книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

$ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

191

3112.

Найти

значение

полного

дифференциала

функции

Z = t T_Z y i

при х =

2 ,

</= 1 ,

Ах = 0 , 0 1 , Ау = 0 , 0 3 .

3113.

Вычислить

приближенно

изменение функции z = * ^ ^

при изменении

х

от

^

= 2

до х2 = 2,5

и (/ от ^ = 4

до

//2 = 3,5.

3114.

Вычислить

приближенно

In( V 1,03 + >/0,98 — l).

3115.

Подсчитать

приближенно

1,043 02,

3116.

Найти

длину

отрезка прямой х = 2, у —3, заключенного

между

поверхностью

z = x2 + t/2 i

ее

касательной

плоскостью

в точке (1, 1, 2).

3117.

Тело взвесили в воздухе (4,

± 0 , 1 Н) и в воде (1 ,8 ± 0 ,2 Н).

Найти

плотность

тела

и указать

погрешность подсчета.

3118. Радиус основания конуса

равен

10,2 ± 0,1

см,

образующая

раЕна

44,6 ± 0 , 1

см.

Найти

объем

конуса

и указать

погрешность

подсчета.

3119. Для вычисления площади

S треугольника по стороне а и уг­

лам В, С пользуются формулой

Рис. 59

0

1 _2

sin В sin С

^

- ~ 2 а

sin (Д + С )'

венно 8П, 8В, 8с-

3120.

Сторона треугольника

имеет длину

2,4 м

и возрастает

со

скоростью 10 см/с;

вторая

сторона длиной

1,5 м уменьшается

со

скоростью 5 см/с. Угол, заключенный между этими сторонами,

равный 60°, возрастает

со скоростью 2° в секунду. Как и с какой

скоростью

изменяется

площадь треугольника?

3121.

В

усеченном конусе радиусы оснований равны R = 30 см,

/•=20 см,

высота ft = 40 см.

Как

изменится

объем

конуса, если

увеличить R на 3 мм, г на 4 мм, ft на 2 мм?

Т колебания

3122.

Показать, что при

вычислении периода

маятника

по формуле

•3124.

и = ех-2у,

JC= sintf,

y = t3;

du

тт = ?

dt

3125.

u = z2 + y2 + zy, 2=

sini,

у = ё\

^ j =

?

3126.

2 =

arcs in (x —y) , x = 3t,

y = 4i3;

—■=

?

3127.

z = x2y - ifx,

x = u cosy,

y = u sint1;

dz

?

dz

^7 =

-^- = ?

5»

*3128.

г =

* 3!пг/,

* =

“•, y = 3 u - 2 v ;

g

02 =

P

ду

3129.

и = 1п(е*-Ьс!/); - - = ?

Найти

если

y — x3.

• 3130.

2 —arctg {xy)\ найти

dz

если

г/ = ел

3131.

u =

aresin у ,

~

=

?

. 3132.

г =

tg (3/ +

2х* - у),

х =

,

у =

у 7 ;

*

=

?

3133.

ы — ~~Tq_~yZ',

y = a s i n j c ,

2=

cosx;

^ - = ?

dz =

* 5 4 -

^

dz

дг

дх

*

д у - :

дх

■

ду

3137.

Показать,

что функция

2= a r c t g - где

л := « + у,

у=:

= « —и, удовлетворяет соотношению ^

^

3138.

Показать,

что

функция

г = ср (х2 + у2),

где

q> (и) —диффе­

ренцируемая функция,

удовлетворяет соотношению у д^

—

= 0 .

3139.

u =

sinx +

F( si ny — sin лг);

убедиться,

что

|“-c o sx -f-

4- cos у —cos х cos у,

какова

бы

ни

была

дифференцируемая

функция F.

..

1

dz

.

1

dz

г

3140.

