книги / Цифровые сигналы и фильтры
..pdfгде
\ H ( CÙ) |= jR e 2 [tf(û))] + Im 2 [# (© )];
Модуль |H(œ)\ представляет амплитудно-частотную храктеристику (АЧХ), аргумент срн(оо) - фазо-частотную характеристику (ФЧХ) цепи.
Удобство применения частотной характеристики в первую очередь свя зано с тем, что, используя комплексную форму сигнала, характеристику цепи можно получить исходя только из анализа непосредственно структу ры цепи.
Частотная характеристика, описывая свойства цепи в частотной облас ти, позволяет проводить анализ прохождения сигнала через цепь, исполь зуя только спектральную плотность сигнала.
Преобразование Фурье левой и правой частей равенства (4.2) дает
U2(o)) = H(co)Ul (co) |
(4.6) |
где Ujfco) и U2((ù) - спектральные плотности сигналов на входе и выходе цепи.
Обратное преобразование Фурье (4.6) позволяет перейти к описанию сигнала на выходе цепи во временной области
(4.7)
Область анализа цепи в частотной области ограничена выполнением условия существования преобразования Фурье сигнала. В тех случаях, когда условие существования преобразования Фурье не выполняется, обраща ются к преобразованию Лапласа, для него условие существования являет ся менее жестким, чем для преобразования Фурье.
При использовании преобразования Лапласа аналогично понятию час тотной характеристики цепи вводится понятие передаточной функции. Она определяется как преобразование Лапласа импульсной характеристики
(4.8)
О
гдеp=G +iœ -параметр преобразования. Аналогично (4.6) из (4.2) получим
и 2(р) = Н ( р ) и , ( р ) , |
(4.9) |
где U/p), U2(p) - преобразования Лапласа сигналов на входе и выходе цепи,
о
Условие существования преобразования Лапласа устанавливается не равенством
\u(t)\<Meat,
где М и а - постоянные.
Неравенство ограничивает скорость нарастания функции u(t). При вы полнении записанного условия интеграл абсолютно сходится для всех /?, у которых Re[p]>a. Менее жесткие требования к сигналу, для которого рас сматривается преобразование, расширяет рамки анализа сигналов с исполь зованием преобразования Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа U2(p) позволяет перейти к времен ной функции, описывающей сигнал на выходе цепи u2(t)
(4.10)
Интегрирование в (4.10) происходит по любой бесконечной прямой Re[p] =(7, лежащей в области абсолютной сходимости интеграла от u(t).
Вычисление интеграла (4.10) в общем случае производится с использо ванием теоремы о вычетах:
(4.11)
где ак - особые точки функции U(p)\ Res[f(z),a] - вычет функцииf(z) отно сительно точки а.
Суммирование в (4.11) производится по всем особым точкам. В особой точке а предел функцииf(z) либо равен бесконечности, либо функция во обще не имеет предела. В первом случае эту точку называют полюсом фун кции f(z) , во втором - существенно особой точкой.
Обратное преобразование Лапласа может также выполняться с исполь зованием метода разложения функции на простые дроби.
Используя свойства преобразования Лапласа, выражение для переда точной функции цепи можно получить непосредственно из дифференци ального уравнении, описывающего линейную цепь (4.1). Взяв преобразо
вания Лапласа левой и правой частей уравнения, для нулевых начальных условий запишем
p " d NU2 (р) + p N-'dN^U 2 (р) + ... |
+ p d tU2(P) + d0U2(p) = |
|
= Р МcMUxip) + p M~'cM_JJx(p) + |
...+ pcxUx (t) + c0U ^ p ) |
(4.12) |
Из (4.12) получим дробно-рациональное выражение относительнор для передаточной функции
(р) _ со + с\Р + - + смРМ
U\(p) d 0+dlp + ... + dNp N |
(4.13) |
|
Дифференциальное уравнение, описывающее цепь, и эквивалентная ему передаточная функция являются наиболее универсальными средствами описания линейной цепи и прохождения через нее сигнала.
