книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfNN
1
2
3
4
Таблица 1.2
Свойства дискретного преобразования Фурье
*(*) |
S(n) |
|
|
Si(k) + s2(k) |
Si{n ) + Si ( n ) |
s { k - m ) |
е ЛптШ5 (и ) |
Sl( k ) s 2(k) |
|
s ,( k ) ® s 2( k ) |
S \ n ) S 2{n) |
1.00:
0.80-
0.60^
0.40:
020-
0.0^
-0.6 |
-0.4 |
-0.3 |
-0.2 |
-0.1 |
0.0 |
0.1 |
02 |
0.3 |
0.4 |
0.6 |
Рис.1.8
Величина Sn является периодической функцией частоты с периодом, равным М2
(1.26)
ДПФ связывает дискретный сигнал с его дискретным спектром, явля ется удобным алгоритмом для численного расчета спектра сигнала по его временной функции и сигнала (временной функции) по его спектру.
При использовании ДПФ полезно учитывать его свойства. Они аналогич ны свойствам преобразования Фурье, основные из них приведены в табл. 1.2.
Функции ДПФ используются при численном расчете характеристик сиг нала. Отличие значений спектра, полученных расчетом преобразования Фурье и ДПФ, определяет ошибку, появляющуюся при использовании ДПФ в качестве алгоритма расчета.
Расчет на основе ДПФ часто связан с большим объемом вычислитель ных операций, что приводит к значительной затрате времени. Сократить объем вычислительных операций позволяет переход к алгоритмам быст рого преобразования Фурье (БПФ). Алгоритмы БПФ основаны на приме нении алгоритмов ДПФ и искусственном приеме сокращения числа рас четных операций. Программы расчета по алгоритмам БПФ даны в доста точно большом числе работ.
Пример расчета спектра сигнала с использованием алгоритма БПФ приве ден на рис. 1.8. На рис. изображены: исследуемый сигнал,, его дискретный спектр, полученный в результате расчета, и огибающая спектра (спектр, полу ченный с использованием ДПФ - периодический, это отражено на графике).
1.5. Z-преобразование, его с в о й с т в а
1.5.1. Прямое и обратное z-преобразование
Преобразование Лапласа, используемое при анализе непрерывных сиг налов, оказывается полезным и при анализе дискретных сигналов.
Преобразование Лапласа непрерывного сигнала имеет вид
(1.29)
о
где р - комплексная величина.
Для дискретного сигнала, представленного в виде
п=0
из (1.29) получим
W |
= 5 > (" 7> ~ pnr |
(1.31) |
Выражение (1.31) является дискретным преобразованием Лапласа. Обо
значив ерТ = z , выражение (1.31) запишем в виде
(1.32)
л=0
Записанное выражение представляет!-преобразование дискретного сиг нала s(nT).
Исходя из условия существования преобразования Лапласа, можно по лучить условие существования и z-преобразования. Преобразование су ществует, если величина \s(nT) \ возрастает медленнее степенной функции
\s(nT)\ < Mr".
Область сходимости ряда (1.32) включает всю плоскость, за исключе нием круга радиуса г. Величина г называется радиусом сходимости.
Примеры z-преобразований сигналов
1. Сигнал, описываемый экспоненциальной функцией.
s(nT) = é~mT
оо |
1 |
2. Гармонический сигнал.
S(z) =- |
1 -co s coTz 1 |
|
) = l- 2 c o s (oT z 1+z 2 |
||
|
3. Сигнал, описываемый степенной функцией
s(nT) = an
1
Расширяет число примеров табл. 1.3.
