книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

§ 2. п р о с т е й ш и е с в о й с т в а ФУНКЦИЙ

11

§ 2. Простейшие свойства функций

О б л а с т ь о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и

40. Составить

таблицу значений функции целочисленного аргу­

мента y = ~f Для

1 =s£х С

6.

41. Значение функции целочисленного аргумента « = ср (п) равно

количеству

простых

чисел, не

превосходящих п.

Составить таб­

лицу значений и для

l*sn = sS 20.

42. Значение функции целочисленного аргумента u = f (п) равно

количеству

целых делителей аргумента, отличных от 1 и самого п.

Составить

таблицу значений и для 1 « ^ п < ;2 0 .

43. Из трех материальных

отрезков, длины которых равны 1;

2; 1 единицам длины, а

массы

соответственно равны 2; 3; 1 еди­

ницам массы, составлен брус (рис. 5). Масса переменного отрезка AM

длины х есть функция от х.

При каких

значениях х

оп­

ределена

эта функция?

Со­

ставить ее аналитическое вы- А

ражение и построить график.

44. Башня имеет следую­

щую форму: на прямой круг­

лый усеченный конус с ради-

Рис.

5

соты 2 R;

на цилиндре — полусфера

радиуса R. Выразить

площадь

S поперечного сечения башни

как

функцию расстояния

х сече­

ния от

нижнего основания

конуса. Построить график функции

вать область определения этой функции.

46. В шар

радиуса R вписывается прямой конус. Найти функ­

циональную зависимость площади боковой поверхности S конуса

от его

образующей х. Указать область определения этой функции.

В задачах 47— 48 найти области определения данных функций:

47.

1) < / = l - lg r , 2)

t/ =

lg(x + 3);

3)

y = V F = 2 x ;

4) y = V — p x ( p > 5) У = ^Г\>

6)

0 = * q rr

D 9 = г с - л

8>

» = ; n = § + 2:i9 >

10)

4 ~ V W = 5 '’

n )

и - К ^ - 4 1 +

з;

*13)

= arcsin —;

12)

y = V * = i , +

2 - -

-

4

14)

y = arcsin (x —2);

15)

y = arccos (1 — 2x);

12

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

16)

у =

arccos 1—2*

17) y = a rcsin y 2 x ;

18)

y =

V 1 - I * | ;

19) </= : p ~ ; * 2 0 ) У= у ^ |

21) y =

y = 22)'g sin x;

23)

t/ = a rcco S j—

— ; 24)

у =

log, 2.

48-

1) У ~ Щ Г = Ъ + У * + 2> * 2)

1, = У З - * + агс81п Ц ^ ;

3)

у = arcsin

— lg (4 _

x)\

*4)

y = V x + '\ /r

— lg(2x — 3);

5)

y = V ^ + 2 V T ^ + V ^ T \ \

* 6)

*/ = T T F + №

- * ) • •

7)

</=lgsin (x —3 ) + V 1 6 - > ,

8)

^ = K s i n x + y i 6 - x

2;

9)

</=

-;JL = f y 's tn * ;

» 10)

E

+ i 4 -

^

+

s

Fsinx

i / - i e ,-n=i0/

;

12)

г / = У х 2 - З х + 2 -'

1

___„

/ 3 + 2 Х -Х 3’

13)

!/ =

(xa+ x + l ) - 3/a;

14)

y = i g ( v ^ r ^ 4- y

6 ^

;

15)

y =

lg [l — lg(x2 — 5 x - f 16)].

49.

Тождественны ли функции:

1

) / ( * ) = £

и

<PW = 7 l

2) f ( * ) = T

и

q»(JC)-*;

3)

f(x) = x

и

ф (х )= У х 2;

4) /(x) = lgx®

и

cp (x)= 21gx?

50. Придумать пример аналитически заданной функции:

1) определенной только

в интервале — 2 = ^ х ^ 2;

2) определенной только

в интервале —2 < х < 2

и не опреде­

3)

определенной для всех действительных значений х, за исклю­

чением х = 2,

х = 3, х = 4.

51.

