Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ			91
1304. Убедиться	в том, что	графики функций	у = ± е ~ х и
у = е~х sinx (кривая	затухающих	колебаний) имеют общие каса
тельные в точках перегиба линии		у = е~-v sin JC.
1305. При каких значениях а		и b точка (1,3) служит точкой
перегиба линии у = ах3+ Ьхг?

1306. Выбрать а и р так, чтобы линия хау+ ссх + рг/= 0 имела точку А (2; 2,5) точкой перегиба. Какие еще тонки перегиба будет она иметь?

1307. При 'каких значениях а график функции У — имеет точки перегиба?

1308. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции не может совпадать с точкой экстремума этой функции.

1309. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функ ции, между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна абсцисса точки перегиба графика функции.

Рис. 32

1310. На примере функции //= x4 + 8x3+ 18х2 + 8 проверить, что между абсциссами точек перегиба графика функции может и не быть точек экстремума (tp. с предыдущей задачей).

1311. По графику функции (рис. 30) выяснить вид графиков ее первой и второй производных.

1312. То же сделать по графику функции (рис. 31).

1313. Выяснить вид графика функции по данному графику ее производной (рис. 32).

92		ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ II ИХ ГРАФИКОВ
1314.		Выяснить вид графика функции по данному графику ее
производной (рис. 33).
1315.		Линия	задана		параметрически				уравнениями		х = ф(/),
y = ip(t).		Убедиться в том, что значениям							t,	при которых выра
жение		(р- меняет			знак	(штрихом обозначено дифференциро
вание по		(), а ср' (О Ф 0,			соответствуют точки					перегиба	линии.
1316.		Найти	точки	перегиба			линии	x =	t2,	£/= 3(-j-/:t.
1317.		Найти	точки	перегиба			линии	х = е		£/= sin*.
§		4. Дополнительные				вопросы. Решение уравнений
	Ф о р м у л а К о ш и и п р а в и л о Л о п и т а л я
1318.		Написать формулу				Коши для			функций /(x) = sinx и
ф(х) = 1пх на отрезке [а, Ь],						0 < а < й .
1319.		Написать формулу Коши для функций f(x) = е 2х и ф (х)=а
= \ ф е х	на отрезке [а,			Ь\.						Коши для функций
1320. Проверить справедливость формулы
/(х) = х3		и ф(х) = х2+1			на отрезке [1, 2].
1321.		Проверить справедливость формулы Коши для функций
/(x) = sinx и <р(х) = х + cosх						на отрезке [0, я/2].
1322.		Доказать, что			если	на отрезке [a, b\ имеет место соот

ношение |/' (х) 15* |ф' (х) |и ф' (х) не обращается в нуль, то спра ведливо также соотношение [ Д/(х)|^| Дф(х) |, где Д/(х)=/(х+Дх)—

—/(х),	Дф (х) = ф(х+ Дх) —ф(х), а х и		х + Дх — произвольные
точки отрезка [а, й].		на отрезке [х,	1/2]	(х^О)	приращение
1323.	Доказать, что
функции	у = In (1 + х2)	меньше приращения		функции	i/= arctgx,

на отрезке [1/2, х| — наоборот: Д arctgx< Д In (1 + х2). Пользуясь

последним соотношением,			показать, что на отрезке [1/2, 1]
		arctgx — In (1+ х 2) 3=		1п2.
В задачах		1324—1364 найти пределы.
-1324.	lim	г v — I о	1325.	lim	In COS X
	А•о У'х— у'а
о 1326.	,.	i"1' — I	1327.	lim
о 1326.	lim	—.—-	1327.	lim
	л--О	S,,IA'		л —0 el1* —cos fix
9 1328.	lim	х — г1rc(:< х	1329.	lim	ea V x - A
				x —>o	I' Sin by
1330.	lim	X— Sill X	1331.	lim	я — 2arctg jr
		-tgx ■		x->0°	Inf 1-1 1
				x->0°	Inf 1-1 1
1332.	lim	xm — am	1333.
1332.	lim	x n — an ‘	1333.	к —. n Cx — d A
	x-*a	x n — an ‘		к —. n Cx — d A

A — Sin A

§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ

1334.	lim	1
	х—ОCOS А — 1
1336.	П т	ах— Ъ*
	х -о К I —
1338.	lim	х — sin х
	t _ 0	х — sin х
		^ л	Л
1340.	lim	^~~"б — 2 ~		1
	Х - + О	I		1
		cos •*~Ь~2—		1

ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ					93
	1335.	П т
		А '— О S1I1 X COS А
	, 337.	П т - у -*,'" ^ Т т°}«
		х_»а	In (ех	е )
	1339.	lim -т-------—
\|		А-» 0	‘й-1- *
\|			1—А»
1	1341.	lim	1—А»
	1341.	lim	sin62а
		А — О	sin62а
		А — О

	1п(1 + Х У - 4 Х + 1 Х *—-д л-з+А1
1342.	lim		6 sin а —6а + аЗ
	х —* О		6 sin а —6а + аЗ
,343.	lim ■" sln 2х .				1344.	lim	In A
	х _ 0	In Sin А				x —*0 In Sin A ■
		l n ( l - A ) + t g "					(x”e~*).
1345.	lim ---------;--------- — .				1346.	lim	(x”e~*).
						x -+ -J- со
1347.	lim	[(я — 2 arctgx) lnx].
	X-+OQ
1348.	lim	fjrsin —1.			' 3 4 9 .
	A- OOL		* J
' 3 5 0 .	lim	[ ( a - - ф		- J t g г г ] .	, 3 5	1 . 1	™ ^	- ^ ) .
1352.	Hmf c t gx —				1353.	lim — -— ?--------- .
	ж-* ° '			x		* _>1 cos ~		In (1 — A)
1354.	lim	[,/ (a +		x) (6 + x) (c +	x) — x].
	X —* CO
1355.	lim	[JC (e1/x — 1)].			1356.	lim [JCV/*2].
						A — 0

1357. lim (tg x p - * . x — n/2

1359. l i m x M ^ - H .

A —.0

1361. lim (ex + x)Vx.

X-*OQ

1363. l i m ( l + - U x.

x~*oo V

X /

1358.	lim JCsinx.
	x —*0
1360.	lim (l/x)^*.
	x —.0	,	7UC
		,	7UC
1362.		lgfcT
1362.	Н т ( 2 - - * Л
	A - » a V	a J
1364.	lim Г1 п ( 1 + А ) 1+*			1
	*-.0 L		-	T }

1365.	Проверить,	что lim	существует, ноне может быть
		* - . м * + яп*
вычислен	по правилу	Лопиталя.
1366.	Значения какой функции (при достаточно больших зна
чениях х)	больше: а*ха или		хл?

94	ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ
1367. Значения какой функции (при достаточно больших зна
чениях х)	больше: /(х) или 1п/(х), при			условии,			что	/(х)-»-оо
при х-»-оо.			е — (1 + х)1/* — бесконечно
1368.	Пусть x-vO . Доказать,	что
малая первого порядка относительно х.					х) —е In In (е + х ) —
1369.	Пусть х -»-0 . Доказать,	что	In (1 +
бесконечно малая второго порядка относительно х.
1370.	К окружности радиуса г проведена касательная в точке А
(рис. 34)	и на ней отложен отрезок AN, длина						которого равна
	длине дуги AM. Прямая MN пересе
	кает	продолжение				диаметра АО в
	точке	В. Установить,					что
		Q	Q	_г (a cosа — sinа)
				"	sin а —а			*
	где а — радианная					мера		централь
	ного	угла,		соответствующего дуге
	AM, и показать,				что Н т О В — 2л
							a-*Q

А с и м п т о т и ч е с к о е и з м е н е н и е ф у н к ц и й и а с и м п т о т ы л и н и й

1371. Проверить, исходя непосредственно из определения, что

прямая у = 2х + 1 есть асимптота					линии у = 2*4				1•
1372. Проверить, исходя непосредственно из определения, что
прямая х + у = 0 есть асимптота				линии			х2у+ху2=1.
1373.	Доказать,		что линии (/ = у^ха+ Зх2 и y — -^zу асимпто
тически приближаются друг к другу						при x -v d z o o .
1374. Доказать,			что функции
	/ (х) =		хв+ 2х4 + 7х2 + 1			и ф (х) = х3 +			х
асимптотически равны друг другу					при х -^ + оо. Воспользоваться
этим рбстоятельством и вычислить					приближенно /(115) и /(120).
Какую погрешность сделаем, положив / (100) = <р (100)?
В задачах		1375— 1391 найти		асимптоты данных					линий.
	х9				1376.		ху =	а.
1375.	4а*
	«/= х2— 4х-)-5"						у = с	а3
1377.					1378.			4 (х —Ь)3 '
1379.	2«/(х+1)2 = х3.			1380.			у3= а3 — х3.
1381.	1/3 =	6х2 + х3.		1382.			у2 (х2 + 1) =		х2 (х2 - 1).
1383.	XI/’ +	х2у =	а3.

