книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdf5. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Синтез цифрового фильтра (ЦФ) может производиться исходя из его соответствия аналоговому фильтру-прототипу или прямым методом - обес печением заданной частотной характеристики непосредственно.
Содержание первого из названных методов очевидно (по крайней мере по постановке задачи). Аналоговые фильтры к настоящему времени дос таточно хорошо изучены, накоплен определенный опыт их проектирова ния, имеются таблицы, содержащие различные варианты схем цепей, опи саны их характеристики [30]. Переход от аналоговых цепей к ЦФ можно было бы проводить чисто формально, основываясь только на приемах обеспечения соответствия требуемых характеристик. Однако при этом не всегда удается использовать особенности и преимущества цифровой техники, что реализуется только в рамках прямого метода синтеза. Ука занные обстоятельства обусловили существование одновременно обоих методов. Можно только утверждать, что по мере накопления опыта про ектирования ЦФ приоритет при их проектировании будет смещаться в сторону второго из названных подходов - прямого синтеза. С учетом от меченного проводится рассмотрение методов синтеза ЦФ в разделе и в дальнейшем.
В разделе дается обобщение известных методов синтеза ЦФ, соответ ствующих аналоговым цепям-прототипам; рассматривается прямой метод синтеза, обеспечивающего заданную частотную характеристику. В разд. 6 излагается метод синтеза различных видов ЦФ, основанный на учете об щих закономерностей получения частотных характеристик фильтров, на званный эвристическим.
5.7. С и н т е з циф рового ф и л ь тр а , с о о т в е т с т в у ю щ е г о
аналоговой цепи
Аналоговая цепь может быть задана дифференциальным уравнением или своими характеристиками: импульсной, частотной или передаточ ной функцией. Характеристики цепи взаимосвязаны. Тем не менее, рас сматривая подходы к синтезу ЦФ, целесообразно разделить их в зависи мости от того, какая из характеристик цепи взята в качестве исходной. С учетом этого и рассматривается синтез ЦФ, соответствующего аналого вой цепи.
5.1.1. Аналоговая цепь описывается дифференциальным уравнением
d A N)(0 + dNy 2N~l)(0 + - + |
(О + <*0«2 (О = |
|
= cw м,(А° ( 0 + с*_,и 1(А/-1) (О + ...clMl(1) (О + с0щ (О |
(5.1) |
|
где A/<7V.
Выбор ЦФ, соответствующего аналоговой цепи, основан на замене диф ференциального уравнения разностным.
Первая производная по времени оценивается конечной разностью
du(t) ) |
_ u{nT)-u(nT - Т ) |
(52) |
V dt U T |
T |
|
где T - интервал дискретизации.
С учетом (5.2) от дифференциального уравнения (5.1) можно перейти к разностному того же порядка
u2(r,T)-biul ( " T - T ) - . . . - b Nu2(nT -N T) =
= а0м,(пТ) + а,м, (пТ - Т ) +...+амщ(пТМТ).
Как ранее было отмечено (Раздел 4), уравнение (5.3) задает алгоритм ЦФ:
м2 (пТ) = а0щ (пТ) + а,м, (пТ - Т ) + ... + амщ(пТ - МТ) +
+6,M2 (иГ - Г) +... + bNu2(пТ - NT). |
(5-4) |
Таким образом, записан алгоритм ЦФ, соответствующего исходной ана логовой цепи. (Более детально переход от дифференциального уравнения к разностному описан в разделе 9.)
Пример
Дифференциальное уравнение
Uj « du2 .. -- ,.
“ 7Т- + 3 — —+ 3w2(/) = Kux\t) , где К - постоянный коэффициент, at at
описывает фильтр Бесселя.
Переходя от дифференциального к разностному уравнению, с учетом (5.2) получим
(1 + ЗГ + ЪТг)и2(пТ ) - (2 + ЪТ)и2 (пТ - Т ) + и2( п Т - 2Т) =
= КТ2и](пТ).
Рис .5.1
Н(2 )= ____________ ________________
к z '1 - (2 + 37 > - ‘ + (1 + ЪТ + ЗГ2) '
Системная функция определяет схему ЦФ, она изображена на рис. 5.1, где обозначено:
a0 =KV/1+3T+3V, bl =2+ЗТ/1+ЗТ+ЗТ, Ь2 =-1/1+ЗТ+ЗГ.
5.1.2. Аналоговая цепь описывается импульсной характеристикой
Фильтр задается импульсной характеристикой цепи-прототипа. По за данной импульсной характеристике определяется дискретная характерис тика ЦФ. Она позволяет получить нерекурсивную схему фильтра.
Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ дает системную фун кцию, которая соответствует схеме рекурсивного фильтра.
Изложенный метод иллюстрируют примеры.