Найти

области определения однозначных ветвей функции

у = ф (х ) , заданной уравнением:

1)

y2- l + l o g 2( x - l ) = 0; 2) у* — 2xy2 - f х2—х = 0.

$ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

13

53. Найти интервалы знакопостоянства и корни функции:

1) у = 3х — 6; 2) у = х 2 - 5 х + 6; 3) у = 2 ^ ;

4)

у = х? —Зха+ 2 х ;

5)

у —\х\.

54. Какие из указанных

ниже функций четны, какие нечетны,

какие не являются ни четными, ни нечетными:

1)

у = х* — 2хг;

2) у = х — х2ъ,

3)

y =

cosx; 4) у= 2 х-

5)

0 = *

+ Jjjg;

6) y =

sinx;

7)

у =

sin х — cosx;

8)

y = l - x a;

9) y =

tgx;

10) y = 2~*z',

1)

у =

х2+ Зх + 2;

2)

у = 1 — х3—х4— 2хв;

3)

y =

sin 2 x -fc o s

y +

tgx.

56.

Доказать, что

/ (* )+ / (— х) —четная функция, а / (х) —

1)

t/ =

sin2x;

2) у = sinx2;

3) у = х- cosx;

4) t/ =

sin-~;

5 ) y = l

+

tgx;

6 )0 = 5;

7)

у = [х]‘,

8) у =

х - [ х ] ?

(Функция

[х]

определяется

так:

если х — целое

число,

то [х] = х.

Если х

не

есть целое число, то [х] равно наибольшему целому

числу,

меньшему

х. Так, [2] = 2; [3,25] = 3; [— 1,37] = — 2.)

60. Построить график такой периодической функции с перио­

дом Т = 1,

которая на полуинтервале [0,

1) задана формулой:

1) у = х\

2)

у = х2.

61.

Указать интервалы

возрастания и убывания и интервалы

постоянства функций:

1)

</= |х |;

2)

(/ = |х ]

х.

62.

Указать наибольшее и наименьшее значения функций:

1)

y =

sin2x;

2) у ~ cosx3;

3) y = l —sinx;

4) y = 2xl.

14

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

бине Л = 25,3 см давление этой жидкости р = 1,84 •103 Па.

а)

Составить функцию, выражающую зависимость давления от

глубины.

б)

Определить давление на глубине Л = 1 4 , 5 см.

в)

На какой глубине давление станет равным 2,65 •103 Па?

67.

Тело движется прямолинейно под действием силы F. Исходя

между

силой

F и ускорением

w,

если

известно, что если тело

движется с

ускорением

12 м/с2, то

на пути S = 1 5 M производится

работа

А = 3 2

Д ж .

у => а х + Ь по следующим

68.

Определить линейную

функцию

данным:

3)

х У

1)

X

У

2)

х

У

0

4

2

4,3

2,5

7,2

3

6

- » , 6

0

3,2

6,8

§ 3, ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ

15

73. Найти приращение

линейной функции у = — З х + 1 , соот­

ветствующее приращению

независимой переменной Ах = 2.

зависимой переменной х приращение

=

76. Функция ф (х )

задана так: <р(х)=х/2+2 при — с о < х с 2 ;

<р(х) = 5 — х при 2 с х < : + оо.

Найти

корни уравнения <р(х)=а

=2дс — 4 аналитически

и графически.

77. Построить график функции:

1) * / = l * + i | + l * - i | ;

2) t / = [ x + i | - | x - i [ j

3) у = |х — 3|— 2 | х + 1 |+ 2 |х|— х + 1.

78*. Для каких значений х справедливо неравенство

I / (*) + Ф (х) |<

|/ (х) |+ 1<р(х) |,

если /(х) = х — 3, a q>(x) =

4 —x.

79. Для каких значений х справедливо неравенство

|/ (х)

<р (х) |>

|/(х) |-| ф (*) |,

если f(x ) = x, а <р(х) =

х — 2.

80. Функция f (х) определена

так:

в каждом из интервалов

16

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

К в а д р а т и ч н а я ф у н к ц и я

81.