Цифровые фильтры представляют программное исполнение аналоговых цепей и должны описываться с использованием характеристик подобных рассмотренным. Однако особенности дискретных сигналов и цепей пред полагают особый подход как к описанию, так и выбору методов анализа цифровых фильтров. Указанное обстоятельство делает целесообразным при анализе и синтезе ЦФ прежде всего остановиться на этих особенностях, выборе основных характеристик и методах их анализа.
4.2. О сновны е х а р а к те р и сти к и циф ровы х ф и л ь тр о в
При описании и анализе ЦФ обычно используются характеристики, по добные рассмотренным ранее для аналоговых цепей:
-импульсная характеристика, описывающая свойства фильтра во вре менной области;
-частотная характеристика, дающая описание фильтра в частотной области;
-системная функция, описывающая свойства фильтра в области пара метра z.
Указанные характеристики и рассматриваются в дальнейшем.
4.2.1. Импульсная характеристика цифрового фильтра
Импульсная характеристика ЦФ описывает реакцию цепи (отклик цепи) на воздействие в виде единичного импульса (Раздел 1 ). Она представляет последо вательность чисел на выходе фильтра при подаче на вход единичного импульса.
Представляя дискретный сигнал на входе как взвешенную последова тельность единичных импульсов, с учетом принципа суперпозиции полу чим выражение для сигнала на выходе ЦФ в виде дискретной свертки им пульсной характеристики фильтра h(kT) и сигнала на входе ut(kT)
u2 (пТ ) = |
(kT )K nT - кТ) = |
(«Г - |
(4.14) |
|
*=0 |
А =0 |
|
аналогично свертке, определяющей сигнал на выходе аналоговой цепи (4.2). В соответствии с записанным выражением каждой последовательности чисел на входе ЦФ соответствует своя последовательность на выходе.
Пример.
Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса через ЦФ с импуль сной характеристикой, соответствующей ЛС-цепи.
Сигнал описывается дискретной функцией
\ , n p u O < n < N
иЛпТ)
О, при п> N
Импульсная характеристика фильтра, соответствующего ÆC-цепи, име ет вид
пТ_ h(nT) = e T
где т - постоянная времени цепи. Из (4.14) получим:
при n<N
ы2(и7’) = |
|
|
пГ \ |
|
1 - е - Г /г |
1 - е |
|
||
при n>N |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
и2(пТ) = |
|
f |
_NT ^ |
-пТ/т |
|
|
1-е~ т |
||
1 - е |
-77 г |
|
||
|
|
\ |
/ |
|
Выражения найдены с учетом известных соотношений для суммы чле нов геометрической прогрессии.
4.2.2.Системная функция
Часто анализ ЦФ наиболее удобно проводить в области параметра z с использованием z-преобразования импульсной характеристики.
Z-преобразование импульсной характеристики ЦФ определяется выра жением
Я (г ) = 5 > ( и 7 >
п=0
называется системной функцией; называется так потому, что она, как в дальнейшем установим, определяет структуру фильтра (системы).
В общем случае выражение для системной функции представляет раци ональную дробь относительно z или г у
я ( г ) = a()+ aiz - '+ a ïz-1+... + aMz-M
1 - 6 ,z 1- b 2z 2 - . . . - bNz N |
’ |
(4.16) |
|
где ax bk - постоянные коэффициенты.
Как следует из свойств z-преобразования, дискретной свертке во вре менной области (4.14) соответствует произведение z-преобразований ис ходных функций. Таким образом, получим соотношение, связывающее z-
преобразования сигналов на входе и выходе фильтра в виде |
|
t/2(z) = tf(z X /,(z ), |
(4.17) |
где U/z), U2(z) - z-преобразования сигналов на входе и выходе ЦФ.
Это свойство z-преобразования делает его исключительно полезным при анализе и синтезе ЦФ.
