книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ

151

которое при этом получается.

2) Та же фигура вращается вокруг

оси абсцисс. Найти объем получающегося тела.

2575*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,

получающейся при вращении

линии

у — хъе~ хг вокруг

своей

асимптоты.

2576*. Фигура, ограниченная линией

J/= -^-= и осью абсцисс,

2577*. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, про-

изводимой вращением циссоиды у2 =

- (а >

0) вокруг ее асимп­

тоты.

2578. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полу­

чающейся при

вращении

трактрисы х = a ^cos/ +

I n t g y j,

У =

c=asi nl

вокруг

ее асимптоты.

г2

2579*. Вычислить

объем

тела,

ограниченного

эллипсоидом

,

>/2

у2

В1—

А/2

, _z“

Т4- —j i тЧ- —,1 = 1

/?2

2580.

1) Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим

параболоидом г = -j- + -у

и плоскостью г =

1.

2)

Найти объем тела, ограниченного однополостным гипербо-

ЛОЙДОМ

^ ---- 22 =

1 И ПЛОСКОСТЯМИ 2 = — 1 И 2 = 2.

2581.

Вычислить

объемы

тел,

ограниченных

параболоидом

z = x2 +

2у2 и эллипсоидом jc2 +

2t/2 + 22 = 6.

2582.

Найти

объемы тел,

образованных

пересечением двупо-

постного

^2

—

2^

^2

|/2

гиперболоида

-g~= 1

и эллипсоида -g- +

^ - +

+

Т

"

1-

2583. Найти объем тела, ограниченного конической поверх-

НОСТЬЮ

(z — 2)2 =

-J- +

-у

и плоскостью

2 = 0.

2584.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

параболоидом

о

х2

,

У1

х2

,

I/а

л

2г = -4-

+

%- и конусом т

+

-|- = z2,

2585*.

Найти

объем тела,

отсеченного от

круглого цилиндра

1 5 2

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

мента, лежащего

в основании,

Н = 8 см, высота

тела h = 6 см.

Вычислить объем

тела.

2587. Цилиндр, основанием

которого

служит

эллипс, пересе­

чен

наклонной плоскостью, проходящей

через малую ось эллипса.

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ

153

противоположные вершины квадрата перемещаются

по окружно­

Рис.

47

Рис.

48

2593.

Два

наклонных

цилиндра имеют одну и ту же высоту Н

и общее

верхнее

основание

радиуса R, а нижние

основания их

параболы у2 = 4ах вокруг оси абсцисс

от вершины до точки с абс­

циссой х = 3а.

2595. Вычислить площадь поверхности, образованной враще­

нием

кубической параболы 3у — хл = 0 Еокруг оси

абсцисс

(от

Xi = 0

до

х2 = а).

2596.

Вычислить площадь катеноида — поверхности, образован­

ной вращением цепной

линии у —a c

h

вокруг оси абсцисс

(от

*1 = 0

до х2 = а).

2597.

При вращении

эллипса ^

=

1 вокруг

большой

осп

154

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2598.

Вычислить площадь веретенообразной поверхности, обра­

зованной

вращением одной

арки синусоиды y = sin х

вокруг оси

абсцисс.

Дуга тангенсоиды у = tgx

2599.

от ее точки (0 ,0 )

до ее точки

(я/4, 1)

вращается вокруг

оси абсцисс. Вычислить площадь по­

верхности, которая при этом получается.

2600. Найти площадь поверхности, образованной вращением

петли линии 9ot/2 = х (За — х)2 вокруг оси абсцисс.

2601. Дуга окружности

+

— а2, лежащая в первом квад­

кардиоиды р = о(1 +cos<p) вокруг полярной

оси.

2606.

Окружность

р = 2r sin <р вращается вокруг полярной оси.

Найти площадь поверхности, которая при этом получается.

2607.

Лемниската

p2 = o2cos2cp вращается вокруг

полярной

оси. Найти площадь

поверхности, которая при этом получается.

2608.