Примеры
1. Импульсная характеристика /?С-цепи имеет вид
h(t) = - e ~
т
где т = RC - постоянная времени цепи.
Такая цепь обеспечивает фильтрацию гармоник низкой частоты (рис. 5.2,а).
1Vl
\Н(со)\=
Соответствующая импульсная характеристика ЦФ:
_пТ
h(nT) = е т
а)
Системная функция такого ЦФ описывается выражением1
1 —е z
Полученная системная функция определяет алгоритм соответствующе го рекурсивного фильтра. Параметры фильтра:
а0 = 1, Ь, = е т/\
Графики характеристик ЦФ изображены на рис. 5.2, б) импульсной ха рактеристики, в) частотной.
2. Колебательному контуру (аналоговый вариант) с импульсной харак теристикой
Рис. 5.3
h(t) = e ш cosco0 1
соответствует импульсная характеристика ЦФ
h(nT) = e~anT cosсо0пТ
Нерекурсивная схема такого фильтра возможна только при заметном затухании импульсной характеристики во времени. Поэтому часто реали зация такого ЦФ возможна только как рекурсивный вариант.
Чтобы получить рекурсивную схему фильтра, от импульсной характе ристики ЦФ перейдем к его системной функции (Разд. 4)
Др + (*\Z
tf(z ) =
1- b z 1- b z 2
Схема рекурсивного фильтра, соответствующего полученной систем ной функции, изображена на рис. 5.3 (каноническая схема) с параметрами:
a0 = 1; ах= -е~аТcos со0Т ; bx= 2е~аТcos со0Т ; Ь2 = -е~2аТ
5.1.3. Аналоговая цепь описывается передаточной функцией
Передаточная функция аналоговой цепи в самом общем случае имеет вид
Я (р)= .9° +^ Р + " £“ Р “ , - |
(5-5) |
d 0 + d \ P + ... + d Np |
|
Если корни знаменателя не кратные, действительные, то (5.5) может быть представлено в виде суммы простых дробей:
L |
як |
(5.6) |
|
|
|||
*=i Р ~ Рк |
|||
|
|||
где р к - полюсы функции Н (р ) (корни знаменателя). |
|
||
Имея представление передаточной функции в виде (5.6), получим им пульсную характеристику аналоговой цепи (обратное преобразование Лап ласа)
Л(0 = Х?*еА' |
(5-7) |
* = 1 |
|
Ей соответствует импульсная характеристика ЦФ |
|
К«Т) = |
(5.8) |
*=1 |
|
Она определяет нерекурсивную схему фильтра с параллельным вклю чением звеньев.
Системная функция ЦФ определяется z-преобразованием импульсной характеристики, в рассматриваемом случае:
H(z) =f jh(nT)z-n = Ÿ Î £ q ke*aTz
л=0 |
л=0 к = \ |
(5.9) |
|
L |
|
|
Чк |
|
|
= Х |
|
к =1 л=0 |
|
|
? Л - е |
|
Имея (5.9), можно построить схему соответствующего рекурсивного фильтра. Полученный фильтр, как это следует из (5.9), представляет па раллельно включенные рекурсивные фильтры первого порядка. Преобра зуя (5.9) - приводя дробь к единому знаменателю, получим выражение для системной функции в виде одной рациональной дроби. По ней можно по строить соответствующую схему рекурсивного фильтра более высокого порядка.
Пример
Аналоговая цепь имеет передаточную функцию вида
2Р
Щ р ) = -
(.P + 1)(р + 2)
Ее можно представить в виде суммы простых дробей
Н (р ) = — |
+ — — . |
р + 1 |
р + 2 |
-2
tf(z ) = |
+ 1 |
„-2Г |
-I |
l - e ' V 1 |
1 — |
в |
Z |
Преобразуя выражение для H(z), получим
2 + 2 ( е 1Т - 2 e T) z 'x
H (z) = -
l - ( e " 4 ^ ) z " 4 e -
Записанное выражение определяет схему рекурсивного фильтра второ го порядка (рис. 5.3) с параметрами:
aQ=2, at =2(e'2T-2e T), bt = е'т+е'2т, Ь2=- е'зт.
5.1.4. Метод билинейного преобразования Изложенные подходы к синтезу ЦФ предполагают при выборе рекур
сивного фильтра предварительное определение импульсной характерис тики ЦФ, а по ней - системной функции (метод инвариантной импульс ной характеристики). Для исключения этой промежуточной операции не обходимо найти непосредственное отображение функции параметра р (пе редаточной функции) в области z-параметра. Однако переход от (5.5) к системной функции ЦФ должен быть таким, чтобы выражение для сис темной функции было представлено в виде рациональной дроби относи тельно z или z'1. Непосредственная подстановка в (5.5) выражения для параметра р, связывающего его с z, такой результат не дает. В этом слу чае полезным оказывается преобразование с учетом следующих соотно шений между z и р:
z=ePT, p=J/Tlnz. |
|
|
(5.10) |
||
Исходя из (5.10) выражение для р можно представить в виде ряда |
|||||
2 |
1 |
з |
1 5 |
ч |
(5.11) |
/? = —(х + - х |
|
+ - ;с |
+ ...) |
||
Т |
3 |
|
5 |
|
|
z - 1 где х = ------ .
z + 1
В разложении (5.11) обычно ограничиваются только первым слагаемым; таким образом, выражение для р запишется в виде
2 z - 1
Р = T z + 1 (5.12)
Примеры
1.Цепь первого порядка.
