книги / Цифровые сигналы и фильтры

а)

б) Рис. 8.2

Другим известным методом выделения тренда является метод среднего наклона [12]. Оба метода дают не всегда приемлемые по точности резуль­ таты. Более эффективным (более простым, обеспечивающим большую точ­ ность) является метод, основанный на использовании алгоритмов цифро­ вой фильтрации. Его содержание изложено в разделе: описывается метод сглаживающей аппроксимации с использованием алгоритмов цифрового ФНЧ. Полученные результаты могут быть распространены на другие виды ЦФ (в разделе рассматривается, кроме ФНЧ, только ФВЧ).

8.2. Аппроксимация с использованием циф ровы х ф и л ь тр о в

Существо метода сглаживающей аппроксимации с использованием циф­ рового ФНЧ заключается в следующем. Исходная функция представляет дискретную, как правило, случайную последовательность. (Если исходная функция является непрерывной, то для обработки в компьютере она все­ гда предварительно дискретизируется). Для нее на каждом частном выб­ ранном временном интервале находится среднее значение. Алгоритм этой операции записывается в виде

14=!

(8 .1)

где Т - интервал дискретизации; L T - интервал усреднения.

Записанный алгоритм повторяет алгоритм фильтрации, выполняемой с использованием ФНЧ (Разд. 6). Таким образом, подавая на вход ЦФ исход­ ную последовательность, на выходе получают усредненную дискретную функцию, выполняющую роль аппроксимирующей.

Полученная аппроксимирующая функция на выходе ЦФ всегда будет дис­ кретной, для удобства графического представления интерполируется (график, полученный в результате интерполяции, имеет вид непрерывной кривой).

Схема ЦФ, реализующая алгоритм обработки исходных данных (8.1), является схемой ФНЧ. Наиболее простые схемы цифрового ФНЧ описаны в разд. 6. Для коррекции частотной характеристики фильтра используется каскадное включение М ячеек (рис. 8.3).

Частотная характеристика такого фильтра описывается выражением

( 8.2)

Графики АЧХ фильтра при различных значениях параметров L и М изображены на том же рис. 8.3.

Как следует из (8.2) и приведенных графиков, записанный алгоритм позволяет выделить низкочастотную составляющую колебания,

применительно к случайному процессу (сигналу) - это тренд. Полоса пропускания ЦФ, реализующего записанный алгоритм обработки, опреде­ ляется выбором параметров LwM.

Примеры аппроксимации гистограмм ПРВ с использованием ФНЧ при­ ведены на рис. 8.1 и 8.4 - выделяется низкочастотная составляющая диск-

М=6

Записанное выражение представляет алгоритм ФВЧ (Разд. 6). Его схе­ ма, включающая М ячеек, приведена на рис. 8.5.

Частотная характеристика ФВЧ описывается выражением

/ J

Графики АЧХ фильтра приведены на том же рис. 8.5. Как видно из гра­ фиков, ЦФ позволяет выделять высокочастотную - случайную составляю­ щую процесса.

Примеры обработки статистических данных с использованием рассмот­ ренных алгоритмов приведены на рис. 8.6- 8.8. На рис. 8.6 изображена ди­ аграмма роста патентных заявок в Китае, на рис. 8.7 динамика индекса РТС, приведены графики трендов процессов и случайных составляющих (“Эксперт”, №46, 2006 г).

Пример на рис.8.8 включает: статистические данные в виде последова­ тельности чисел, те же данные в виде графиков после линейной и сплайно­ вой интерполяции, кривые тренда и случайной составляющей процесса.

Рис. 8.7

Рис. 8.9

В некоторых случаях сглаживающая аппроксимация выполняется с ис­ пользованием ПФ и ЗФ. Эти фильтры применяются в том случае, когда тренд имеет колебательный характер (рис. 8.9).

8.3. В ы бо р полосы пропускания ф и л ь тр а

При оценивании тенденции развития процесса определяется его тренд - выделяется постоянная (низкочастотная) составляющая. Качество ее филь­ трации зависит от выбора ЦФ, точнее от выбора его полосы пропускания. Полоса же пропускания фильтра должна определяться с учетом спектра исследуемого процесса и частоты его низкочастотной составляющей. Так, если случайный процесс имеет явно выраженную составляющую, то при слишком узкой полосе пропускания ФНЧ ее можно просто “не заметить” Таким образом, при выполнении сглаживающей аппроксимации необхо­ дим обоснованный выбор полосы пропускания фильтра. Это можно сде­ лать только на основе спектрального анализа процесса (его случайной со­ ставляющей).

Нормируя выборочные значения случайного процесса

сг

получим выборочные значения центрированного случайного процесса с среднеквадратичным отклонением, равным единице.

Оценка ФРВ случайного процесса определяется выражением

N & N '

где Nn- число выборочных значений, не превышающих уровень хп; N - общее число выборочных значений на интервале наблюдения.

Полученные оценки для различных значений уровня хппозволяют пост­ роить гистограмму ФРВ случайного процесса (рис. 8.1).

Оценка ПРВ случайного процесса определяется выражением

ло выборочных значений случайного процесса, попавших в л-й интервал. Примеры такой оценки приведены на рис. 8.1 и 8.4.

Точность оценок (8.6) и (8.7) зависит от числа интервалов разбиения

(их ширины). Если [xb,xa] - диапазон изменения значений случайного

процесса, К - число разрядов, которые охватывают весь диапазон возмож­ ных значений, то размер каждого разряда определяется как

Аппроксимируя дискретные последовательности, получим непрерыв­ ные ФРВ и ПРВ случайного процесса, как показано на рис. 8.1 и 8.4. Апп­ роксимация на рис. проведена с использованием цифрового ФНЧ. Полу­ ченные функции можно сравнивать с функциями известных законов рас­ пределения случайных величин [19].

8.3.2. Оценивание корреляционной функции и спектра

Оценка корреляционной функции для центрированного случайного про­ цесса дается следующим выражением

где X n,X n+k - выборочные значения случайного процесса; Т - интервал

дискретизации; т Т- смещение во времени. Максимальное число значений m равно

где тк - интервал корреляции [19].

Корреляционная функция определяется в пределах интервала корреля­

ции с учетом четности корреляционной функции [0, тК]. При таком огра­

ничении выражение для спектральной плотности мощности случайного процесса может быть записано в виде

Произведению W (x)R(x) соответствует свертка спектральной плотно­

Выражение (8.14) дает оценку спектра случайного процесса N(co) с оп­ ределенной ошибкой. Уменьшить ошибку можно, используя окна другого, отличного от прямоугольного, вида. Примером такой функции является весовая функция Ханна