книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfфаз сигнала по частоте. Амплитудный спектр является четной функцией частоты, фазовый - нечетной.
Другим интегральным преобразованием, широко используемым при анализе сигналов, является преобразование Лапласа
S{p) = \ s { t ) e p'dt, |
(1.4) |
О |
|
где р = <т + ico - комплексная величина, такая, что интеграл (1.4) сходится. Преобразование Лапласа в ряде случаев расширяет область анализа сиг налов по сравнению с преобразованием Фурье (условия его существова ния являются менее жесткими), чаще всего используется при анализе сиг
налов в линейных цепях.
Переход от изображения сигнала S(p) к оригиналу s(t) осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа
4 |
и “Г#Ш |
|
|
s(0 = — |
f |
S (p )ep'dp. |
(1.5) |
2ni |
J |
|
|
При сг = 0 |
выражение для преобразования Лапласа (1.4) переходит в |
||
интеграл Фурье для функции s(t), равной нулю при t < 0.
Свойства сигналов в частотной области имеют очевидную физическую основу, что определяет широкое применение частотного анализа при ис следовании аналоговых сигналов.
Анализ в частотной области и в области параметра р является основной составной частью исследований и дискретных сигналов.
Важной характеристикой сигналов является корреляционная функция. Корреляционная функция непериодического сигнала определяется выра жением
R(T)= | s{t)s{t + r )d t , |
(1.6) |
где т - смещение во времени.
Для действительного сигнала корреляционная функция является дей ствительной четной функцией
Выражение (1.6) имеет смысл только для сигналов, имеющих ограни ченную энергию, для которых выполняются неравенства:
J s*(t)dt < °°, J s\(t)dt <
При т = О
я ,2(0 )= J * ,( 0 ^ ( 0 *
определяет взаимную энергию сигналов.
В качестве примера рассмотрим экспоненциальный импульс (рис. 1.2).
s(t) = e 'at,t> 0 .
При т > О
Л(т) = J s(t)s(t -т )dt = J e ° ‘e-°(,-x)dt = j~ e ~ at
Автокорреляционная функция непериодического сигнала s(t) связана со
спектральной плотностью энергии W (со) преобразованием Фурье |
|
|
R(r) = ± |
] W{(o)ei<rd(û = — J \S(co)\ eimda>, |
(1.7) |
W(co) = J |
R(r)e-imdt |
(1.8) |
Аналогично может быть определена и взаимная корреляционная функ ция.
Учитывая четность корреляционной функции и спектральной плотнос ти энергии, выражения (1.7) и (1.8) можно записать в виде.
R(r) =- j w |
(со) cos cordсо, W (со) = 2J R(r) cos cordr |
( 1.9) |
n о |
о |
|
Для сигнала s(t) = e~at, t> 0 , получим
S(a>) = — V .
a+ w)
При т > 0 из (1.9) найдем
-ах
что совпадает с ранее полученным решением. Детальный анализ аналоговых сигналов дан в [19].
1.2. Д и ск р е тн ы е и циф ровы е сигналы
Система цифровой обработки сигналов в общем виде представлена на рис. 1.2. Сигналы, несущие информацию, преобразуются к виду, приемле мому для обработки в компьютере (АЦП), поступают на его вход, в компь ютере (К) происходит преобразование сигналов в соответствии с заданны ми алгоритмами, что обеспечивается программно. На выходе может выде ляться аналоговый сигнал (ЦАП).
Таким образом, на входе системы обработки непрерывные сигналы дис кретизируются во времени и квантуются по уровню (рис. 1.4). Такие сиг налы, представленные цифровыми кодами, называются цифровыми.
При квантовании по уровню значение сигнала округляется до ближай шего дискретного значения. Ошибка, сопровождающая квантование, яв ляется случайной величиной, не превышающей половину шага квантова ния. Последовательность ошибок при каждом шаге дискретизации анало гового сигнала во времени рассматривается как случайный дискретный процесс - случайная последовательность.
Вследствие этого обычно дискретный сигнал представляют в виде сум мы квантованного сигнала и шума квантования
s(nT) = sJnT) + %(пТ),
где s (пТ) - квантованное значение сигнала в заданный момент времени, Ç(nT) - ошибка квантования; а анализ цифровых сигналов сводится к ана лизу дискретных сигналов, значения которых соответствуют значениям исходного непрерывного сигнала.
Ошибка при квантовании Ç(пТ) как случайная величина характеризует ся плотностью распределения вероятностей (функцией распределения) и моментными характеристиками распределения, из которых чаще всего используется дисперсия или среднеквадратическое отклонение. Можно считать, что величина Ç(nT) имеет равномерное распределение на интер вале, равном интервалу квантования, ее плотность распределения вероят ностей имеет вид
f(x) = ИА.
где Д - интервал квантования.
Дисперсия при равномерном распределении случайной величины опре деляется выражением
D = А2/12.