§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ

»5

1384.	y(xt - 3 b x + 2bt) ^ x t -3 aji* + ^ .
1385.	(у + х + 1)2 = JC2+ 1 .
1386.	y = xln (е +			1387.		у = хех.
1388.	y — xeilx-\-1.			1389.		у =	х arcsecx.
1390.	y = 2 x -}-a rc tg £ .
1391.	у — —д ^ а , где / (х) — многочлен							(а=£ 0).
1392.	Линия	задана	параметрически				уравнениями				х = (р(И),
у = ар(/). Доказать, что асимптоты,					не	параллельные				координат
ным осям, могут быть только при тех						значениях t =				t0,	при кото
рых одновременно
		lim ф (0 =		со и lima\|)(^) = oo.
		i — to		/— /о
При этом, если		уравнение асимптоты есть					у = ах + Ь, то
	a = l m i j\| \| ,			b = lim	[if (0 -			оф (01-
Как найти асимптоты, параллельные координатным осям?
1393.	Найти	асимптоты		линии х =		y = f^ j -
1394.	Найтн	асимптоты линии х —f -2е‘1						У-	te!
1395.	Найти	асимптоты		линии х		21			Р
					1—Г2. У= =l - / 2>
«олл	т I «*	асимптоты		декартова листа * =							За*3
1396.	Наити								» У“ Т+&
						2 _g			g
1397.	Найти	асимптоты		линии х = ^ ц ,				У = t ^.г_ 4у •
О б щ е е и с с л е д о в а н и е ф у н к ц и й и л и н и й
В задачах 1398— 1464			провести		полное			исследование данных
функций и начертить их			графики.					1
1398.	У = тф ^ -			1399.		у =
								1- * а 1
1400.	У = ^ г г -			1401.		у ( х ~ \) (х- 2)					(х — 3) = 1.
1402.	y = ^	j .		1403.		у =		(х2 - 1 ) 3.
1404.	у — 32х2 (х2— I)3.			1405.		у =		' + 4 х 2.
								*	а
1406.	у = * 2+ -			1407.		у =		2л: — 1
								(ДС-02 ’

QS	ГЛ. IV. исследование функции и их графиков

1 4 0 3 .	У	X3
		3 —X- ■
1 4 1 0 . У (Х - 1) = * 3.
1 4 1 2 .	У	(* + I)3 ‘
1 4 1 4 .	ху = (v2 — 1) (х — 2).
1 4 1 6 .		X

1 4 1 8 .	У='х-
1 4 2 0 . у = 1п (а2 + 1).
1 4 2 2 .	у = A3e_Jf.
	У	1
1 4 2 4 .		ех _ 1 •
1 4 2 6 .	^ = ( 1 + * Т -
1 4 2 8 .	У = А51ПА.
1 4 3 0 .	У= COSX— 111 COS X.

1 4 0 9 . у 2 (* -[-1)- ‘

1 4 1 1 .	у(А3 — 1) = А4.
1 4 1 3	и	х3 + 2х'+ 7х—3
п и .	У	2х2
1 4 1 5 . ( у —а ) а 4 + 8 = 0 .
1 4 1 7 .	у = х2е~*.
1 4 1 9 . у — X— 1п (а 1 ).
1 4 2 1 .	у = х2е~х‘.
1 4 2 3 .	у = хе~х212.
1 4 2 5 . у = А + — .
1 4 2 7 .	у =	а 4- sin а.
1 4 2 9 . у = In c o s а .
1 4 3 1 .	у — х — 2 агctg А,

1 4 3 2 .

1 4 3 3 .

1 4 3 4 .

1 4 3 6 .

1 4 3 8 .

1 4 4 0 .

1 4 4 2 .

1 4 4 4 .

1 4 4 6 .

1 4 4 8 .

1 4 4 9 .

1 4 5 1 .

1 4 5 3 .

1 4 5 4 .