Обратное z-преобразование U2(z) позволяет получить выражение для сигнала на выходе фильтра.
Примеры
1.Для ЦФ, рассмотренного ранее, с импульсной характеристикой
h(nT) = е пТ,х
выражение для системной функции получим в виде
СО _пТ |
|
1 |
я И = Х е т7 |
|
|
|
_т |
|
п=0 |
1 - е |
Tz~l |
|
Для сигнала на входе фильтра в виде прямоугольного импульса
/[ l , n p u O < n < N
и.1пТ) = <
1v ' [О, при n > N
найдем
N |
1 |
_ - N |
п=О |
1 |
— Z |
С учетом (4.14) для рассматриваемого сигнала на входе получим
U2{z) =
1 1 - z ' "
-I
1 - е Tz~
Обратное z-преобразование позволяет перейти от U2(z) к сигналу на выходе фильтра (временной функции, описывающей сигнал) и/пТ).
Обратное z-преобразование выражения для U2(z) дает результат, совпа
дающий с ранее полученным. |
|
||
1 |
f |
_лт Л |
-пТ/х |
|
г |
||
ЫЛ П Т ) = , -T ir \ - е |
|
||
1 —е |
\ |
|
2. В качестве другого примера системной функции рассмотрим ЦФ, со ответствующий аналоговой цепи с импульсной характеристикой (колеба тельный контур)
h(t) = e at cos coQt
Импульсную характеристику ЦФ запишем в виде:
h(nT) = е апТ cosсо0пТ = 1 / 2(е'апТ^ |
пТ + е апТ-'щпТ). |
||
|
Системная функция получится из (4.15) в виде |
||
__ |
1 - е~аТcos CÛ0TZ~X |
_ |
aQ+ axz~l |
" |
1 - 2e aTcos CÙJ Z~' + е"2аV |
2 ” 1 - |
V 1- biz ~2 * |
где Д0 =1;я, = ~e aT cosœ0T;bx= 2e~aT cos œ0T;b2 = - e 107
4.2.3.Частотная характеристика цифрового фильтра
Импульсной характеристике ЦФ (характеристике во временной облас ти) соответствует частотная характеристика (характеристика в частотной области). Выражение для нее можно получить, если в выражении для сис
темной функции (4.13) учесть соотношение z= el(ùT
Частотная характеристика ЦФ является комплексной величиной
H(cù) = \H(cü)\ei<pi(ü)
Модуль частотной характеристики фильтра - АЧХ определяется как
|
N |
М |
|
|
X |
X v . s\n[(n-m )a> T^ |
|
|Я(й))| = |
п=0 m=0____________________ |
(4.18) |
|
|
|
||
где ak,bk- коэффициенты в выражении для системной функции. Аргумент частотной характеристики представляет ФЧХ фильтра:
м |
N |
X amsin(wû)T) |
Y ,bnsin(«û)T) |
(pipi) = -arctg --------------- |
|
|
+ arctg |
--------------- |
|
|
|
(4.19) |
||
|
X a m COS(WÛ)T) |
|
X b n COS(«Ct>T) |
|
|
|
|
|||
|
m - 0 |
|
|
|
л=0 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотренные характеристики ЦФ дают его описание в различных об |
|||||||||
ластях анализа - временной, частотной и области параметра z |
Все они |
|||||||||
|
: |
Î.......... |
j ............. |
! |
...... i . . . . . |
. . . . . . . |
. . . . . . . . |
. |
: |
: |
|
............ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в- |
............ |
|
|
|
|
|
|
|
.........I |
. J |
6; |
............ |
|
|
|
.............. |
............ |
] ............. |
. . . . |
! .!............. |
i. |
4- |
.......... ............ |
|
|
|
............j ............ |
............ |
j............. |
: |
J |
|
|
|
|
: |
|
1 |
|
||||
2- |
.......... |
.. |
.. |
|
............i ............. |
............ |
j ............. |
............ |
j I............ |
I |
|
|
|
|
|
i |
|
! |
|
: |
: |
|
|
|
|
|
: |
|
: |
|
||
|
|
|
5 |
1 |
9 |
Г0 |
11 |
I2 |
13 |
14 |
взаимосвязаны. Выбор же той или иной характеристики при описании и анализе ЦФ определяется прежде всего решаемой задачей и условиями упрощения ее решения. Структуру ЦФ наиболее очевидно определяет си стемная функция. Она связана с частотной характеристикой соотношения ми (4.18) и (4.19).
