книги / Цифровые сигналы и фильтры

При численном расчете формула для получения оценки спектральной плотности мощности случайного процесса будет иметь вид

л=0

Найденная оценка спектра случайного процесса (его ширины) позволя­ ет выбрать полосу пропускания фильтра. От выбора полосы пропускания фильтра зависит возможность выделения, помимо постоянной составляю­ щей, составляющей, имеющей колебательный характер (рис. 8.12, верх­ ний график; нижний график - случайная составляющая).

Таким образом, фильтрация с правильно выбранной полосой пропуска­ ния фильтра позволяет выявить периодическую составляющую (в том числе и такую, которую априори обнаружить в исходном процессе практически невозможно).

Часто случайная составляющая процесса имеет нормальное распреде­ ление - случайный процесс является гауссовским. В этом случае для полу­ чения корреляционной функции можно использовать несколько иной ал­ горитм расчета. Этот алгоритм связан с оценкой вероятности несовпаде­ ния (совпадения) знаков случайного процесса в моменты времени, разне­ сенные во времени. Определение этой вероятности достаточно просто обес­ печивается программно при дискретизации случайного процесса.

Вероятность несовпадения знаков стационарного центрированного слу­ чайного процесса определяется выражением

Оо о -

где^Ос,, х2) - двумерная ПРВ, описывающая случайный процесс в момен­ ты времени t и /+т.

О0 0

= 2 J f x(x)dx- 2 J J f 2(xx,x2)dxxdx2 = 1- 2Ф2(0,0),

где Ф2(х,х) - двумерная функция распределения вероятностей гауссовс­

кого процесса.

Из (8.18) можно получить [19]

где г(т) - нормированная корреляционная функция гауссовского процес­

са.

Вероятность совпадения знаков значений случайного процесса в момен­ ты времени, разнесенные на интервал т, равна

Рс = 1 - Рнс = l - —arccosr(r)

к

Как следует из (8.19) и (8.20), вероятность несовпадения (совпадения) знаков функционально связана с нормированной корреляционной функци­ ей гауссовского процесса. Таким образом, определяя эту вероятность, мож­ но найти корреляционную функцию и спектр гауссовского процесса. В ряде случаев программная реализация анализатора совпадения полярностей слу­ чайного процесса оказывается проще, чем множительного коррелятора. В первую очередь это касается цифровой реализации коррелятора.

8.4. Описание т р е н д а

Задача выделения тренда временной последовательности статистичес­ ких данных, как правило, напрямую связана с решением сопутствующих задач: аналитического описания и экстраполяции функции, описывающей тренд. Решение этих задач позволяет проводить анализ и прогнозирование развития исследуемого процесса, например, экономического, имеет важ­ ное практическое значение. Исходя из этого положения раздел, посвящен­ ный сглаживающей аппроксимации, целесообразно дополнить материалом по описанию и экстраполяции функции, описывающей тренд.

Описание тренда целесообразно проводить с использованием хорошо известных функций. Это классический метод аппроксимации - замена од­ ной функции другой, близкой по значениям исходной на заданном интер­ вале времени. За пределами заданного интервала функция, описывающая тренд, дает его экстраполяцию.

В качестве аппроксимирующей выбирают функцию известного вида, достаточно простую и удобную при анализе. Однако, пользуясь таким под­ ходом, для каждого случая необходимо подбирать свою аппроксимирую­ щую функцию. Более универсальным является использование ортогональ­ ных систем функций.

Одним из видов аппроксимирующей функции может быть выбран мно­ гочлен на основе заданной системы базисных функций {pn(t)}

N

(8.21)

к=0

где сп - постоянные коэффициенты.

Такое представление особенно удобно, если система функций {рп(0} яв­ ляется ортогональной. Система функций называется ортогональной с ве­ сом w(t) на интервале [/, / ], если выполняется следующее равенство:

где ||p j - норма функции/?//;.

При ||а | = 1 система функций называется ортонормированной.

При заданной системе базисных функций {рп(0} аппроксимирующая функция cp(t) определяется только коэффициентами сп.

Коэффициенты ряда (8.21) с учетом (8.22) описываются выражением

Ы 1

Для ортогональной системы базисных функций такой выбор коэффициен­ тов разложения является оптимальным: ограничение в разложении функции (8.21) первыми N членами дает наименьшую среднеквадратичную ошибку

(8.24)

Ортогональные системы функций используются в различных приложе­ ниях. Классические ортогональные системы функций: многочлены Лежан­ дра, Чебышева, Лагерра, Эрмита и др. [19]

В качестве примера рассмотрим аппроксимацию функции с использо­ ванием многочленов Лагерра.

