книги / Цифровые сигналы и фильтры

Для фильтра Чебышева (рис. 5.5, б):

rk - yjsh2a cos 2(рк + ch 2a sin2 (pk , a = arsh(U e )/ N,

e = yll/AH2- \,

(p k=(2k + n - \) n / 2n, К = 1 /2 л_1

Величина АН характеризует размах пульсаций в полосе пропускания фильтра-рис. 5.5,6.

Чтобы перейти от передаточной функции к системной, подставим (5.12) в (5.18) и (5.19). В результате преобразований получим выражение для си­ стемной функции [22].

При нечетном п фильтр содержит одну ячейку первого порядка и (п-1)/2 второго порядка

b k l + 2 y ^ c o s ^ + y 2r 2t ) ^ l-2yr*cosç»4 + y V t ’

у = со2Г 12, Т - интервал дискретизации.

Таким образом, полученный ЦФ представляет каскадное соединение ячеек: при нечетном числе ячеек одну ячейку первого порядка и (п-1)/2

Ячейка 1-го порядка

AÀ**W

Ячейка 2-го порядка

Рис.5.6

ячеек второго порядка; при четном (л -1 )/2 ячеек второго порядка, рис.5.6. Параметры схем определяются соотношениями (5.22).

Графики АЧХ цифровых фильтров Баттерворта приведены справа на рис. 5.7, фильтров Чебышева - на рис. 5.8; слева на рисунках приведены им­ пульсные характеристики фильтров.

5.2. Прямой с и н т е з циф ровы х ф и л ь тр о в

При синтезе ЦФ в качестве исходной обычно задается частотная харак­ теристика. Она берется за основу и при прямом методе синтеза фильтра.

Прямой метод синтеза сводится к нахождению функции, аппроксими­ рующей заданную частотную характеристику так, чтобы получить систем­ ную функцию цифрового фильтра H(z) в вид дробно-рационального выра­ жения относительно z*' или z. Чтобы H(z) было дробно-рациональным от­ носительно z, выражение для Н(со) должно быть дробно-рациональным относительно ei<T. Эта цель достигается, в частности, при выборе аппрок­ симирующего выражения на основе тригонометрических функций. Одна-

n=20

n=60

Рис. 5.8

Задаваемая частотная характеристика по сути является АЧХ фильтра, так как фазовая характеристика не задается. Таким образом, частотная ха­ рактеристика является четной функцией частоты, и ее обратное преобра­ зование Фурье является также четной функцией. Однако импульсная ха­ рактеристика физически реализуемого фильтра должна быть функцией, определяемой только для положительных значений времени. Поэтому вре­ менная функция, получаемая как обратное преобразование Фурье частот­ ной характеристики, должна быть смещена в положительную область. Так как найденная характеристика бесконечна, она должна быть также огра-

ничена во времени, чтобы не выходила за пределы положительной облас­ ти. Смещение во времени не изменяет АЧХ фильтра (изменяется только его ФЧХ). Однако ограничение характеристики во времени приводит к искажению АЧХ.

Полученная таким образом импульсная характеристика дискретизиру­ ется, и может рассматриваться как импульсная характеристика нерекур­ сивного КИХ фильтра, имеющего АЧХ, соответствующую исходной час­ тотной характеристикой с некоторой ошибкой.

При выборе интервала дискретизации 71, необходимо иметь в виду, что должно выполняться условие Найквиста-Котельникова

T<n/(ùm,

где (ùm- максимальная частота частотной характеристики.

Полученную импульсную характеристику фильтра hN(nT) можно пред­

где h(nТ) - дискретная характеристика, полученная как обратное преобра­ зование Фурье исходной характеристики; w(nT) - временная последова­ тельность конечной длительности - функция окна.

При простом ограничении импульсной характеристики во времени фун­ кция окна w(nT) представляет единичную функцию в пределах интервала ограничения - функцию прямоугольного окна.

Так как умножению двух последовательностей во временной области соответствует свертка двух преобразований Фурье в частотной области, то умножение на функцию w(nT) приводит к искажению частотной характе­ ристики. Откорректировать частотную характеристику можно, используя не прямоугольное окно (которое соответствует простому ограничению импульсной характеристики во времени), а функцию иного вида, которая в свертке дает результат, позволяющий сгладить частотную характеристику.

Таким образом, последовательность выбора ЦФ будет следующей.

1. Задана требуемая частотная характеристика, которую должен иметь ЦФ. Для заданной частотной характеристики находится обратное преоб­ разование Фурье.

2. Полученная временная характеристика смещается в область положи­ тельных значений аргумента и ограничивается таким образом, чтобы она

не заходила в отрицательную область. Полученная функция дискретизи­ руется - определяется импульсная характеристика ЦФ.

Выбранной импульсной характеристике соответствует своя частотная характеристика, в той или иной степени отличающаяся от требуемой.

3. Для корректировки частотной характеристики фильтра используется функция окна. Получают откорректированную импульсную характерис­ тику цифрового КИХ фильтра.

Сформированной таким образом импульсной характеристике соответ­ ствует сглаженная частотная характеристика ЦФ.

Одним из наиболее распространенных временных окон является окно Хемминга.

Окно Хемминга

Опри п < 0, п > N -1

Вкачестве примера рассмотрим фильтр нижних частот (ФНЧ) с частот­ ной характеристикой, соответствующей идеальной.

Импульсная характеристика, определяемая как обратное преобразова­ ние Фурье заданной частотной характеристики со смещением во времени, имеет вид

h(î) = (ù/ к s\x\c(ûcT(n-nJ, 0 <t <t0,

где (ûc- полоса пропускания заданной частотной характеристики. Графики импульсных характеристик фильтра, полученные с использо­

ванием прямоугольного окна и окна Хемминга показаны на рис. 5.9 (сле­ ва - для прямоугольного окна, справа - для окна Хемминга).

Графики АЧХ фильтров, полученные при различных объемах выборки, представлены на рис.*5.10 и 5.11 (tQ-NT). На рис 5.10 при использовании прямоугольного окна, на рис. 5.11 - окна Хемминга.

Анализ АЧХ фильтров нижних частот, полученных с использованием описанного метода, и АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева (п.5.1) по­ зволяет дать сравнительную оценку рассмотренных подходов к синтезу ЦФ нижних частот.

Описанный метод в общем случае позволяет получить только нерекур­ сивную схему КИХ фильтра. Переход же от нерекурсивной схемы ЦФ к рекурсивной не всегда прост и возможен. Для перехода к рекурсивной схе­ ме ЦФ необходимо, чтобы z-преобразование импульсной характеристики ЦФ давало системную функцию в виде дробно-рационального выражения

Рис.5.11

относительно z'1 Такой результат получается только применительно к не­ которым видам импульсных характеристик. Приведем примеры таких им­ пульсных функций.

1.Импульсной характеристике (рис. 5.12)

2. Импульсной характеристике (рис.5.15, аТ=0,3)

Н(пТ) =е-апТ

соответствует системная функция

\ - e anLTz - L

График АЧХ фильтра изображен на рис.5.16.