книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1
.pdfСледовательно, согласно пришлому правилу знаков, крутящий момент Л/* в сечении я - а будет положительным.
При действни на отсеченную часть нескольких внешних моментов, крутяшмй момент в сечении находится как алгебраическая сумма внешних скручивающих моментов,
действующих по одну сторону ОГССЧСНИЯ.
Для того чтобы судить о характере распределения крутящих моментов подлине вала,строят эпюру этих силовых факторов.
Для упрощения внешние моменты будем условно обозначать в виде двух кружков, соединенных линией. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, с крестиком - от наблюдателя (рис. 4.2,а).
Поясним построение эпюры крутящих моментов ив следующем примере; рассмотрим вал АЕ (рис.4.2, б), опирающийся но подшипники и натуженный в сечениях А, В, С, Ц Е сосредоточенным крутящими моментами, а на участке СО - распределенным крутящим моментом (/л). Вал под действием укатанных моментов находится в равновесии.
Проведем сечение а-а на участке АВ. Из условия равновесия левой от сечения части получаем Д/*=200 И м.
Всечении Ь - Ьна учветхе ВС А*г= 200 - 400= - 200 Н м.
Всечении с - с на участке СО Млж200 - 400 - 600 + 100-г, 0^ХГ5 1М.
При г =0 Л/Гв - 800 Н-м, при гЧ м Л/,- - 7001Ьм.
В сечении Л- <1на участке ОЕ
Д/,= 200 -400 -6 0 0 + НЮ -I- 200 = - 500 И*м.
Эпюра крутящих моментов имеет форму прямоугольников, за исключением участка, на котором приложен распределенный
крутящий момент. Слелу-ет отметить, что и пом ссчснни, где имеется сосредоточенный крутящий момент, ординат эпюры скачкообразно изменяется на величину нршюжешшго здесь момента.
6
РнеЧ.2
4.3*Определение напряжений II деформаций при кручении вила круглого ссЧСШ1М
При оналше деформаций кручения будем основываться на следующих гипотезах:
1 При кручении круглого валя поперечные сечения, плоские до деформации вала, остаются плоскими и перпендикулярными к
его |
продольной |
оси и после деформации (гипотеза |
плоских |
сечехиЛ). |
|
|
|
|
2 Радиусы сечения, прямые до кручения,остаются прямыми и |
||
при крупеник. |
|
|
|
|
3 Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, |
||
но |
поперечные |
сечения, вследствие деформация |
сдвига, |
поворачивается друг относительно друга как жесткое целое.
4 Касательные напряжения пропорциональны деформациям сдвига.
Касательные напряжения при кручении вала круглого ссчскня распределяются по линейному закону пропорционально расстоянию от центра ссчскня ( рис.4.3):
Условие прочности для круглого сечения записывается в
виде: |
(43) |
= |
где Л/д* • максимальный крутящий момент на участке, ^ р-
поляркый МОМС1ГТ инерции на том же участке; рт - радиус внешней окружности, Р^- расчбпюе сопротивление срезу.
Учитывая, что IVр = —- - - полярный момент сопротивления,
Рш»
условие прочности приобретает следующий вид:
А1 г
(4.4)
По четвертой теории прочности Лср е 0,6Р.
Относительный угол закручивания в зависит от крутящего момента и жесткости поперечного сечения вала.
Рис. 43
л |
Мл. |
|
|
<4'5) |
|
0 |
|
|
|
||
где Шр - жесткость поперечного сечения |
вала круглого сеченн |
||||
при кручении. |
с!ф |
|
|
|
|
Учитывая, что 0 |
величину |
абсолютного |
|||
= — , определяем |
|||||
|
& |
|
|
|
|
угла закручивания (взаимный угол поворота сечен иП) |
(р = [ |
- |
|||
|
|
|
□ |
(Мр |
|
Если о пределах |
цилиндрического участка пала длиной ( |
||||
|
|
|
А |
|
|
крутящие моменты в сечениях не изменяются, то <р = —— . |
|
||||
Условия жесткости при кручении имеет вил |
С^р |
|
|||
|
|
||||
°« « “ |
« М . |
|
|
(4.6) |
|
где [0] - допускаемый относительный угол закручивания.
4.4.Кручение вала прямоугольного сечения
Задача об определении касательных напряжений и углов закручивания для вала с некрутым поперечным сечением не может бить решена методами сопротивленца материалов. В данном случае гипотеза плоских сечений не применима. Это лодтаерждаюг экслерименгапыные исследовш л и .