Бесконечная дуга линии у = <гл, соответствующая поло­

жительным значениям х, вращается

вокруг

оси абсцисс. Вычис­

лить площадь поверхности, которая при этом получается.

2609.

Трактриса

х — а (cos * + l n t g - ^ ,

у —a sin t

вращается

вокруг оси абсцисс.

Найти площадь

получающейся бесконечной

поверхности.

М о м е н т ы и ц е н т р м а с с * )

каждой

из его сторон.

2612. Доказать, что имеет место следующая формула:

ь

ь

$ (ах + b)f (х) dx = (а| + b) [ f (х) dx,

а

а

где £ — абсцисса центра

масс криволинейной трапеции с основа­

нием [а,

6], ограниченной линией y = f(x).

§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ

155

масс полуокружности

у = V г2 — х2.

2616. Найти координаты центра масс

полукруга, ограниченного осью абсцисс

и полуокружностью у = \/Гг2 — х2.

2617.

Найти центр

масс дуги ок­

ружности

радиуса R,

стягивающей

осями координат и параболой Y х+~[f у = V а .

2619. Найти координаты

центра

масс

фигуры, ограниченной

координатными

j^2

м2

в

осями и дугой эллипса ^ +

р -= 1, лежащей в пер­

вом квадранте.

X*

и*

2620. Найти

статический

момент

дуги

эллипса -2 +

= 1,

ниченной данными линиями, относительно оси

абсцисс:

2 G2 2 . y = i ~ p п у = х\

2623.

г/ = sin х и г/ = 1/2 (для одного сегмента).

2624.

у = х2 и y = Y x .

2625.

Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной

замкнутой линией у2 = ах3 — х4.

2626.

Найти координаты центра масс дуги

цепной линии у =

= ach — ,

содержащейся

между точками с абсциссами JCI = — а и

х2 = а.

2627.

Доказать, что

статический момент произвольной дуги

2628. Найти

координаты центра масс первой арки циклоиды

x = a (t —sin/),

y = a ( l — co sl).

156

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛА

2629. Найти координаты центра масс

фигуры, ограниченной

первой аркой циклоиды и осью абсцисс.

х =

2630.

Найти

координаты

центра

масс

дуги

астроиды

= a co ss t, у — a sin31, расположенной

в

первом квадранте.

2631. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной

осями координат и дугой астроиды (в первом квадранте).

2632.

Доказать, что абсцисса и ордината центра масс сектора,

ограниченного

двумя полярными

радиусами и линией, заданной

в полярных

координатах уравнением р = р (ф), выражаются так:

4>i

Фг

ps cosфd p

^ Р3 sin фd p

j p 2 d p

J p2 dip

<Pl

Ф,

2633.

Найти

декартовы координаты

центра масс сектора, огра­

ниченного одним полувитком архимедовой

спирали р = яф

(от

Фх = 0 до

ф2= я).

2634. Найти центр масс сектора круга радиуса R с централь­

ным углом,

равным 2 а.

2635.

Найти

декартовы координаты центра масс фигуры, огра­

ниченной кардиоидой

р = а(1 + созф).

2636. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры,

ограниченной правой петлей лемнискаты Бернулли

p2 = a2cos&p.

2637.

Показать, что декартовы

координаты центра масс дуги

линии, уравнение

которой дано в полярных координатах р = р (ф),

выражаются

так:

ф,|

______

ф*

______

^рс<йф)/р'-+р'* dp

\ р sin срVA(,2+ (>'J dp

*

—

Ч-«

_____

\ 1 А Р - + Р ' 2 ^ ф

\ VF + P'-dp

ф!

Ф1

2638. Найти декартовы координаты центра масс дуги лога­

рифмической

спирали

р = ае,(1

(от ф1 = я/2 до ф2 = я).

2639.

Найти

декартовы координаты

центра масс дуги

карди­

оиды р = а (1 + cos ф) (от ф! = 0 до

ф2 = я ).

2640. На каком расстоянии от

геометрического

центра

лежит

центр масс полушара радиуса R?