Как следует из записанных соотношений, ошибка зависит от разрядно сти компьютера. При разрядности компьютера, обеспечиваемой на прак тике, ошибку расчета, возникающую вследствие квантования сигнала по уровню, как правило, можно не учитывать.
Таким образом, при рассмотрении цифровых сигналов и их анализе цифровые сигналы могут заменяться дискретными, а ошибки при такой замене представляются как шум. Цифровой сигнал в процессе анализа рас сматривается как дискретный, поэтому понятия “цифровой” и “дискрет ный” в дальнейшем используются как идентичные.
В разделе излагается: подход к дискретизации аналоговых сигналов на входе компьютера, определяются основные характеристики дискретных
сигналов и методы их анализа. Проводимый анализ позволяет прежде все го обосновать выбор значения интервала дискретизации сигнала и выбор полосы пропускания цепи, в которой происходит обработка сигнала.
1.3. С п е к т р д и ск р е тн о го сигнала. И н те р в а л д и скрети зац и и
При дискретизации непрерывный сигнал заменяется совокупностью его значений, взятых в заданные моменты времени - последовательностью коротких импульсов. Как правило, интервал между выбранными момента ми времени - интервал дискретизации берется постоянным. Это условие предполагается и в дальнейшем. Примеры простейших дискретных сигна лов приведены в табл. I.I.
Выборка из непрерывного сигнала осуществляется с помощью строби рующего сигнала, представляющего последовательность импульсов малой длительности, в пределе - описываемых импульсной функцией 8(t).
Получающийся дискретный сигнал может быть записан в виде
sg(t) = s ( t ) ^ ô { t - n T ) = ^s(n T)ô(t-nT ), |
(1.10) |
где s(t) - непрерывный сигнал; Т - период дискретизации. Стробирующая последовательность импульсов при малой длительнос
ти импульсов описывается последовательностью 5-функций
g ( t ) = ' £ S ( t - n T ) , |
|
|
|
|
( 1.11) |
|
|
|
|
|
|
|
9 W l |
|
|
|
|
оо |
оо |
оо |
оо |
оо |
оо ОО |
t\ш |
tun |
j m |
jw |
jw |
| V |
-Z T |
- т |
с* |
T |
2Т |
t |
|
|
|
a. |
|
|
|
G(cd) |
|
|
|
|
оооо
I
Т
ОО |
ОО |
ОО |
оо |
1 |
А |
' i |
А |
|
W /77 |
(2sЦТ) |
j (27t/T) |
2ù)f -&>, |
О |
щ |
2Ш] |
й7 |
6
NN
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 1.1
Дискретные сигналы
Сигнал
2п cos— п
N
^ Н о . - х О
о(п Т -т Т ) = ^ ,П~т
V' [О, п < т
'Н Г ™ .
0(пТ -тТ) = \ 1’П~ т v ’ {0,пФт
г е с Ц п Т ) ^ 0’'
[О, п < 0, п > 1
rect[nT - mT) =
{\,n = m;m + l
[О, п < m, п > т +1
График сигнала
17С |
|
cosjfi |
|
1 |
m |
T ÏN, |
|
ofh |
Sr |
6(nT)i 1 ■
f l I I T T . .
0 TZT ПТ ПТ
6(nT-mf)\ 1
|
L . |
. T T T T . . |
||
û1 T |
тт |
ПТ |
пт |
|
m i t |
|
|
|
|
1Il 1 1 1 1 1 |
1 1 |
|
||
0 |
TU |
|
ПТ |
nT |
rec(nTk |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
о |
_1 1 1_1 1 1 1 |
^ |
||
T |
mT |
nr |
nr |
|
recfnrk |
|
|
|
|
'1LL_i_i_i_» < ^ |
||||
0 |
|
|
пт |
пт |
гефТ-тû |
|
|
|
|
|
'■ |
f ï |
|
^ |
|
—1—1—_1_1 1 » |
|||
|
0 |
mT(m4T nT |
nT |
|
называется выборочной функцией (рис. 1.5,я).
Ее как периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье
г ( 0 = Х с / |
“ ''- |
|
2 |
1 |
TI2 |
û),=— ,Сп = - |
J g{t)ein^ d t =- . |
|
1 |
1 |
-772 |
Спектральная плотность выборочной функции определяется преобра зованием Фурье (1.12)
G{(o) = Щг X |
~ п(°\) |
(1.13) |
*Л = —оо
Как следует из (1.13), периодической последовательности импульсных функций на временной оси (рис. 1.5,а) соответствует периодическая пос ледовательность импульсных функций на оси частот (рис. 1.5,6).