Передаточная функция аналоговой цепи первого порядка описывается выражением
Р -Р х
Учитывая (5.12), перейдем от записанной передаточной функции к сис темной функции ЦФ
|
|
|
ЧТ |
Щг) = |
Я |
дТ / 2(1+ z~') |
2 ~ PlT (1 + z-') |
|
1 - 2 + Р ? _ - i |
||
|
2 1 - z - ' |
(1 - z - ' ) - PlT /2 (l + z-') |
|
|
T l + z-' ~Р\ |
|
2 - Рх Т |
Полученная системная функция определяет рекурсивную схему ЦФ с параметрами:
«о а, = |
Ь, = |
2 - р , Т |
2 - р , Т |
Схема ЦФ имеет такой же вид, как представленная на рис. 5.3 (Ь2=0). АЧХ цифрового фильтра приведена на рис. 5.4,6, АЧХ соответствую
щей аналоговой цепи - на рис. 5.4,а.
Если передаточная функция аналоговой цепи представлена в виде сум мы простых дробей
я ы = х - |
Я: |
(5.13) |
7=i Р ~Р к |
|
|
то с использованием (5.12) получим системную функцию в виде |
|
|
т
|
|
0 + г - ') |
|
2 - P J |
|
|
1 - 2 |
(5.14) |
*=i |
+ РкТ -1 |
|
|
2 |
~ Р кТ |
Выражение (5.14) определяет ЦФ, выполненный по схеме параллельно го включения ячеек, имеющих рекурсивную схему. Приведение записан ного выражения к одной дроби дает системную функцию рекурсивного фильтра более высокого порядка.
В качестве другого примера рассмотрим аналоговые фильтры нижних частот с характеристиками, аппроксимирующими идеальную характерис тику ФНЧ.
2. Фильтр нижних частот.
При выборе фильтра часто приходится встречаться с задачей получе ния частотной характеристики, которую не может иметь физически ре ализуемая цепь. В этом случае выбирают такую цепь, которая может быть реализована и иметь частотную характеристику, аппроксимирую щую идеальную, заданную как требование к фильтру. К таким цепям относятся, например, фильтры, наилучшим образом аппроксимирую щие характеристику идеального ФНЧ: это фильтры Баттерворта, Чебы шева, Бесселя и др.
АЧХ фильтра Баттерворта определяется из выражения |
|
,я ( ш ) |’ = 1+ (» /« .,)■ ■ • |
<5л5> |
где сои- верхняя частота среза фильтра.
Характер АЧХ фильтра иллюстрируется графиком на рис. 5.5,а.
Такой фильтр используется для получения АЧХ с плоским участком при малых значениях частоты. Когда требуется получить частотную характе ристику, которая обладает равномерно плоским участком во всей полосе пропускания, выбирают фильтр Чебышева (рис. 5.5,6).
АЧХ фильтра Чебышева определяется из выражения
1 |
(5.16) |
|я(й> )|2 |
|
\ + е Х |
{ ч ) ’ |
где е - постоянный коэффициент; ю; = йУю; Тя- многочлен Чебышева:
т0=о,
Т г * |
|
T /OJ)=2(Ù2- 1, |
(5.17) |
Т}(а>)= -3(0*40?,
г/© ;=/-«й)2+в(о'.
Выражения для передаточной функции рассматриваемых фильтров мо гут быть представлены в виде [29]:
при нечетном п
К |
(л-1)/2 |
1 |
|
(5.18) |
|
|
|||
Н (р ) = |
п*-1 ( р / щ ) - 2 r k cos<pkp/co2 + r 2 |
» |
||
/> /« 2 + W |
|
|||
при четном п |
|
|
|
|
(л-1)/2 |
|
|
|
|
Н (р ) = К П ______________ 1______________ |
|
(5.19) |
||
*=1 (Р ! <*2f |
- 2rk cos(pkp / сo2+ r \ ’ |
|
|
|
где соя- частота среза полосы пропускания фильтра, рк=гке^к- полюс пере даточной функции (второй квандрант комплексной /7-плоскости).
Для фильтра Баттерворта (рис. 5.5, а):
р к =1,К = 1, (р k = (2£+я-1)к /2л.