2641. Найти центр масс поверхности полусферы.

2642. Дан прямой круглый конус;

радиус основания его R,

высота Н. Найти расстояния от основания

конуса до центра масс

его боковой поверхности, полной поверХНОСТИ И ОбЪСМЗ,

2643.

На

каком

расстоянии от основания лежит центр

масс

тела, ограниченного

параболоидом

вращения и плоскостью,

пер­

пендикулярной

к

его

оси? Высота

тела

Л.

$ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ

157

Тяжести

треугольника.

2650.

Найти момент инерции полукруга радиуса R относи­

тельно его диаметра.

2651.

Найти момент инерции круга радиуса R относительно

его

центра.

момент инерции эллипса с полуосями а и b от­

2652. Найти

носительно обеих его осей.

2653.

Найти момент инерции цилиндра, радиус основания ко­

торого R , высота Я , относительно его оси.

2654.

Найти

момент инерции конуса,

радиус основания кото­

рого R, высота Я , относительно его оси.

R относительно

2655.

Найти

момент инерции шара

радиуса

его

диаметра.

2656.

Эллипс с полуосями а и 6 вращается

вокруг одной из

соид вращения) относительно оси

вращения.

2657. Найти момент инерции параболоида вращения, радиус

основания

которого

R,

высота

Я , относительно оси вращения.

2658. Вычислить

момент

инерции тела,

ограниченного одно-

полостным

у2

+

у2

— г2 = 1 и плоскостями

г —0 и

гиперболоидом у

у

2 =

1, относительно оси Oz.

2659. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = ех,

I/ =

0, х = 0

и х =

1, вращается:

1) вокруг оси Ох, 2) вокруг оси

Оу.

Вычислить момент инерции

получающегося тела относительно

оси

вращения.

2660. Найти момент инерции боковой поверхности цилиндра

(радиус основания R,

высота

Я )

относительно его оси.

2661. Найти

момент

инерции

боковой

поверхности

конуса

(радиус основания R,

высота

Я ) относительно его оси.

158

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2662.

Найти момент инерции поверхности шара радиуса R от­

носительно его диаметра.

Т е о р е м ы Г у л ь д и н а

2663.

Правильный

шестиугольник со стороной а вращается

вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом по­

лучается.

Эллипс с осями ААх = 2а и BBv — 2b вращается вокруг

2664.

прямой,

параллельной

оси ААх и отстоящей от нее на расстоя­

два соседних

острия.

Найти

объем и поверхность тела, которое

при этом получается (см. задачу 2630).

2666. Фигура, образованная первыми арками циклоид

н

x = a(t —sin /),

у = а ( 1 — cos/)

x = a (t —sin/),

y = — a ( l — cos/),

вращается вокруг оси ординат. Найти объем и поверхность тела,

которое

при

этом

получается.

2667.

Квадрат вращается

вокруг прямой, лежащей в его пло­

скости и проходящей через одну

из его вершин. Пря каком поло­

жении

прямой относительно квадрата объем получающегося тела

вращения

будет

наибольшим?

Тот же вопрос для треугольника.

§ 2. Некоторые задачи физики

2668. Скорость тела дается формулой

v = Y 1 + /

м/с. Найти

путь, пройденный телом за первые

10 с после

начала

движения.

2669. При

гармоническом

колебательном

движении

по

оси

dx

абсцисс около начала координат скорость -п- дается формулой

(/ — время,

Т —период

колебания,

<р0 — начальная

фаза).

Найти

положение

точки

в момент времени /», если

известно, что в

мо­

мент /i она находилась

в точке х = хг.

Сила / взаимодействия двух точечных масс определяется по

формуле f — k г~

, где

гп и

М — массы

точек,

г — расстояние

между

ними,

а

к —коэффициент

пропорциональности,

равный

6,67 - К Н 1 м*/кг •са (закон Нютона). Учитывая это, решить задачи

2670—2678. (Предполагается,

что

плотность постоянна-)

* 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ

190

2670.