Примеры характеристик ЦФ в виде графиков приведены на рис. 4.1 и 4.2; на рисунках изображены импульсная и соответствующие АЧХ и ФЧХ различных схем ЦФ.
4.3.А л г о р и т м ы и м е т о д ы анализа циф ровы х ф и л ь тр о в
Методы анализа ЦФ подобны методам, используемым при анализе ана логовых цепей; они определяются главным образом выбором области ис следования или характеристики фильтра.
4.3.1. Метод на основе решения разностного уравнения
Классическим методом анализа прохождения сигнала через аналоговую цепь является метод составления и решения дифференциальных уравне ний, переменными в которых являются временные функции сигналов на входе и выходе фильтра.
Примером такого уравнения является уравнение, описывающее прохож дение сигнала через ЛС-цепь
du, 1 , ч 1 , ч
—Г + - и 2(0 = -и ,(0 , |
|
dt г |
т |
где u/t), u2(t) - сигналы на входе и выходе цепи; т = RC - постоянная вре мени цепи.
Решение записанного уравнения с использованием компьютера произ водится численным методом.
При расчете производной принимают:
( du(t) |
и ( п Т ) - и { п Т - Т ) |
И Г Jt=nT |
(4.20) |
Т |
где Т- интервал дискретизации.
С учетом (4.20) разностное уравнение, соответствующее дифференци
альному уравнению первого порядка, будет иметь вид |
|
«2(пТ) - Ьхи2 (п Т - Т ) = а0их(пТ ) |
(4.21) |
Преобразуя (4.21), получим |
|
и2(пТ) = а0м,(пТ ) + Ьхи2( п Т - Т ) . |
(4.22) |
Выражение (4.22) представляет алгоритм вычисления сигнала на выхо де линейной цепи первого порядка - алгоритм ЦФ. Схема реализации за писанного алгоритма представлена на рис. 4.3.
На схеме использованы очевидные условные обозначения усилителя, сум матора и элемента задержки Т. Схема отражает последовательность вычис ления сигнала на выходе ЦФ в соответствии с (4.22). При вычислении его значения в заданный момент времени используется значение сигнала на входе в тот же момент времени и значение сигнала на выходе в предыдущий мо мент. Цифровой фильтр, в котором для вычисления сигнала на выходе ис пользуются не только значения сигнала на входе, но и сигнала на выходе в
предыдущие моменты времени, называются рекурсивными. Таким образом, схема, изображенная на рис. 4.3, является схемой рекурсивного фильтра.
В общем случае разностное уравнение N-ro порядка, описывающее про хождение сигнала через цепь, имеет вид
и2(пТ ) - bxu2СпТ - Г) - ... ■-bNu2(пТ - N T) = |
|
= a0u, (пТ) + а,м, (пТ - Т) + ^+ амщ (пТ - МТ). |
(423) |
Его можно преобразовать к виду |
|
и2(пТ) = а0м,(пТ) + а,м, (пТ - Т) +... +aMui(пТ - МТ) + |
|
+btu2(пТ - Т) +... +bNu2 {пТ - NT). |
(4 24) |
Выражение (4.24) представляет алгоритм определения сигнала на вы ходе фильтра N-ro порядка (M<N).
Схема расчета в соответствии с записанным алгоритмом представлена на рис. 4.4. На схеме элементы задержки Т даны в обозначениях z-преоб