книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

\ п

ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ

1

> ъ V Ч)

в — а—

ности в точке, откуда лошадь начинает бег,

расположен забор.

С какой скоростью перемещается тень лошади

вдоль забора в мо­

-4041.

Доказать,

что функция у = ( х г — 1)" удовлетворяет соот­

ношению

(х2- 1)у<я+2)+ 2А:у<я+1>-/г(п + 1) у(я)= 0.

1042.

Доказать,

что функция

у — е*si n*

удовлетворяет соот­

ношению у" — 2у' + 2у = 0,

а функция у = е~х sin х — соотношению

у" + 2 у '+ 2 у = 0.

1043-

Доказать,

что функция у = —щ удовлетворяет соотноше­

нию 2у '2 = (у — 1)у"-.

_____

1044. Доказать,

что функция у = ]/ 2х — х2 удовлетворяет соот­

ношению у3у"-f 1 = 0 .

1045.

Доказать,

что функция у = е*х+ 2е-х удовлетворяет соот­

ношению у"' — 13у' — 12у = 0:

у = е^к

ег

1046.

Доказать,

что функция

удовлетворяет

соотношению ху" + ~ у' —

у = 0 .

1047.

Доказать, что функция у = cose*-)-sin e*

удовлетворяет

соотношению у" — у’ + уе2* = 0.

1048.

Доказать,

что функция

у = Л sin (оit + 6>Ф) +

В cos (<о< + м0)

(Л, В, ©, ой0 — постоянные)

удовлетворяет соотношению

1049.

Доказать,

что функция

а1епх -|- a,c-r,x + а3cos пх -f о4 sinпх

1052.

Доказать,

что функция у = (x-f'[/x2 -f l)feудовлетворяет

соотношению (1 + а2) у" + ху' — k'hj = 0.

цШ

з

h# \2

не изменится,

1053.

Доказать,

что выражение S = ^

2

)

если

1

положить

то г/Г

заменить у на —, т. е. если

3

/ыГ\а

„

у\

§ 5, ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

75

1054. Дано y ~ f (x). Выразить

d-x

dxdy

d-y

Показать,

dy- через

dx*'

что формулу Ri _ 0 +У'3) 7 . можно

преобразовать

к виду

R ^ 3 = 7 ^ 7 T

+

'еРх\ 2/з

' ©

Г

№

1055.

Дано: F( x) =

f (х)<р(х),

при

этом f'(x)((>'(x) = C.

Дока­

зать, что

г

,

чГ .

2С

.. F” _

г

I

Ф"

Г

F ~ / + ф + / •ф и T ~ ~ f + V

Ф у н к ц и и , з а д а н н ы е в н е я в н о м в и д е

1050.

Мх* + a V

= а262;

= ?

1057.

* 2+ y2 = r2;

g - =

?

1058.

y = tg (* +

y);

0 =

?

1059.

s = l + ^ ;

g

= ?

1060.

у3+

х3— Заху = 0;

у" = ?

1061.

y = sin(x +

y);

y" =

?

1062.

е*'У = ху;,

у" = ?

1063. Вывести формулу для второй производной функции,

обратной

данной y = f (х).

у" (х)

1064.

еу + л;у = е;

найти

при

х = 0.

т—tf

1065.

у1 = 2рх\ определить

выражение k =

у

(1 -у у ■•*)•*

1066.

Убедиться

в том,

что

из

yz + x2 = R2

следует

k = -R , где

1-У" 1 _

У (И-у'*)*'

что

если

1067.

Доказать,

то

ох2+

2 Ьху

су24- 2gx 4- 2/у4-^ = 0,

______ алс+ бу+ g

cPi/ _

>4

djc

6лс+

с[/4-/

и

d*2 — (feA'-t-ci/4-/)4’

где Л — постоянная

(не зависящая от х и у).

1068.

Доказать,

что

если

(а + Ьх)еМх = х,

то

Ф у н к ц и и , з а д а н н ы е п а р а м е т р и ч е с к и

1069.

х = а1\

У= ЬР\

d*x_

dy2 _

’

£1670. x = a c o st,

у = a sin t\

d \ — ->

dx2 — '

1071.

x = acos/,

у =

b sin/;

dhj

= ?

dx’

01072. х = а(ф — sin<p),

t/ = a<l — cos

dy

— ?

ф ) ;

dx-

1073.

1)

х = а с os3/,

y = asin3/;

dhf

= ?

dx*

2)

jc = acos2 /,

у —a sin2/;

d~tt

= ?

dx-

1074.

1)

х =

In /,

у =

/2 — i ;

d'ztf

= ?

dx-

2)

x =

arcsin/,

У =

1 п (1 -/ 2)}

d-if

= ?

dx*

1075.

x = a/cos/,

у = а/ sin/;

dx1

= ?

y = f(x),

1076.

Доказать,

что функция

заданная

параметриче-

сними уравнениями

у = с 'c o s/, x = e<sin/,

удовлетворяет соотно­

шению у" (х + у)2 =

2 (icy' — у ).

1077.

Доказать,

что функция у —/(.«),

заданная

параметриче­

ски уравнениями ty — 3t — ii\

х — 3/2, удовлетворяет соотношению

x =

sin/,

y =

sin&/,

удовлетворяет соотношению

1079.

Доказать, что если

x = f(t )c o s t —f (t) sin/,

у=/(/) sin/ + /' (/) cos f,

TO

ds* - dx* + dif = [/ (/) + f (OF dt\

У с к о р е н и е д в и ж е н и я

1080.

Точка движется

прямолинейно, причем s=

/3 — / + 5.

