книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

(л — х)'1

я 2

\т

я2— 1

1) cos яде. Продифференцировать

ряд и

4398*. -

12 1

L i

п- (я' +

+

п2 -1

I

я2

(см. 33-

'

=

-S-

Ud Я2

О

дачу 4376).

„

.

я

11V= 1

Я ‘

,

Я

71X -

“

sin я

4 3 " .

2 cos де + 2

n:,(;i7_

1} cos яде ( -

£ < д: <

- J )

;

вое-

“

+

-

m

п = 2

. ЯП

пользоваться

рядом

я

V

апТ

/

(см. задачу 4380 при

h =

я\

и тем,

^

— - — cos яде

■-J

__1\Л-1 ттЗ

Л= 1

'

что —

(см. задачу 4394).

— 4Л—

=

32

4400.

f,

(де) «и 27,8 +

6,5 cos де— 0,1

sin де — 3,2 cos 2дс 4 - 0,1

sin 2де;

f2 (х)

е= 0,24 +

0,55 cos х +

0,25 sin де— 0,08cos2де—0 ,13 sin 2де; / 3( д е ) 0,12 +

l,32cosx +

-J- 0,28 sin де— 0,07 cos 2де+0,46 sin 2де,

К главе XVI

4401.

Прямые,

параллельные вектору А {а, Ь, с): х

х<| — -

^ — =

г

г” .

4402.

Окружности с центром

в начале

координат: л.,2 +

1/2=

R 2. 4403.

Винтовые

линии

с

шагом

2яЛ/<о,

расположенные

иа

цилиндрах,

оси

которых

совпадают

с осью

z: x=R co& (u>t +

a),

у = R sin (<оТ +

а),

г = Ы + 2 0, где R ,

а

и г0— про­

извольные постоянные.

4404.

1) Окружности,

образованные

пересечением

сфер

координат

и плоскостей, отсекающих иа

осях координат отрезки, равные по

величине

и по знаку:

х2+ у 2+ 22=У?2,

х-\ -у -\ -г= С .

3) Линии пересечения

сфер x 2 + J/ 2+ z 2 = i?2

и гиперболических

параболоидов

г у = С х . 4405. div А —

= 3, rot /1 = 0.

rot .4 = 2 [(у— z )1 + ( г — x ) j + ( x — у) к].

4406.

div .4 = 0,

4407.

div A = 6 x y z , rot A =

x (& — у * ) 1 + у ( х г — г2)У + г (у 2— x2) k ,

4408.

div /4 = 6,

rot /1=0.

4409.

div/1=0,

rot/4=0.

4410.

d iv A = k/r3, где А— коэффициент пропорциональности, /— расстоя­

ние от точки приложения силы до начала координат, r o t/4 = 0,

4411.

d iv /4 = 0,

r o t /4 = 0.

4412.

div А = 0,

r o t/4 = 0. В точках оси Ог

поле не определено.

382

ОТВЕТЫ

4413.

div А = -------

----- , где

к — коэффициент пропорциональности.

г У х * + у * + Г -

™

div Ь (га)= ab,

В точках плоскости Оху поле

не определено.

4414. За.

4416.

div г (га)= 4га. 4417.

0.

4418.

1) 0;

2)

0;

3)

0.

4419.

div A = 2/(г)/г+/' (г),

если

поле

пространственное,

div j4= / (r)/ r+ / ' (г),

если

поле

плоское.

4421.

eprot ,4 + grad<pX-4.

4422.

■ 4423.

2а.

4424. 2соп°,

где п °— единиц.

ный вектор, параллельный

оси

вращения. 4430. и = А г + С .

4431.

и = — ^

k(x* + y°-+ &) + C.

4432.

Нет.

4433. Нет.

4434.

а =

— у 1 п ( ^ +

(/2) +

С. 4435. Нет. 4437. 2/3,

1/3,

1/2.

4438.

б)

k& In У^(' ~

У~-± 1 ~

х.

4439*. 4fe ( / 2 — 1) *).

V V + x ) * + ? - l - x

1

k&\fcfi+b*

2яЬ+Уа*+4п*Ь*

4441.

2fe6aln ( 1 + / 2 )

Ь

а

.

4442.

2як

arccos/i, если Л < 1; 2яА, если Л= 1;

2як

l n ( / i + y V - l ) ,

V l - h 2

1

если h >

/Л2-

1,

т а - .

I)

2M

„

i ±

¥ " ' + « • ,

2)

2R

1 .

Разделить

К

боковой поверхности цилиндра как

сумму потенциалов боковых поверхностей

обеих его половин, применяя результат 1). 4444. 2knRb.

4445*. 1) Алб1 И \r R - И 2— И

- R- In ■’ + ^ ^ 2 + Н2j ,

fcifi

И )Л/?2+ Я 2—Я 2+ 4/?2 1п Н + У 4Я2+ Н2 j - см. указание

к задаче

;

2

4443,

4446. л k&H (/ — //), где / — образующая конуса

4447.

и

2

,л/г->бГ/, , п2 \3/2

f a y

Зи

]

при a 3= й;

~R~)

2 R +

l \

и ~ ^ 3^

(4 К 2 - 3)

при а = R .

4448*. “ =

(Я3— г3) =

^

(М — масса тела)

при

a ^ R ;

и =

2Алб (Я2— г2) при

а ^ г ;

« =

ibjTiS

(а3 — г ^ + ^ я б

( Я 2— а 2) при r s S a s S / ? .

Провести концентрическую сферу радиуса а и применить результаты пер.

вых

двух

случаев.

4449. ~ ~

1 -f-y -^ -^ -j J,

где Л4 — масса шара. 4450. И

ток

и циркуляция

равны 0.

4451.

Поток

равенaS, 2где S— площадь