1 4 5 5 .

1 4 5 6 .

1 4 5 8 .

1 4 6 0 .

1 4 6 2 .

y = exl~ u +3 (без отыскания						точек		перегиба).
i/ = esinT — sinA			(без	отыскания			точек перегиба).
£ II гп	1				1 4 3 5 .		if = а 2 (а 2 - 4 ) 3.
(3у + а)3 = 27х.					1 4 3 7 . у = У (х + 1 )2- У х 2
У ~ (х — 1)2/а (х + I)3.					1 4 3 9 .		у3 =	6а2- а3.
(У ~ х)2 = х5.					1 4 4 1 .		( у —	а2)2 = а6.
У, = х?+1.					1 4 4 3 .		у 2 = А3 — А.
tf = х ( х -		I)2.			1 4 4 5 .		у2 = а2 (а — 1).
	_ О				1 4 4 7 .	А2у + Ау2 = 2 .
^	Зх	•

У~ = х2 ^ Г 7 (строфоида)					(а >	0).
9у2 — 4 а 3 — а*.					1 4 5 0 .		25у2 = а2 (4 — а2)8.
if = X1— А4.					1 4 5 2 .		а2у2 = 4 (а — 1 ) ,
у2 (2а — к) = а3			(циссоида) (а >■ 0 ).
А2!/2 = (а — 1) (а — 2).
A-V = (а +		а)3 (а —а)		(конхоида)			(а > 0).
16у2 = (а2 — 4)2 (1 - А2).					1457.		у 2 = (1 — А2)3 .
у2х4 = (а2 — I f .					1 4 5 9 .		у-=2гхс гх.
у = е1/х — х.					1 4 6 1 .		у = с*’ с.

§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

1463.

г/ = 1— хе '1*1

при х-

=0,

у — 1 при

х = 0.

1464.

г/= х2-4|х| + 3.

В задачах

1465 — 1469 исследовать функции,

заданные пара

метрически, и

начертить их графики.

1465. х —

у= /э — 3/+1.

1466.

х = ^ -3 я ,

у =

t3 — 6arctg t.

1467.

i+ fl ■

1468.

x — te?, y — te-‘.

у = 2а sin / — а sin2/

1469.

х = 2а cos / — a cos 2/,

(кардиоида).

В задачах

1470— 1477

исследовать

линии,

уравнения которых

заданы в полярных координатах (см.

с н о с к у

на с.

26).

1470.

p =

asin3cp

(трехлепестковая

роза).

1471.

p =

atg<p.

1472.

р =

а (1 +

tg <р).

1473.

p = a(l+ co s< p )

(кардиоида).

1474.

p =

a (l +6cos<p)

( а > 0 ,

й > 1 ) .

1475.

p = 'j/r ^

(жезл).

1476.

р =

~ arctg

1477.

p = ] / l — t2,

<p =

arcsin^ + VAl — t2.

В задачах

1478— 1481

исследовать и

построить линии,

пред

варительно приведя их уравнения к полярным координатам.

1478.

(х2 +

у2)3=

4a2x2t/a.

1479.

(х2

у2) х =

агу.

1480.

х* + ^ = а2 (х2 + у2).

1481.

(х2 +

у2) (х2 -

у2)2 = 4х2<Д

Р е ш е н и е у р а в н е н и й

1482.

Проверить,

что

уравнение

х3— х2 — 8 х + 12 = 0

имеет

один простой

корень

Х! = —3

и один

двукратный

корень х.2 = 2.

1483.

Проверить, что уравнение х*

2х3 — Зх2 — 4х + 4 = 0 имеет

два двукратных корня х2= 1

и х2 = — 2.

1484.

Убедиться в том, что уравнение х arcsin х = 0 имеет только

один действительный

корень х = 0 и притом двукратный.

1485.

Показать,

что

корни

уравнения

xs i nx = 0

имеют вид

y = kn (k = 0,

± 1 ,

± 2 ,

...),

причем

значению

k — О соответствует

двукратный корень. Какова кратность остальных корней?

1486.

Показать, что уравнение х3— Зх2 + 6х — 1 = 0

имеет един

ственный действительный простой корень, принадлежащий интер

валу (0, 1), и найти		этот корень	с точностью до 0,1,	пользуясь
методом	проб.
1487.	Показать,	что уравнение	х4 + 3х2 — х — 2 = 0	имеет два

(и только два) действительных простых корня, принадлежащих

соответственно	интервалам (— 1, 0) и (0, 1). С помощью метода
проб найти эти	корни с точностью до 0,1.