Таблица 1.3
Z-преобразования сигналов
NN |
s ( nT) |
|
|
1 |
S(nT) |
2 |
a { nT) |
3 |
a nT |
4s ir\co0nT
5c o s (û0nT
6a nTs in <oQnT
7a nT cos co0nT
S (z) = f^s(n T )z - n
|
|
|
n=0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 - г ' ' |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
- a V |
|
|
s in |
o)0Tz~{ |
1 - |
2 c o s co0Tz~1 + z ~ 2 |
||
|
( l - c o s t O o r J z ' 1 |
||
1 - 2 |
c o s a>0Tz~l + z -2 |
||
|
a |
r sin< o07 z _l |
|
1 - 2 a Tc o s (oüTz~x+ a Tz ~2 |
|||
l - a r c o s û ) 07 z _1 |
|||
l - 2 a |
T c o s t o 07 z _1 + a Tz~2 |
||
Имея z-преобразование дискретного сигнала, можно получить спектр сигнала. Для этого необходимо сделать подстановку
z = етТ |
(1.33) |
в z-преобразование сигнала. |
|
Обратное z-преобразование
Определение сигнала s(nT) по S(z) производится с помощью обратно го z-преобразования. Обратное z-преобразование получается подстанов кой е?т- z в обратное преобразование Лапласа
s(nT) = ^ - ^ S { z ) z n~xdz |
( 1.34) |
Метод вычетов
Если S(z) является действительной функцией переменного z, то (1.34) можно решить с помощью теоремы о вычетах
s(nT) = -^— \S {z)zn xdz = 'S 'res[(z -a k)S(z)zn 1], |
0.35) |
|
2ni i |
ХА |
|
где ak - простой полюс функции S(z).
Пример
Z-преобразование имеет вид:
s w = — Ц |
= — . |
1 - a z |
z - a |
Подставляя выражение для S(z) в (1.35), получим s(nT) = ( z - a)S(z)z"~l I г=0= z nI I=fl =
Для полюса порядка m:
c-s/ (z)=( ^ ! i” ;s ^ [(z- “)' / <z)]- |
(l-36> |
Пример обратного преобразования Лапласа для этого случая приведен в разд. 6.
Метод разложения на простые дроби
Если S(z) представляет дробно-рациональную функцию z или z'\ то ее разложение на простые дроби имеет вид
S(z) = — f t — r + — |
(1.37) |
1 - p 2z- |
|
где полюсы рк. различны, т.е. р к Ф р т при кФ т ,
Сигнал s(nT) получается суммированием обратных z-преобразований каждого члена (1.37).
Таким образом, получим
s(nT) = ^ b kp nt |
(138) |
*=1 |
|
|
Пример |
Z-преобразование функции описывается выражением
S(z) = a° +a'Z. . i - v
Разложение на простые дроби имеет вид
а д = \ - h z ~ |
ŒZ-i |
\ - b xz -1 |
Обратные преобразования каждого члена разложения определяются со отношениями:
|
ΠZ |
1-ÔjZ |
1 - b xz 1* |
В результате получим:
S(z)<r*aQ,n = О,
S(z) <r-> а0Ь" + axb"~',п> 0.
1.5.2. Свойства z-преобразования
Z-преобразование, являясь одной из форм преобразования Лапласа, об ладает свойствами, аналогичные свойствам этого преобразования. Исполь зование свойств z-преобразования позволяет упростить анализ дискрет ных сигналов.
Из свойств z-преобразования прежде всего отметим следующие.
1. Аддитивность.
(пТ ) + k2s2(пТ ) +... + kNsN(пТ) <-> kxSx(z) + k2S2(z) +... + kNSN(z)
где kn- постоянные коэффициенты; <-> - знак соответствия временной и
z-функции.
S](nT) <-> S ^ z l s . ip T ) о S2(z),...,sN(пТ) о SN(z) |
(1.39) |
2. Задержка во времени.
Для сигнала
s2(nT) = sх( п Т - п 0Т)
имеем
Si (z) = ^ s 1{nT)z-n = ^ s x( n T - n J ) z ^ = n=0 п=по
= ' £ s l(rnT)z-(m+"°) = St(z)z-n°,
где n - n Q- m .
Таким образом,
s ( n T - n 0T |
) < |
r |
> |
S |
( z |
) z |
(1.40) |
При п0 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
s{nT - Г) <-» S(z)z~' |
|
|
|
|
|
(1.41) |
|
Как следует из (1.41), задержке сигнала на интервал дискретизации Т соответствует умножение z-преобразования сигнала на z l С учетом этого
можем получить z-преобразование разности s(nT) — s(nT — Т)
s(nT) -s(nT -T )< r> S(z) - S(z)z~x= - —- S (z) . |
( i .42) |
NN, n/n
1
2
3
4
5
6
7
8
Z
Таблица 1.4
Свойства z-преобразования
s ( n T )
|
n=0 |
|
kxsx(nT) + k2s2(n T ) |
kxSx(z) + k2S2 (z) |
|
s(n T —mT) |
Z - 5 ( z ) |
|
s ( n T ) - s ( n T - T ) |
|
|
s(n T + T) |
z ( S ( z ) - s ( 0 ) ) |
|
a~ns (n T ) |
S ( a z ) |
|
i > ( * n |
U |
|
k=0 |
||
^ 5, (kT )s2 ( n T - k T ) |
з д а д |
|
k=0 |
||
|
||
sx(nT )s2 (nT) |
|
2 n i c
3. Свертка дискретных сигналов.