2— ■

что

какова бы

убедиться,

-- ^

- f

-

Sy =

-2 ,

f i x - - у-)'

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

193

3141. Показать, что однородная дифференцируемая функция

нулевого порядка

(смзадачу 2961) удовлетворяет соот­

3142.

Показать,

что

однородная

функция

k-ro

порядка

и =

^ x bF

^ j,

где F —дифференцируемая функция, удовлетворяет

ди ,

ди

,

ди

,

соотношению Jt^ + l/ ^ + zai = ku -

и =

3143.

Проверить

предложение

задачи

3142 для

функции

ь

■ 2* + У 2

s=x6sm — - f - .

3144.

Дана дифференцируемая функция f(x, у). Доказать, что

если

переменные х ,

у заменить линейными однородными функ­

циями от X , К, то

полученная функция F { X ,

Y )

связана

с дан­

ной функцией

соотношением

Я , J f - x

dF , v d_F

сдх + У ду~ Х дХ

1 д У

Н е я в н о и п а р а м е т р и ч е с к и з а д а н н ы е ф у н к ц и и

В

задачах

3145— 3155

найти производную ^

от функции,

за­

данных неявно.

3145.

х3у —*/3х =

а'1.

3146.

х2у2 —х* — у* = а*.

3147.

хеу+

уех -

ех,/ = 0.

3148.

(х2 +

у2)2 -

а2(х2 —у2) = 0.

3149.

sin (ху) — еху — х2у = 0.

3150.

x2/a- f (/2/3 =

а2/з_

3151.

ху —1пг/=

а.

3152.

a r

c t g

— ~ —0.

3153.

ух2 =

еу.

3154.

уех +

е« =

0.

3155.

ух = х У.

3156.

F(x,

y) = F(y,

х).

Показать,

что

производная от у по х

может

быть

выражена

с

помощью дроби,

числитель которой

по­

лучается

из

знаменателя

перестановкой

букв у

и х .

3157.

х2 + {? — 4 х — 10у + 4 = 0;

найти

^

при х = 6, у = 2 и при

х = 6,

у = 8.

Дать геометрическое

истолкование

полученных

ре­

зультатов.

3158.

хху 4 - ху4 —ax2if- = а5;

найти

^

при х = у = а.

3159.

Доказать,

что

из

х2у2 + х2 +

у- — 1 = 0

следует

A*

I

dy

п

Г 'П Т * ‘1_ КПГрт

3160.

Доказать,

что

из

а

b (х -]- у) -f- сху = т (х — у)

следует

dx

__

dy

e-J-Sftx-J-cx2 — a-\-2by-fcy-‘

$ S. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

195

3179.

Пусть y=f(x,

t), F{X, у,

0 = 0.

Проверить, что

df_ dF_ _

df

dF

dy dx dt

dt dx

d x ~ < H d F _ ,d F "

dt

d y '

dt

3180.

Пусть f(x,

У,

z) = 0,

F (x,

y,

z) =

0. Проверить, что

dy

dL df_ _ dZ di

dx dz

dx <k

dx ~

d[ d_F _ dF d f ‘

dy

dz

dy dz

§ 5. Повторное дифференцирование

3181.

z = x? + xy * — b x fp + y *. Показать, что d x d y

d2z

d y d x '

3182.

г = х » .

Показать, что ^

=

dP-z

d-z

3183.

г =

ех (cos I/+ д:sinу). Показать,

что

dy d x '

3184.

z= arctg f

Показать, что ^

В задачах 3 18 5 —3192 найти ^

д^2

д^2

от данных функций.

и

3185.

г = ~ V W

+ W -

3186.

г =

\п(х +

У х 2 + у 2).

3187.

z =

a r c t g ^ J

3188.

z= sin2 (a x + b y).

- А—

3189.

2 = е**.

3190.

г = £=|.

3191.

г =

у'пх.

3192.

2 = arcsin (ху).

