книги / Цифровые сигналы и фильтры

смеси сигнал и шум ( отношение сигнал/шум на входе 0,5) график сигнала на входе имеет вид, показанный на рис. 7.15 , на выходе ЦФ - рис. 7.16.

Ограничение импульсной характеристики во времени означает умно­

где w(nT) - последовательность конечной длительности (функция окна),

Величина hk(nT) и используется в качестве импульсной характеристики выбираемого ЦФ.

В ряде случаев вместо прямоугольного окна используются временные окна другого вида, обеспечивающие сглаживание частотной характерис­ тики.

Таким образом, последовательность синтеза согласованного ЦФ заклю­ чается в следующем.

Имея временную функцию исходного непрерывного сигнала, выбира­ ют импульсную характеристику ЦФ, произведя перенос зеркально отобра­ женной временной функции сигнала в положительную область и при не­ обходимости ограничивая ее во времени; производится дискретизация импульсной характеристики.

Умножают импульсную характеристику ЦФ на функцию окна. Полу­ ченная характеристика определяет нерекурсивную схему согласованного ЦФ. В некоторых случаях от нерекурсивной схемы можно перейти к ре­ курсивной.

Определив частотную характеристику выбранного ЦФ, можно сравнить ее с требуемой. Корректировка возможна путем уменьшения интервала дискретизации и выбора функции окна.

Таким образом, описан подход к получению нерекурсивной схемы со­ гласованного ЦФ. Получить рекурсивную схему в общем случае можно только как квазиоптимальную.

Как показывают рассмотренные примеры, сигнал на выходе согласо­ ванного фильтра может иметь значительные искажения (сигнал имеет вид корреляционной функции сигнала). Указанное обстоятельство при приеме сигнала на фоне шума может явиться веской причиной перехода от опти­ мальных к квазиоптимальным фильтрам.

7.3. К вази опти м ал ьн ы е циф ровы е ф и л ь т р ы

При оптимизации характеристик ЦФ можно, не обращая внимания на вид частотной характеристики, задать только полосу пропускания, обеспечива­ ющую наилучшее обнаружение сигнала на фоне шума. Такие фильтры бу­ дем называть квазиоптимальными. В ряде случаев квазиоптимальные филь­ тры вследствие своей простоты и универсальности являются более пред­ почтительными, а потери при замене оптимальных фильтров квазиоптималь­ ными могут быть несущественны. Использование квазиоптимальных филь­ тров предоставляет большие возможности обеспечения меньших искаже­ ний сигнала на выходе фильтра. При выборе квазиоптимальных фильтров появляются большие возможности применения рекурсивных схем, облада­ ющих определенными достоинствами по сравнению с нерекурсивными.

Рассматривая схемы квазиоптимальных фильтров, выделим только не­ скольких основных их видов и по отношению к ним рассмотрим подход к выбору оптимальной частотной характеристики (полосы пропускания). Синтез квазиоптимальных ЦФ остальных видов аналогичен выбранным для рассмотрения.

АЧХ фильтра определяется только одним параметром с. Так для фильт­ ра, включающего М=6 звеньев, можно принять:

при L = 2 с =0,85; L = 3 c =0,57; L =4 с=0,33.

Для случая белого шума на входе дисперсия шума на выходе фильтра с характеристикой (7.31), можно считать, определяется выражением

Отношение сигнал/шум на выходе фильтра определим с учетом (7.32) и (7.33) как

Таким образом, исходными величинами при определении q являются спектральная плотность сигнала на входе и АЧХ фильтра. В свою очередь АЧХ определяется параметром с, зависящим от параметров ЦФ L и А/, как это следует из (7.31).

Максимальное отношение сигнал/помеха на выходе (7.34) можно опре­ делить, если взять производную q по с и приравнять ее нулю.

Из этого уравнения найдется значение с и соответствующие параметры квазиопимального фильтра: Lu М.

При использовании ФНЧ с идеальной АЧХ с верхней частотой среза (Ов выражения (7.32) и (7.33) запишутся в виде

71 О

Таким образом, выражение для отношения сигнал/шум на выходе филь­ тра получим в виде

q= ih : IfrMf*"- <7” >

0Шв О

Максимальное значение этого отношения может быть найдено, если взять производную q по й и приравнять ее нулю. Таким образом, опреде­ ляется полоса пропускания фильтра, соответствующая максимальному значению отношения сигнал/шум на выходе.

Реализацию идеальной частотной характеристики ФНЧ наиболее удоб­ но осуществить с использованием цифрового фильтра Баттерворта или фильтра Чебышева (Разд. 5).

Полосовой фильтр

Полосовой фильтр используется преимущественно для выделения уз­ кополосных сигналов, и пачек импульсных сигналов; с этой точки зрения синтез квазиоптимального ПФ представляет несомненный интерес. Схема ПФ изображена на рис. 7.19.

1

Отношение сигнал/шум на выходе фильтра определяется выражением

Величина q зависит от спектральной плотности сигнала на входе и АЧХ фильтра. Максимальное значение этого отношения может быть опреде­ лено, если взять его производную по с и приравнять ее нулю (по анало­ гии с ФНЧ).

8. АППРОКСИМАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Любая база данных, вводимая в компьютер, превращается во времен­ ную последовательность - дискретный сигнал и, как сигнал, может обра­ батываться в соответствии с заданным алгоритмом. Поскольку компью­ терная обработка становиться неотъемлемой частью анализа в статистике, и не только в статистике, понятие “сигнал” выходит за пределы теорети­ ческой радиотехники и наполняется новым содержанием.

Таким образом, обработка сигналов с использованием ЦФ может стать средством решения задач в смежных с радиотехникой (и не только смеж­ ных) областях. В частности, цифровая обработка является эффективным методом аппроксимации функций и случайных процессов с любым физи­ ческим содержанием. Этой теме посвящен настоящий раздел: рассматри­ вается сглаживающая аппроксимация осциллирующей функции и случай­ ного процесса с использованием алгоритмов цифровой фильтрации.

8.1.Содерж ание м е то д а

Каппроксимации часто приходится прибегать тогда, когда рассматри­ ваемая функция получена с определенными ошибками (например, экспе­ риментально). Обычно это дискретная функция, интерполяция которой вследствие ошибок дает искаженное представление об исследуемом про­ цессе. Примерами могут служить гистограммы плотности распределения вероятностей (ПРВ) и функции распределения вероятностей (ФРВ), изоб­ раженные на рис. 8.1. Гистограммы отражают результаты эксперименталь­ ного оценивания характеристик случайного процесса на основе статисти­ ческой обработки отрезка его реализации. Вследствие ограниченного объе­ ма результатов измерений неизбежны ошибки, которые приводят к раз­ бросу значений определяемых функций, затрудняют анализ полученных результатов. Интерполяция дискретных значений, отражающих проведен­ ное оценивание, лишь подчеркнет имеющиеся ошибки. Для получения “сглаженных” непрерывных функций на основе дискретных значений не­ обходимо выбрать аппроксимирующую функцию, как это и сделано на гра­ фиках рис. 8.1.

Второй пример - статистические данные, представленные на рис. 8.2,а (слева исходная дискретная последовательность, справа непрерывная апп­ роксимирующая функция). На рис.8.2,б изображен график “осциллирую­ щей” функции, как результат интерполяции дискретных значений, отра-