В случае кручения вала прямоугольного сечения наибольшие касательные напряжения возникают в серединах длинных старой прямоугольника, те в тачках Л и В, рис. 4.4, б, Результаты решения, полученные Сен-Вен аном, дают следующие зависимости;
|
М л |
|
(4.7) |
|
" к |
' |
|
|
|
||
где 1Ук =аЬА2; А |
большая |
сторона; Ь |
малая сторона |
прямоугольника.
В точкеС т, «у-Тиз,.
Угол закручивания на длине I находят по формул
(4.6)
где ^к ~ |УгА*.
б
Коэффициенты « . [V, у зависят от отн шения ЫЬ и находятся по справочным таблицам (табл. 4.1).
|
|
|
Таблица 4.1 |
1,00 |
а |
|
г |
0,208 |
0,141 |
1,000 |
|
1,50 |
0,231 |
0,196 |
0,859 |
1,75 |
0,239 |
0,214 |
0,829 |
2Г00 |
0,246 |
0,229 |
0,795 |
2,50 |
0,258 |
0,249 |
0,766 |
3,00 |
0,267 |
0,263 |
0,753 |
4,00 |
0,282 |
0,281 |
0,745 |
6,00 |
9,299 |
0,299 |
0,743 |
«,00 |
0,313 |
0,313 |
0,742 |
10,00 |
0,313 |
9,313 |
0,742 |
> 10 |
0,333 |
0,333 |
0,742 |
Условия прочности н жесткости для прямоугольного сечения
ют следуютниПпил: |
|
|
|
|
Мк |
М1 |
|
пах |
е |
(4.9) |
|
' V* |
ш к* |
||
4.5Пример расчета стального ввла ид прочность и жссткоегъ
Определить размеры стального вола сплошного круглого, трубчатого к прямоугольного сечСИПЛ пт условий прочности II жесткости для схемы нагружения, изображенной на рмс.4.2, 6.
Расчетное сопротивление срезу Д,р=126 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [&1=0,5 град/ы. Отношение внутреннего диаметра к наружному у трубчатого сечения
а = — = 0,8, отношение большей стороны прямоугольного ссчснш
кменьшеЛ ^ - 2 .
Ь
Решение:
Определить размеры вала, удовлетворяющие условиям прочности н жесткости, и округлить их до нормализованного значения по ГОСТ 6636-99 (см. стр. 38).
Для вала постоянного ссчсния опасным будет сечение С, где Л(к=800Н м имеет наибольшее значение (РМС.4-.2;б).
Сплошное нрцълош сечение
Определение диаметра вала из условия прочности |
|
|||
|
АГдг |
|
" '-'Г Г |
|
|
~ й |
^ |
|
|
1 |
пЛч> |
I V * 126 |
-ю 6 |
|
из условия жесткости: |
|
|
|
|
°™ , - |
* М . («1= 0.5 ^ |
*0,0087 ^ . |
||
|
|
|
М |
м |
'О Й * " 32 ’
модуль сдвига для стали принимаем С=8*10ц МПа.
в . ) Е |
” |
. Е : « » >И |
— „ 5,85-КГ* и . |
V |
лС[о] |
У з,И -8 -Ю10 |
0,0087 |
Наибольшее значение диаметра получилось пт условия жесткости. Иэ нормального ряда лшееЛпых размеров ( стр.37 )
принимаем ближайшее значение 0=60 мм. |
|
||||||
|
|
Трубчатое сечение |
|
||||
№ условия прочности |
|
Мл |
|
кОУ, |
|||
№Р * - г ~ • |
16 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
о * [ |
М ,.Л 6 |
|
|
800-16 |
|
= 3,Я0.10-2 м . |
|
и |
ф (1 - а 4) |
|
126Ю б{1-0,84) |
|
|||
ИЗ УСЛОЕ11Я ЖССТКОСПI |
^ р > |
, |
^ р = ^ - ( 1 “ « 4). |
||||
ТОГДЯ |
|
|
|
|
|
|
|
I |
М К '32 |
I |
|
$00-32 |
|
= б)67-10~2 м. |
|
1/ л(7[0](1 - а 4) |
Р . И |
• 8 • 1010 • 0,0087 - 0,59 |
|||||
Принимаем 0 «= 67 мм.