Стержень

АВ,

длина

которого

I, масса

М,

притягивает

точку С массы от, которая

лежит

на его продолжении

на рас­

стоянии а от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаимо­

действия

стержня

и точки. Какую

точечную массу

нужно поме­

стить

в А, для

того чтобы она действовала на С с той же силой,

что и стержень

АВ? Какую работу совершит сала притяжения,

когда точка, отстоявшая от стержня на расстоянии /ч,

прибли­

зится

к нему на

расстояние г2, двигаясь вдоль прямой, состав­

ляющей продолжение стержня?

г и массы М дейст­

,

2671. С какой силой

полукольцо радиуса

вует на материальную точку

массы от, находящуюся в его центре?

2672. С какой силой проволочное кольцо массы М, радиуса R

действует на материальную точку С массы от, лежащую

на пря­

мой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его

плоскости. Расстояние от точки до центра кольца равно а

Какую

работу совершит сила притяжения при перемещении точки из

бесконечности в

центр кольца?

2673.

Используя

результат

предыдущей

задачи,

вычислить,

с какой силой плоский диск, радиус которого равен R, масса М,

действует

на материальную точку массы от, которая лежит на

его оси на расстоянии а от центра.

2674. Используя

результат

предыдущей

задачи,

вычислить,

с какой силой действует на материальную точку массы от беско­

нечная

плоскость,

на

которой

равномерно

распределена масса

с

поверхностной

плотностью о.

Расстояние от точки до плоскости

равно а.

2675*. Радиусы

оснований усеченного прямого круглого кону­

са

равны

R и г,

выеота

к, плотность у. С какой силой действует

он на материальную точку массы от, помещенную в его вершине?

2676.

С какой силой материальная ломаная

притя­

гивает материальную точку массы от, находящуюся в начале коор­

динат? (Линейная плотность равна у.)

2677.

Доказать,

что материальная ломаная у = а| х| + 1

(а^О )

притягивает материальную точку, находящуюся в начале коорди­

нат, с

одной и

той

же

силой

независимо от а, т. е. независимо

от величины угла между

сторонами

ломаной.

2678*. Два одинаковых стержня (длиной I и массы М каждый)

лежат

на

одной

прямой на расстоянии I один от другого. Под­

считать силу их взаимного притяжения.

2679.

Капля

с

начальной

массой М падает под действием силы

тяжести и равномерно испаряется,

теряя ежесекундно массу, рав­

ную от. Какова работа силы тяжести за время от начала движе­

ния до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пре­

небрегаем.)

2680. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу

песка

в форме усеченного конуса

высоты Я ,

имеющего радиусы

160

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

оснований R

и г ( г < Я ) ?

Плотность равна d (песок поднимают

с поверхности земли, на

которой покоится большее основание ко­

нуса).

2681.

Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: вы­

сота 140

м,

ребро основания (квадрата) 200 м. Плотность камня,

2682. Вычислить

работу, которую

необходимо

затратить, для

того чтобы выкачать

воду,

наполняющую цилиндрический резер­

вуар

высотой Н = 5 м,

имеющий в

основании

круг радиуса

R = 3

м.

обращенного вершиной вниз конуса,

высота которого

равна Н ,

а радиус основания R. Как изменится результат, если конуо

будет обращен вершиной кверху?

2684.

Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы

выкачать воду,

наполняющую полусферический резервуар радиуса

R = 0,6

м.

2685.

Котел имеет форму параболоида вращения

(рис. 50).

Радиус основания R = 2 м, глубина котла Н —4 м. Он

наполнен

жидкостью, плотность которой d = 800

кг/м3. Вычислить

работу,

которую

нужно

произвести, чтобы выкачать жидкость

из

котла.

2686.

Найти

работу, которую нужно затратить, чтобы выка­

чать воду

из цистерны,

которая

имеет

следующие размеры

(рис. 51):

а = 0,75 м, b =

1,2 м, Я =

1 м .

Боковая поверхность

цистерны — параболический

цилиндр.