3193.

u =

V x 2 +

i f + z 2 — 2хг;

dydz

=

?

dPz

3194.

z =

exy‘\

dx2 dy

d*z

3195.

2 = In (x2 +

y2);

<Pz

= ?

3196. 2 = sinxy\ 57^5 = ?

3197. w =

exy*

= ?

3198.

»=

=

3199. 2 = In (ex + ev)\

убедиться, что ^

= 1

и

чт0

d°-z <Pz

_

/ dtz

\2 = 0.

dxdy2

\dx dy

<Pu

i

<32м

л

3200.

u = ex(xcosy — y smy)\

показать,

что

=

+

^

3201.

н = 1п-

1

d2u

. d"-u n

5x 5

: показать, что ^

+ ^

= 0-

1 9 6

ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

о о л л

1

д'и I

д1и J

Л

3202'

u =

y T + ^ + z * ; показа1ь’

чт0 aF + Ф* + а Р = а

3203.

л =

Y хг +

г/2 +

z2; показать,

что

av

av

.

av

2

a2 (in г)

. a2 (in г)

, a2 (in г) _

i

а*2

' ау2 +

az2 — >

•

ал2

а»/2

аг2

/-а ■

3204.

При

каком значении постоянной а функция v = х* + аху*

удовлетворяет

уравнению ~

~ = 0?

. . . .

у

показать,

д‘г

,а2г

3205.

г = тГ Г№

что

=

а2 ду2-.

3206.

v =

— I-----?— I-----— ;

показать,

что

X—у

1

у —Z ' Z—X

3207.

2= / (дс, у), | = х + у ,

г) = * — «/; проверить,

что

dPz

dfh. __ .

агг

д у * ~ * д 1 д ц т

3208.

v = х\п(х-\-г) — г,

где

г2 =

дс2+ «/2; показать, что

д-и

. ffh)

1

ал:2 + W ~

х + г ‘

3209.

Найти выражение для второй производной

от функ*

ции у, заданной

неявно уравнением f (х, у) =

0.

3210.

у = ф(х — at) + ф (x + at). Показать,

что ^

=

ка-

ковы бы ни были дважды дифференцируемые функции <р и $ .

3211.

и = ф (х) + ф (у) +

(х — у) ф' (у). Проверить, что

, ,

ч д*и

ди

(Х

У> д Ш / ~

ду

(ср и ф — дважды дифференцируемые функции).

3212.

z= yq> (х2 — у2). Проверить, что

(ф -д и Ф'

ференцируемая функция).

у). Показать,

3213.

г = ху(х + у) + у $ (х +

что

av

2 & L +

^

= о

дх1

^ д х д у Т

ду2

(Ф и ф -

дважды

дифференцируемые

функции).

3214.

и = -j- [ф (ах +у) +ф (ах — у)]. Показать, что

У

(Ри

« ди\

,

__ a2

a /

3255.

2= sin (x2 + if).

3256. z = ex cosy.

3257.

Найти

несколько

первых членов разложения по степе­

ням х — 1, у — 1

функции 2, заданной неявно уравнением

23 + yz —X l f — X 3 = 0

и равной единице при х = 1 ,

у = \ .

3258.

Получить приближенную формулу

3261.

z = x y ( a ~ x - y ) .

3262.

z = (2 a x - x 2) (2 Ь у -у 2).

3263.

2 = sin х +

sin у -J- cos (х

у)

(0sgx=s£n/4, 0 ^ y ^ n j4 ) .

3264*

z = -y

f z

3265.

г - y V T + t + x V T + j.

3266.

и = 2х2+ У?+ 2г —ху — xz.

3267.

« = 3 1 п х + 2 In у + 5

In 2+

In (2 2 —х — у — г).

3268.

На

рис.

60 изображенылинии уровня функции г =*

= /(•*. У)-

Какие особенности имеет функция в точках А, В, С, D

и на линии

EF?

2 задана неявно: 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz —2+ 8 = 0.

3269. Функция