книги / Цифровые сигналы и фильтры

Чтобы выполнить условие (3.12), продифференцируем дважды (3.4) и

Такие уравнения могут быть записаны для всех узлов интерполяции. Полученная система уравнений должна быть дополнена соотношения­ ми для производных на границах общего интервала [tff /J . Всего будет N соотношений, позволяющих однозначно определить производные в узлах интерполяции к = Таким образом, сплайн на каждом ча­ стном интервале определяется всей совокупностью значений skи крае­ выми условиями. В этом смысле такой сплайн называется глобальным. Он требует большого объема вычислений, особенно при большом зна­ чении N.

Рассмотренные кубические сплайны дефекта 1 обладают хорошими интерполяционными свойствами, позволяют снизить ошибку интерполя­ ции. Однако синтез таких функций связан с определенными трудностями и для них характерен большой объем вычислений. Поэтому при интерпо­ ляции функций (восстановлении непрерывных сигналов по их дискрет­ ным значениям) более удобными могут оказаться локальные сплайны.

3.3. Л окальны е сплайны

Как указывалось, одним из достоинств сплайновой интерполяции явля­ ется возможность решения задачи при неравномерной сетке интерполя­ ции. Однако более простыми являются стационарные сплайны - сплайны, формируемые на равномерной сетке. На их примере и рассмотрим прин­ цип построения локальных сплайнов.

Для построения локальных сплайнов могут использоваться различные подходы, в разделе дается достаточно простой, изложенный в [43].

Рассмотрим функцию s(t)yзаданную своими значениями s(tK) = sKв точ­ ках дискретизации {tk},k = 0,1,2,...,N , на интервале [t0, tN]. Выделим ин­

тервал [Тг Т2], границы которого: Тхе [/*_,,**] и Т2е [tk,tk+x] (рис. 3.2). В

окрестности точки Tt возьмем симметрично (N+1) точек дискретизации tk I, tv tk r tk+Jt..., построим многочлен L/t), проходящий через соответству­ ющие значения функции skI, skJ sk2, sk+r... и содержащий (А^+7) членов.

1Базисные Функции: м = 4 |

образом, получим совокупность многочленов на всем интервале задания функции; многочлены проходят через заданные точки, имеют определен­ ное число производных на границах выделяемых интервалов. На первом интервале [tff Tf] и последнем [Т2, tN] интерполирующая функция совпада­ ет с многочленами Lft) и L/t) соответственно.

Используя изложенный подход к синтезу локальных сплайнов и обеспе­ чивая заданное число непрерывных производных, можно получить раз­ личные виды сплайнов, описывающих заданную функцию.

Степенные сплайны

При построении сплайнов многочлен Lk (t) может описываться различ­

ными функциями, в наиболее простом случае - представляет степенной многочлен. Степень многочлена определяет “гладкость” сплайна. Так, на­ пример, для сплайна 4-ой степени гладкости

4 ( o = i > ( * - o ' /=i

s(t) = t exp(-at* )

| Интерполяция; T = 1,N = 9 |

| Интерполяция; T = 1,N = 20 |

| Интерполяция; T » 1,N s 19 |

Вприложении 1 приводятся расчетные выражения для степенных сплай­ нов 1 - 4 степеней гладкости, полученные с использованием описанного подхода.

Базисные функции локальных степенных сплайнов различной степени гладкости приведены на рис. 3.3.

Вкачестве примеров на рис. 3.4-3.7 приведены графики непрерывных сигналов, полученные по дискретным значениям, заданных с интервалом 7W , с использованием степенных локальных сплайнов различной степе­ ни гладкости. Там же для сравнения даны графики сигналов, восстанов­ ленных с использованием многочленов Лагранжа и ряда Котельникова.

Синусоидальные сплайны

Использование синуса при описании Lk(/) формирует синусоидальные

сплайны. Расчетные выражения для них приведены в приложении 1 [43]. Для синусоидальных сплайнов 2-ой степени гладкости:

При построении сплайнов, помимо указанных, возможно использова­ ние и других функций.

4.ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Всистемах обработки сигналов важное место занимают линейные цепи. Они определяются как цепи, для которых выполняется принцип суперпо­ зиции: реакция цепи на сигнал не зависит от воздействия на цепь других сигналов.

Линейная цепь в цифровом исполнении носит название цифрового филь­ тра (ЦФ). Называется фильтром, так как при ее описании и анализе обыч­ но используется частотная характеристика, описывающая фильтрующее свойство цепи. Цифровой фильтр реализуется как программа компьютера, обеспечивающая линейную операцию над сигналом. С расширением об­ ластей применения компьютерной обработки сигналов расширяется и об­ ласть применения ЦФ.

4.1.А нал оговы е линейны е цепи и их х а р а к те р и сти к и

Одним из основных методов анализа аналоговых линейных цепей (сис­ тем) является метод составления и решения дифференциальных уравне­ ний, описывающих прохождение сигнала. Описание процесса прохожде­ ния сигнала через цепь дается на основе законов Кирхгофа: составляется уравнение, или система уравнений, описывающих сигнал на выходе цепи при заданном сигнале на входе. В общем случае это неоднородное диффе­ ренциальное уравнение с постоянными коэффициентами; может быть си­ стема дифференциальных и интегральных уравнений. В результате преоб­ разований систему уравнений, как правило, можно свести к одному.

Таким образом, будем считать, что линейная цепь в общем случае опи­ сывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением N-ro порядка с постоянными коэффициентами

+ dN_\U{2 (t) +... + diU2(])(t) + dQu2(t) -

(4.1)

(0 + CM-IW(A/ l\ t ) + ... + cxu^X)(/) 4- c0u J(0

где u}(t), u2(t) - сигналы на входе и выходе цепи.

Решение уравнения (4.1) дает описание сигнала на выходе цепи при из­ вестном воздействии на цепь - сигнале на входе.

Аналитическое решение дифференциального уравнения (4.1), как пра­ вило, затруднено, решение получается численным методом с привлечени­ ем компьютера. Вследствие этого при анализе линейной цепи часто ис­ пользуются характеристики, описывающие ее свойства во временной, ча­ стотной областях и области комплексного параметрар. К этим характери­ стикам в первую очередь относятся: импульсная и частотная характерис­