Пример

На рис.8.13 изображен отрезок реализации случайного процесса и вы­ деленный тренд. Аппроксимацию тренда процесса проведем с использо­ ванием многочленов Лагерра

at

При t —>оо многочлены LJt) расходятся. Поэтому при разложении сиг­ налов обычно используют функции Лагерра

Условие ортогональности функций Лагерра записывается в виде:

Для ортогональной системы функций выполняется следующее рекурентное соотношение

ал-*("+1) = « (я)л-*-, - Я яа (я)п.* - Я А - * (0 -

а0(л+|)= - ( я лао(','1) + Я л (п))Д =«,

где А„ = а | ^ ), - а Л " + ,),

X X « v л+£

функцией w(t) и первыми двумя многочленами, наиболее удобно их выб­ рать из условия: p0(t)= 1 и p t(t) = /.

В качестве примера ортогональной системы функций, полученной на основе степенных многочленов, рассмотрим систему, синтезируемую опи­ санным способом на основе весовой функции (рис.8.14)

(л +1)(л + 2)(л +3)

Базисные функции выбранной ортонормированной системы записыва­ ются в виде

p0(t) =1,225,

p,(t)=3,873t,

p2(t) =-0,899+8,987t2,

p3(t) =-5,721t+20,02313,

p4(t) =8531-20,63 lt2+42,347t4,

p5(t) =7,481t-63,280t3+89,033t5,

p6(t) =-0,836+35,617tJ- 171,815^+183,374t6.

Графики базисных функций приведены на рис.8.15.

В приложении 3 приведены некоторые симметричные весовые функ­ ции и соответствующие множители, формирующие ортогональные систе­ мы функций, которые могут быть использованы при описании тренда и его экстраполяции.

Для ортогональных систем функций, построенных на основе степен­ ных многочленов, разработана библиотека базисных функций и програм­ ма расчета аппроксимирующих функций [22]. В качестве примеров апп­ роксимирующих функций, описывающих тренды случайных процессов, на рис.8.16 и 8.17 приведены их графики. Программное обеспечение дела­ ет ортогональные функции наиболее удобными при описании выделяемо­ го тренда.

Ранее степенные многочлены использовались при интерполяции функ­ ции - на их основе получены интерполяционные многочлены Лагранжа. Однако отличие интерполирующей функции от аппроксимирующей, по­ лученной также на основе степенных многочленов, является существен­ ным и заключается в следующем. Интерполирующая функция проходит через все значения исходной дискретной функции в узлах интерполяции. При формировании аппроксимирующей функции, хоть и происходит при­ вязка ее к исходной (учитываются значения исходной функции, соответ­ ствующие выбранным значениям аргумента), тем не менее, она не так же­ стко привязана к заданным значениям исходной функции: в общем случае не совпадает с ними. (Аппроксимирующая функция близка к исходной, но не обязательно включает ее значения). Вследствие указанных особеннос­ тей степенной многочлен, или многочлен Лагранжа, в интервале между дискретными значениями интерполируемой функции может давать “рас­ качку” и, следовательно, недопустимо большие ошибки. Особенно они будут велики при использовании многочленов Лагранжа больших поряд­ ков и при экстраполяции исходной функции. Ортогональные системы фун­ кций, используемые при формировании аппроксимирующей функции, ли­ шены отмеченного недостатка. Они могут обеспечивать и достаточно точ­ но экстраполяцию исходной функции (точность будет зависеть от задан­ ного интервала экстраполяции).

9. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи - распространен­ ная задача, связанная с проектированием систем различного назначения. Классический метод решения такой задачи построен на составлении диф­ ференциальных уравнений, описывающих прохождение сигнала через цепь в соответствии с законами Кирхгоффа для заданной схемы цепи, и реше­ нии их. Получающаяся система уравнений может быть сведена к неодно­ родному линейному дифференциальному уравнению У-го порядка с по­ стоянными коэффициентами.

Аналитическое решение дифференциального уравнения, как правило, связано с трудностями, не всегда преодолимыми, а получаемое расчетное выражение громоздко. Вследствие этого чаще всего такие уравнения ре­ шаются численными методами [11]. Упрощение их решения возможно при использовании алгоритмов ЦФ, которые имеют программное обеспечение. (Более точно: ЦФ и есть программа расчета прохождения сигнала через линейную цепь).

Поскольку уравнения, описывающие прохождение сигнала через линей­ ную цепь, являются частным случаем линейных дифференциальных урав­ нений с постоянными коэффициентами, целесообразно сначала рассмот­ реть задачу решения дифференциальных уравнений с использованием ал­ горитмов ЦФ в общей постановке, а затем уже перейти к практическим приложениям ее решений.

9.1. Реш ение линейны х диф ф еренциальны х уравнений с использованием а л го р и тм о в ЦФ

Выражение для неоднородного линейного дифференциального уравне­ ния с постоянными коэффициентами N-го порядка записывается в виде

d N4 N)(t) + dNy 2N-l\ t ) + ... + d]u2w (t) + d0u1(t) =

где u,(t), u2(t) - сигналы на входе и выходе цепи.

Система, описываемая уравнением (9.1), будет обладать устойчивостью при условии, что корни соответствующего характеристического уравне­ ния являются либо отрицательными действительными величинами, либо комплексными с отрицательными действительными частями. Это условие устойчивости можно сформулировать в виде неравенств.