4 Г. Н. Берман

98		ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ
1488.		Показать, что	уравнение [(х) = а ф	0, где / (^ — много
член	с	положительными	коэффициентами,	показатели степеней
всех	членов которого нечетны, имеет один и только один дейст

вительный корень (который может быть и кратным). Рассмотреть


случай,	когда	а = 0.		Найти с точностью до 0,01 корень уравне
ния х3 + З х — 1 = 0,			комбинируя метод проб с методом хорд.
1489.	Доказать		теорему: для того чтобы уравнение х3+рх+<7=0
имело три простых			действительных корня,			необходимо и доста
точно, чтобы		коэффициенты р и q			удовлетворяли		неравенству
4р3 -j- 27q2< 0.		Найти		с точностью до	0,01	все корни	уравнения
х3 —9х + 2 = 0,		комбинируя метод проб с методом хорд.
1490.	Показать,		что уравнение х4		2х2 — 6х + 2 = 0 имеет два

(и только два) действительных простых корня, принадлежащих

соответственно интервалам (0, 1) и	(1,2).	Комбинируя метод хорд
с методом касательных, найти эти	корни с точностью до 0,01.
1491. Показать, что уравнение	хь+	5х + 1 = 0 имеет единст

венный действительный простой корень, принадлежащий интервалу

(— 1, 0), и найти этот корень с точностью до 0,01,	комбинируя
метод хорд с методом касательных.
В задачах 1492— 1497 приближенные значения	корней урав

нения следует находить комбинированием трех методов: метода

проб, метода хорд и метода касательных.			(При необходимости
следует	пользоваться	таблицами значений	функций, входящих
в уравнение.)		уравнение хе* = 2 имеет только один дей
1492.	Показать, что

ствительный корень, который принадлежит интервалу (0, 1), и найти этот корень с точностью до 0,01.

1493. Показать,	что уравнение x l n x = a				не имеет вовсе дейст
вительных корней	при а < — \/е,		имеет один действительный дву
кратный корень при		а ~ — 1/е, два действительных простых корня
при — 1 / е < а < 0	и	один действительный			пропой	корень	при
а ^ 0 . Найти корень		уравнения	x l n x =	0,8	с точностью до		0,01.
1494. Показать,	что так называемое			уравнение		Кеплера	х —

= esinx- f- a, где 0 < в < ; 1 , имеет один простой действительный ко рень, и найти этот корень с точностью до 0,001 при г = 0,538 и а = 1.

1495. Показать, что уравнение ах = ах при 1 всегда имеет два (и только два) действительных и положительных корня, при


чем один		корень равен 1, а второй		корень меньше,	больше		или
равен	1	в зависимости от того, будет ли а больше,			меньше		или
равно е.		Найти с точностью до 0,001		второй корень этого урав
нения	при а = 3.				а Ф 0,
1496.		Показать, что уравнение x2arctgx = a, где				имеет
одни действительный			корень. Найти	с точностью до 0,001		корень
этого	уравнения при		a — 1.
1497.		При каком основании а системы логарифмов существуют

числа, равные своим логарифмам? Сколько таких чисел может быть? Найти такое число (с точностью до 0,01) при а = 1/2?

§5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

§5. Формула Тейлора и ее применение

		Ф о р м у л а Т е й л о р а д л я м н о г о ч л е н о в
1498.		Разложить	многочлен	х* — 53+ 2 —3* + 4 по степеням
двучлена		х —4.		а3 + Зх2 — 2х + 4 по степеням дву
1499.		Разложить	многочлен
члена	* + 1 .
1500.		Разложить	многочлен	* 10 — 3*5+ 1 по степеням двучлена
х — 1.		Функцию f(x) = (x2 —3 * - f I)3 разложить			по степеням х,
1501.
пользуясь формулой Тейлора.
1502.		/(а) — многочлен четвертой степени. Зная,			что/(2) = — 1,
/' (2) =	0,	7" (2) = 2,	Г (2) = — 12, /iv (2) = 24, вычислить /(— 1),
Г (0),	f (1).		Ф о р м у л а Т е й л о р а

1503. Написать формулу Тейлора я-го порядка для функции

у= -- при дс0 = — 1.