Прямоугольное сечение
Из условия прочности
Мг
1*х - в М 2 *= о -2Ь3, из табл, 4.1
а=0,24б,
ьь. 800 2,35-10"* м . 2-0.246-126-106
Иэ условия жесткости
® |
= 7 ^ - * (0], |
•/* |
табл. 5.1 |3=0,229, |
|
|
|
_______ |
^ к = 2ДО4 = 2 • 0.229А4, |
|
||
Л |
,/ |
М* |
Г~~ |
800 |
, |
|
Ус#-0,458- (О) У8-Ю10-0.458 -0,0087 = 3,98 10 |
" |
|||
Принимаем Ь ~40 мм, А - 80 мм.
2. Дать эскиз опасного сечений мла и построить эпюру касательных напряжений, рис. 4.5 а, б, о.
Л/г |
800-16 |
, ВЛ1Лбг1 |
|
т „ „ |
------------ |
г -18.9 I О6 |
По |
№р |
3,14-0.С623 |
|
|
800*16
= 23 .|06 Па
3,14.0,0673-0,59
800
= 25,4 10е Па
2 - 0,2-46 • 0,043
тВ = Г т ^ =0,795 25,4 10* = 20,2-И)6 Па
3. Оценить рациональность рассматриваемых сечений.
За критерий рациональности принимается удельный момент
сопротивления |
для |
некруглого |
сечения) с пошипи |
прочности и удельный радиус |
инерции |
/,= ~^ |
Для некрутого |
сечения) с позиции жесткости.
Чем больше эти параметры, тем рациональнее сечение. Оценим критерии рациональности с позиции жесткости и
прочности.
Сплошное круглое сечение
С позиции прочности:
С позиции жесткости
Трубчатое сечение
пД’О - а ') |
I + а г |
1,64 |
=0,771
'ъ 1 х л - * г) ~ ъ 1 и 4 - ъ м
« о ч » - ^ ) |
П -а3 |
1,-64 |
0,725. |
||
' ' 3^ * , _ |
, р = |
- СХ*) = 2 .зл+-0.36 = |
|||
|
|||||
Ирямоугачъиое сечение |
|
||||
!ГХ |
2в/г5 |
а |
0.246 . . . . |
|
|
'г’ - 1 Р - % 7 Г - ъ ~ * г - т '
Отношения критериев рациональности для трубчатого, сплошного круглого и прямоугольного семениП с позиции прочности следующие;
= 0,771:0,282:0,174 = 4,43=1.62:1
С позиции жесткости:
Л :Л :^ в 0 д а :в .1 5 » :0 и114 = О б : и > : 1. Следовательно, наиболее рациональным сечен нем щ
рассмотренных является трубчатое, наименее рациональным прямоугольное.
Отношение весов О-у-А-1 этих валов
О' -в? <2' ' А :2Ьг
4
0,40:0,8В:
Из отношения весов следует, что вес вала с трубчатым сечением в 2,5 р т а легче вала с прямоугольным течением и в 2,2
раза легче вала со сплошным круглым сечением. |
|
||
4. |
Определить углы закручивания участков нала трубчатого |
||
сечения н построить эпюру углов закручивания. |
|
||
Обозначим площади эпюры крутящих моментов на участках |
|||
за Ю|, С0д, Мз, ов4, которые представляют собою произведите Д/> на |
|||
длину участка |
(Ш| - |
пронэведенне сред нсЛ линии трапеции на |
|
длину участка). |
|
|
|
Тогда, принимая эв начало отсчета сечение А (рис.4.2, б), |
|||
получим; |
|
|
|
<о, |
200-1-180° |
= 0,067’, |
|
4>в-л = — - = |
|
||
^8• Ю10 -^0,067*(1 -«,8^) ■3,14
|
|
Чс-л в Ъ -л " |
щ |
200*1 |
200-1 |
_ |
|
|||
|
|
в |
|
|
|
“ |
|
|||
|
|
|
|
|
800 + 700 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• М 80° - 32 |
= -0,25Г |
|||
|
|
|
|
°> 3 ___________________________________________ |
||||||
<Рд-/1 - Фс-И “ <Мр “ |
8 ■Ю10 -3,14* -0,067* |
0,59 |
|
|||||||
фг 1 |
— |
- - |
с 4 |
. _С1о |
500-0,5-180° 32 |
л , п.. |
||||
ф |
—-0,251 |
.. |
. |
-------- - |
= —0,404 |
|||||
УЕЛ |
чо л |
|
|
|
Ю10 • 3,14^ |
0,067*-0,59 |
||||
На основании расчетов строим эпюру углов закручивания (рис. 4.26/