Найти ускорение а в конце второй

секунды (s выражено

в мет­

рах, / — в секундах).

1081.

Прямолинейное

движение

происходит в соответствии

с формулой s — i2 —4/4*1.

Найти скорость и ускорение движения.

1082.

Точка движется

прямолинейно, причем s= g-sin

+ SQ.

Найти ускорение в конце

первой секунды (s выражено

в санти­

метрах,

/ — в секундах).

78

ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Д и ф ф е р е н ц и а л ы в ы с ш и х п о р я д к о в

1096.

у =

<Ру=*?

Ю97. у = х"1;

?

1098.

у =

(х + 1);1 (х — I)2; day =

? 1099.

у = 4 ~ *!;

day =

?

1100.

у = a rc tg (^ tg x );

day = ?

1101.

y = V W T ^ ;

day =

?

1102.

y =

sin a x ; d3y = ?

ПОЗ.

pacos3( p - a a sina cp = 0;

dap =

?

1105. y = l n | ^ ;

x =

tg/;

выразить

<Py

через:

1)

x

и dx,

^

^1106^'y — sinz; 2 =

ax‘,

x =

выразить

d2y

через:

1)

г

и dz,

2)

x и dx, 3) t и dt.

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ

§ 1. Поведение функции

1107.

Показать, что точка х= 0 есть точка минимума функции

у = Зх4 — 4х3 -j- 12.x2 + 1.

1108.

Исходя непосредственно из определения возрастающей и

убывающей функции и точек максимума и минимума,

показать,

что функция у = х3 — Зх+ 2 возрастает в точке

*i = 2,

убывает

в точке х2 = 0, достигает максимума в точке ха =

—1 и минимума

в точке х4 = 1.

1109.

Так же, как в задаче 1108, показать, что функция у =■

= cos 2х возрастает в точке х4 = Зл/4, убывает в

точке х2 = я/6,

1110.

Не пользуясь

понятием производной, выяснить поведе­

ние данной функции в точке х = 0:

1) у =

1 — X4;

2) г/= х3 —х3;

3)

у = У х ;

4)

у = У х 2-,

5)

г/= 1-у 'х 7;

6)y=|tgxj;

7)

г/= |In ( х + 1) |;

8)

у =

е ~ х

9) t/ = ]/x3-fx2.

1111.

Показать,

что

функция

у = In(х2-J-2х — 3)

возрастает

в точке *1 = 2, убывает

в точке х2 = —4 и не имеет стационар­

ных точек.

1112.

Выяснить

поведение функции

y = si nx4 - cos x в точках

*1 = 0,

х2= 1 , х3= — л/3

и х4 = 2.

г/= х — Inx в точках х4 =

1113.

Выяснить поведение функции

= 1/2,

хг = 2, х3 = е

и х4=1 и показать,

что если

данная функ­

ция возрастает в точке

х = а > 0,

то

она убывает в точке 1/а.

1114.

Выяснить

поведение функции

у — х arctgx

в точках

х4 —1.

—1 и х3 = 0.

1115.

Выяснить поведение функции

при

х^О,

при

х = 0

в точках -г, = 1/2, х2 = —1/2 и х3 = 0.

80

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ

§ 2. Применение первой производной

Т е о р е мы Р о л л я и Л а г р а н ж а

1116.

Проверить

справедливость теоремы Ролля для функции

у = х3 + 4х2 — 1х — 10

на отрезке

[— 1, 2].

у =

1117.

Проверить

справедливость теоремы Ролля для функции

In sin х на

отрезке

[я/6,

5я/6].

1118.

Проверить

справедливость теоремы Ролля для функции

t/ =

4sin*

на отрезке

[0, я].

1119.

Проверить

справедливость теоремы Ролля для функции

у = У х 2 —Зх +

2 на

отрезке

[1,

2].

1120.

Функция

у = — г

принимает

равные значения

на кон­

цах

отрезка [— 1,

1]. Убедиться

в том,

что производная

от этой

функции

нигде

на

отрезке

[— 1, 1] в

нуль не

обращается, и

объяснить такое уклонение от теоремы Ролля.

1121.

Функция

у = \х\ принимает равные значения на

концах

отрезка [— а,

а]. Убедиться

в том, что производная от этой функ­

ции

нигде на

отрезке

[— а,

а] в нуль не обращается, и объяснить

такое уклонение от теоремы Ролля.

1122. Доказать

теорему: если уравнение

aQxn+ ai*™-1 +

■••+ an- 1* = 0

имеет положительный

корень х = х0. то

уравнение

па0хп~1 +

(п — 1) czix"-2+ . . . + an-i = 0

также имеет положительный корень и притом меньший хв.

1123. Дана

функция f(x) = 1 + хт (х — 1)", где т и и — целые

положительные

числа.

Не вычисляя производной,

показать, что

вале

(0,

1).

1124.

Показать, что уравнение х3 — З х с

= 0 не может иметь

двух различных корней в интервале (0, i).

1125.

Не находя производной функции

f(x) = (x ~ 1 ) ( х - 2 ) ( х - 3 ) ( х

— 4),

выяснить,

сколько действительных корней имеет уравнение /' (X) =з

= 0, и указать интервалы, в которых они лежат.

1126.

Показать, что функция / (х) = хп+ рх -\-q не может иметь

более

двух действительных корней при четном п и более трех

При нечетном п.

1127.

Написать формулу Лагранжа для функции //= sin3x на

отрезке

[Xi, х«].

1128.

Написать формулу Лагранжа для функции у = х{ \—1пх)