1504. Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) п-го порядка для функции у = хех при * 0 = 0.

1505. Написать формулу Тейлора п-го порядка для функции

у = У х		при *о = 4.
1506.		Написать формулу Тейлора 2/г-го порядка для функции
ех-4-егх			при *о = 0.
У= — ~2	—
1507.		Написать		формулу Тейлора n-го				порядка	для функции
у = * 3 In * при *„ =				1.
1508. Написать формулу Тейлора 2л-го порядка для функции
г/ = si п2 *		при * о =		0 .
1509.		Написать формулу Тейлора 3-го						порядка для функции
у = г^ У		при *о = 2 и построить					графики	данной	функции и ее
многочлена Тейлора 3-й степени.
1510.		Написать формулу Тейлора 2-го						порядка для функции
у = tg *		при	*о = 0	и	построить		графики	данной	функции и ее
многочлена Тейлора 2-й степени.
1511.		Написать		формулу Тейлора 3-го				порядка для функции
г/ = arcsin *			при * 0= 0 и			построить графики данной функции и
ее многочлена Тейлора 3-й степени.
1512.		Написать		формулу Тейлора 3-го				порядка для функции
у = - ~	при * о = 1			и	построить		графики	данной	функции и ее
у х
многочлена Тейлора 3-й степени.
1513*. Доказать,					что	число	б в остаточном члене формулы
Тейлора		1-го порядка

f( a + h ) = f( a ) + hf'(a) + ^ r ( a + m

4»

100

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКОВ

стремится

1/3 при

Л — 0,

если

/'"(х)

непрерывна

при

х = а и

/" (а) ^ 0.

Н е к о т о р ы е п р и м е н е н и я ф о р м у л ы Т е й л о р а

В задачах

1514— 1519

выяснить

поведение данных функций

в указанных точках.

1514.

у = 2х6 —ха+ 3 в точке

х = 0.

1515.

у = хи + Зх6+ 1

точке

х = 0.

1516.

y = 2 c o sx + x2 в точке

х = 0.

1517.

у =

6 1 п х - 2 х :, +

9х2- 1 8 х

точке х = 1 .

1518.

y =

6 s in x - f x ‘2 в

точке

х =

1519.

у = 24ел — 24 х — 12х2 — 4х3 — х4 — 20

в точке х = 0.

1520.

/(х) = х10 — Зх6+ х 2 + 2.

Найти

первые три

члена

разло

жения но формуле Тейлора

при х0= 1 .

Подсчитать

приближенно

/ 0 ,о з).

/ (х) = х8 — 2,v7 + 5хв —х + 3.

1521.

Найти

первые

три

члена

разложения но формуле Тейлора

при х„ = 2.

Подсчитать

прибли

женно /(2,02) и /(1,97).

1522.

/ ( а )

= х80 — х40 + х20. Найти

первые

три члена

разложе

ния f (х)

по степеням х — 1

и найти приближенно /(1,005).

1523.

/ (х) = х8 —5х:<-\-х.

Найти

первые три

члена

разложения

по степеням

х —2.

Вычислить

приближенно

/(2, 1).

Вычислить

/(2, 1) точно

и найти абсолютную и относительную

погрешности.

1524.

Проверить, что при вычислении значений функции е*

при 0 < х <

1 /2 по приближенной формуле

гЗ

е * ^ 1 + х - Ц - + ^

допускаемая

погрешность меньше 0,01.

Пользуясь этим, найти У~е

с тремя верными цифрами.

1525.

Пользуясь приближенной формулой ех ^ 1 - f x - f j ,

найти

-г=- и оценить погрешность.

V *

Проверить,

что для углов,

меньших

28°,

погрешность,

1526.

которая получится, если вместо sinx взять выражение х — ^

- f >

будет меньше 0,000001. Пользуясь этим, вычислить sin 20° с шестью

верными	цифрами.
1527.	Найти cos 10° с точностью	до	0,001. Убедиться в том,
что для	достижения указанной точности достаточно взять соот
ветствующую формулу Тейлора 2-го порядка.
1528.	Пользуясь приближенной формулой
	у 2	уЗ	у 4
	1 п ( 1 + х ) ^ х - ^ + ^ - £ ,

найти In 1,5 и оценить погрешность.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб41Сборник задач по подземной гидравлике..pdf