Свертка дискретных сигналов описывается выражением
^ ( k T ^ n T - k n ^ s ^ n T - k T ^ k T )
к=0 |
*=0 |
ИЛИ
^ |
S \k S 2n-k ~ ^ L S \n - k S lk |
(1.43) |
к=О |
*=0 |
|
Преобразование (1.43) дает |
|
|
S(z) = ^ s |
u z-ks2az-m= |
t ^ |
- * t s 2mz - |
= З Д З Д . |
(1.44) |
m=0 к=0 |
к=0 |
т=0 |
|
|
|
Таким образом, получим |
|
|
|
|
|
Л |
оо |
|
|
|
|
X * . (kT)s2( п Т - к Т ) = ^ ( п |
Т |
- kT)s2(кТ) ^ |
S, (z)S2(z) |
(1.45) |
|
*=0 |
Jt=0 |
|
|
|
|
Рассмотренные свойства z-преобразования и некоторые другие приве дены в табл. 1.4.
2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Одной из операций, проводимых при цифровой обработке сигналов, является восстановление непрерывного сигнала по его дискретным зна чениям. В компьютере сигнал представлен дискретными значениями, квантованными по уровню. На выходе системы цифровой обработки сиг нал, как правило, должен иметь вид непрерывного колебания, т.е. пред ставлять аналоговый вариант, или иметь изображение в виде графика - непрерывной кривой на экране монитора. Переход от дискретного сиг нала к непрерывному происходит путем фильтрации в аналоговой цепи или программно с отображением непрерывного сигнала на экране мони тора. Рассматривая цифровые сигналы и их обработку, ограничимся только восстановлением непрерывного сигнала в виде кривой на экране - полу чающегося переходом от дискретной функции к непрерывной. Фильтра ция с использованием аналоговых цепей выходит за рамки рассматрива емых тем.
Задача восстановления сигнала по его дискретным значениям в матема тическом плане сводится к отысканию функции, которая в выбранные мо менты времени принимает заданные значения, равные дискретным значе ниям сигнала, а в остальные моменты описывает сигнал с какой-то степе нью точности. Указанная операция без учета физического содержания рас сматриваемой функции представляет задачу интерполяции в общей поста новке.
Интерполяция - хорошо известная в математике операция, методам ее выполнения посвящено большое число работ, она проводится, как прави ло, с помощью различных систем функций. Исходя из этого, в разделе да ется кратко общая, классическая, постановка задачи интерполяции и при меры ее решения с использованием многочленов Лагранжа и ряда Котель никова. В последующем рассматривается интерполяция сигналов с помо щью сплайновых функций (сплайнов).
2.1. О бщ ий подход к реш ению задачи и н тер п ол яц и и
Определение непрерывного сигнала по его дискретным значениям оз начает восстановление сигнала. В математическом плане эта операция сво дится к описанию временной функции сигнала s(t), заданной своими зна чениями в заданные моменты времени, с помощью функции (p(t), прини мающей те же значения в указанные моменты времени (рис. 2.1). Функ цию cp(t) называют интерполирующей, точки, в которых заданы значения функции, узлами интерполяции.
* ft ) Ф г )
Ф«)
Фо)
1—1___I____L
0 te Ь h
Рис. 2.1
Чаще всего интерполирующую функцию задают в виде многочлена
N
(2.1)
где (pk(t) - базисные функции; ак - постоянные коэффициенты.
В качестве систем базисных функций могут выбираться различные сис темы, в том числе ортогональные.
При заданной совокупности базисных функций <рк (t) интерполирую
щая функция cp(t) определяется только коэффициентами ак . Найти коэф
фициенты можно, используя (2.1), составив систему уравнений, записан ных для заданных моментов времени (для которых известны значения сиг нала)
(2.2)
*=о
где tn- заданные моменты времени. Матрица системы уравнений имеет вид
< P o ('o M ('o ) - ^ (0
<Po('iM (0"4>w( 0
(2.3)
<Ро UN)^ i 0 ,V )• •-<PNUN)