Используя свойства преобразования Фурье, из (1.10) получим спектраль ную плотность дискретного сигнала s (t) (рис. 1.6,а). Она определяется с учетом (1.10) как свертка спектральных плотностей сигналов s(t) и g(t)) под знаком суммы
sg(t) = s ( t ) ^ ô ( t - n T ) ^ ' £ S ( c o - n ^ ) = Sg(a>). |
(1.14) |
Как показывает (1.14), спектр дискретного сигнала - периодический, бесконечный, получается периодическим повторением спектра исходного
сигнала (с коэффициентом 7/7) на оси частот с интервалом а>{ = 2к / Т
(рис. 1.6,6).
При описании дискретного сигнала стробирующий сигнал рассматри вался как последовательность бесконечно узких импульсов. На практике же этот сигнал представляет последовательность импульсов конечной дли тельности. Периодическая последовательность видеоимпульсов, получа ющаяся при формировании выборки из непрерывного сигнала может быть описана выражением (рис. 1.7,а)
sg(t) = s(0 u (t\ |
(1.15) |
а
Рассматривая стробирующий сигнал как последовательность прямоу гольных импульсов с амплитудой, равной единице, и представляя ее в виде ряда Фурье
т |
|
па\т |
( М б ) |
1 + 2]Г sm c — — cos позл |
|||
и(0 = Т |
Л=1 |
2 |
|
2 п
где C0j = , т, Г - частота, длительность и период импульсов последова
тельности, дискретный сигнал (1.15) запишем в виде
(1.17)
л=1
Спектральная плотность сигнала s(t) найдется как преобразование Фу рье (1.17)
где S((ù) - спектральная плотность сигнала s(t).
Одной из важных задач, решаемых при дискретизации сигналов, явля ется выбор интервала дискретизации или частоты дискретизации. Увели чение интервала может привести к безвозвратной потере информации о сигнале. С другой стороны, при уменьшении интервала дискретизации теряются преимущества, связанные с дискретизацией, увеличивается мас сив обрабатываемых данных. Представление о максимальна допустимом интервале дискретизации можно получить из анализа спектра дискретно-, го сигнала (рис. 1.6,6 и 1.7,6).
Непрерывный сигнал можно восстановить, пропуская дискретный сиг нал через фильтр нижних частот. Максимальная частота-полосы пропус кания фильтра должна превышать максимальную частоту в низкочастот ной части спектра сигнала. В то же время соседняя составляющая спектра не должна попадать в полосу пропускания фильтра. Таким образом, ин
тервал дискретизации должен выбираться из условия: |
|
|
й), >2о)т или |
Т < 1 / 2 / т = л/с о т, |
(1.19) |
где (ùm= 2nfm- |
максимальная частота в спектре сигнала, что становится |
|
очевидным при анализе рис. 1.6,6 и 1.7,6.
Интервал дискретизации сигнала, определяемый равенством в (1.19.), называется интервалом Найквиста или Котельникова.
Возможна дискретизация и спектра сигнала. По аналогии с ( 1.19) усло
вие дискретизации на оси частот может быть записано в виде |
|
& < 2 л /Т с, |
( 1.20) |
где Тс - длительность сигнала.
При выполнении условия (1.20) восстановление спектра сигнала по его дискретным значениям, можно считать, производится без потерь.
1.4. Д и ск р е тн о е преобразование Фурье, его с в о й с т в а
Спектральная плотность непрерывного сигнала определяется его пре образованием Фурье. Обратное преобразование позволяет найти времен ную функцию сигнала по его спектральной плотности. Для дискретного сигнала переход от временного описания сигнала к спектру и обратно бо лее удобно производить, используя дискретное преобразование Фурье, прямое и обратное.
Выражение для спектральной плотности дискретного сигнала, задан ного на интервале [0,Г], при достаточно малом значении интервала диск
ретизации Т можем записать в виде |
|
|
S(o>) = ] s(t)e~ia,dt = Т ^ з{ к Т )е ~ ‘шкТ |
(1.21) |
|
- о |
к=0 |
|
где N - число интервалов дискретизации, N = Т/Т; Г - длительность сиг нала; Т - интервал дискретизации.
Если спектральная плотность сигнала S((ù) определяется для выбороч
ных значений частоты со = п£1, то (1.21) примет вид
ЛМ |
|
S(nQ.) = T ^ s ( k T ) e -inSlkT |
( 1.22) |
к=0 |
|
Выражение (1.22) представляет дискретное преобразование Фурье (ДПФ).
Аналогично для обратного ДПФ можно записать |
|
||
s(kT) = ^ S ( r t Q |
) e ikTna = l X |
5 ( « Q yikTnCl |
(1.23) |
Z7r *=0 |
*с к=0 |
|
|
В записанных выражениях N = Т/Т - число интервалов дискретизации. |
|||
Из ( 1.19) и ( 1.20) получим |
|
|
|
та=— . |
|
|
(1.24) |
N |
|
|
|
Формулы ДПФ с учетом (1.24) обычно записываются в виде: |
|
||
ÿ= J |
1 С У |
ink— |
(1.25) |
А=0 |
-fV*к=г0 |
|
|
|
|
||