные оси хг~уе.
^ |
М |
Л + А |
|
|
|
_ 39.35(2.12■» 1,5) |
2,36ев |
|
|
39,25*37.5 |
|
р |
у, 4.,м |
А, |
|
Ё д " 1 л |
~ * * л- |
д * д |
|
1*1 |
1«1 |
|
|
|
- и ^ |
| |
|
|
, г = - ^ = - 0 « < и . |
|
|
Центр тяжести С всей фигуры должен лежать на прямо», соединяюще» центры тяжести полукруга и треугольник л.
2. Определяем моменты инерции относительно центральны осей, применяя зависимоеть (3,7).
а , - Ё у * И л , +Д А')*(■'г,+ЛЧ);
Д - у4. = 0,«5 см , 6, = 6 - ^ = --0 ,8 5 = 0,82 см.
Л =
|
|
|
* * |
* » - • » * |
Л г -Ё<Л,>.-<А, +Д«,,Ж А ,+4 « ? » |
; |
|||
о, |
= 2,36 см , о, = п - лгс =4,62-2,36 = 2,26см ; |
|||
^ - м . г + ^ н [ “ И й +1 и в .а д - ^ ] . |
||||
^= 0 .1 1 |
+ |
2.361 |
2-2Д4'» 594,1т1; |
|
Л * “ Ё сЛ ч И А , |
|
|
||
|
|
АЛ =о: |
|
|
Л.,- |
|
|
Д , 5Я М , <Г)И. М . |
|
А ,, = - У у |
^ |
231, 0. В 5 - 1 ^ ^ - | Д |
. 5 ' -2,26-0,42 = - 224,1сы' |
|
и>
2<-22Ы) -5,09; 507,2 - 596,1 “
ащ= -угге.
Так как ао<0, ось *е должно бипъ повернута до совмещения с
главкой |
осью |
|
и по часовой стрелке. Поскольку |
||
тоЛу= Л в»* Л |
=Ли«- |
|
|
||
|
Л - |
2 |
2 ' |
|
|
|
|
|
|
||
|
* — |
|
996,1 - \ ^507.2-596,1)* ♦4-226.3* « 321,03о*4 |
||
Л = ^ |
2 |
|
|
+ |
р И 1.65 + 233,-62 = 782.27см4 |
Л. + / |
|
= Л * Л ; |
507,2*596,1 =323,0+712,3-1103,3 |
||
4. Определяем главные радиусы инерции: |
|||||
|
|
1Я Щ |
|
|
|
к |
% 1 76.75 = 2,04<и |
|
|||
Пример 2
Определить для плоского сечения, изображенного на рио.3.6 положение главных центральных осеЛ и вычислить главпые моменты инерции н радиусы инерции. Швеллер № 30, уголок 125x80x30.
Справочные данные: [.№ 125x80x10 0=12,5 см, *=8 см,
А=19,7 см*, ./,“ 31 1,61 сы1,
.//=100,47 см\|Л,]=102,Осм4, хо=1,92 см, ^=4,14 см.
| № 30 Л=30 см, Ь~10 см, Л=40,5 см2,
Л - 5810 см4, 4-327 см1, *а=2,52 см.
]. Выбираем вспомогательные оси, совпадающие с центральными осями {х2-}^) швеллера, определяем центр тяжести фигуры аналогично предыдущему примеру.
2 Х > . |
|
]», 7(-4,44) -1,45 |
си; |
|
|
|
|
ч |
4+4 |
19,7ч 40,5 |
|
а = ^ |
+ 20 = 1,92 + 2,52 - 4,44 ш ; |
|
|
Л- |
4' Ь |
^ 19,7(9,36) = 2,74 ет |
|
|
<0.2 |
|
|
|
|
|
|
Ь= В - у 0 = 12,5 - 4,14 = *,3б см .
2.Определяем моменты инерции относительно центральн
осей.
1*. - ы |
= |
-311,61 4-19,7* 5.021 4-5810 +40,5* 2,74* =7047,9см4;
А| = Ь- уг - 8,36 - 2,74 - 5,62 см; Ъг =ус ■ 2,74см .
/4
-100,47*19,7.2,992 +127 * 40,5-1,452 =б88,74с*Л
<Г| = а - хс = 4,44 -1,45 = 2,99 см, = хг<= 1,45 см.
,= 2 > . ). =Лл * Ч М ^К Л ,,, ЬЛ(-^ К =
= -102 —19,7 -5,62 - 2,9940,5 2,74 • 1,45= -593,94 см *;
1. Определяем направление главных центральных осеП и величину главных центральных моментов инерции.
Л г “ Л г |
7047,9-688,7 |
сг9 = 5*18\
Ось х необходимо повернуть против часовой стрелки на угол Ор до совмещения с главной осью (/.
* - |
и |
-■'„Г+К ус~ |
= 1Ч47'9 * Ш '7 +1 ^(7047,9-б?в.7>^ + 4 -5И .91 =710314*
«V -Л ы . = 7М7'9^ 688,7 - 1 ^(7047,9 - 688.?)1 + 4 593,91 = 613.7 си *
+->и . ’ Л , + 1у; 7047,9 + 688,74 = 7101+ 633,7 =7737.
4.Определяем главные радиусы инерции:
Для сечения, показанного на рис.3.7, определить пеоме1р1Р1ескис характеристикиотносительно главных нейтральныкосей.
Исходные данные: «т= 25,им.
Решение.
Изображаем в масштабе сечение с указанием численных значений
его размеров (рис.3.7). |
|
|
|
Разбиваем |
сечение |
на следующие |
фигуры: I-полуокружность |
радиусом /? а Юа = 25см И |
ПЛОЩадЫО И, = ^ |
= - И^25> -рИ ЗЗслг1, 2-КваД- |
|
раг, размеры |
которого |
г±- 20л - 50ем, |
Ь2= 20а = 50си, а площадь |
Л2 = 25(Юс.и2, 3-два прямоугольника, каждый |
из которых имеет размеры |
||
А, - 40см, А} в 20см, а ИХ площадь Лл •* 40* 20* 2= 1600см1.
Площадь всего сечения А = + А3- А±=981.25+2500-1600 «1881 25г.»Л Показываем положение центральных осей каждой фигуры (рис.3.7). Определяем положение центра тяжести сечения.
Ось симметрии Г является главкой центральной осью и центр тяжести расположен натгой оси. Принимая в качестве базовой оси Х6 ось, совпадающую с центральными осялш второй и третьей фигур (рис.3.7), вычисляем Ус-координату иентра тяжести сечения по отношению к оси
х*\