Построить график и указать

интервалы возрастания ц убы­

вания данной функции:

I)

*/ = у * 2;

2 )

У =

х 2 — 1; 3 ) г/ =

|ДС2 —

1 1;

4) ( / =

1 — х а;

5)

у = х2- х + 4 ;

6) у = х - х 2\ 7)

у = \х— х2\;

8)

у —2JC2 +

3;

9)

у = 2х2 — 6х + 4;

10)

у = — Зде2 + блс — I;

II)

у = \— Зха + 6 * - 1 | ; 12) у = — х\х\.

82. Написать аналитическое выражение однозначной функции,

определенной

на

полуинтервале (— оо,

6],

если

известно,

что

график ее состоит из точек оси Ох о

абсциссами, меньшими

числа

— 3, из

точек параболы, симметричной относительно оси Оу

и проходящей

через

точки А (—3,

0), В (0, 5), и из точек отрез­

ка CD с концами С (3, 0) и Е>(6, 2).

83. Найти наибольшее значение функции:

1) у = — 2х2-\-х — 1; 2) у = — х2 —Зх + 2;

3)

у = 5 —х2; 4) у = — 2х2+ а х —а2; 5)

у = а гх —Ь2х*.

84. Найти наименьшее значение функции:

1)

у = х2 + 4х -2\

2) у = 2х2-

1 ,5 * + 0 ,6 ;

3) у = 1 - Зд: +

6JC3;

4)

у = a V + а4;

5) у = (ах + Ь) (ах —2Ь).

90.

Какой из конусов, периметр осевого сечения которых

равен

Р, имеет наибольшую боковую поверхность?

§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ

17

100. Кусок проволоки

длиной а нужно разрезать на две части;

из одной сделать квадрат,

из другой — правильный треугольник.

101.

Найти на прямой у = х точку, сумма квадратов расстояний

которой

от точек (— а , 0), (а, 0) и

(0, Ь)

была

бы наименьшей.

102.

Найти на прямой у = х + 2

точку,

сумма

квадратов рас­

стояний

которой до прямых Зх — 40 + 8 = 0

и Зх —у — 1 = 0 была

18

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

103. Электрический ток

J

распределяется

по

двум ветвям

в

сопротивлениями Г\ и г*

(рис.

10). Показать,

что

наименьшие

104.

Построить

параболу у = хг и использовать

ее для

графи­

ческого

решения следующих уравнений:

1)

2,25 = 0;

2) 2x2 - 3 x - 5

=

0;

3) 3,1ха — Нх +

6 ,8 = 0 ;

4) 4хг — 12х + 9 = 0;

5) Зхя- 8 х

+

7 = 0 .

105.

Функция

<р(х) задана так: у(х) = -^х —у

при — c o < x « S

ф (х) = 1 + х

при ^ ^ х < 4 - о о .

Найти аналитически и гра-

фически

все

действительные

корни

W W v V ^ n

уравнения

[ф(х)]а = 7х +

25.

106.

Указать область

определения

функции

lg {ах2 -\-bx-\- с).

У=

- v V v C v --

107.

Найти /(х +

1),

если дано, что

f(x —1) = 2хя —Зх+

1.

f{x)^=

Рис, 10

108*. Показать, что функция

*2+ 2 JC-|-C

-

— x2+ 4 * + 3 с принимает

любое деистви-

тельное

значение,

если

0 < с < ; 1 .

§ 4, ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

19

113.

Построить

график дробно-линейной функции!

2х

2 х — 5

!)

У -

Л_ 2 ’

2) У - 3 — х ' 3) у = Зл—7.5'

4)

У = ■

4 — 3AJ

5)

* = а=3- 2,25л *

■Ч*

114.

Найти

по

графику наибольшее и наименьшее значения

дробно-линейной функции на данном отрезке:

1)

У = 7

[1,

5];

2) У = ^ = к [ - 1 .

2]! 3)

^

41*

115.

Доказать:

1)

если

абсциссы

четырех

точек Afi (а ; у4),

Ма (*2;

уа).

Л4з(ха;

уа),

М 4(х4; у4)

графика

функции

у = ^ -

(рис.

11)

составляют

пропорцию

то прямолинейные тра­

пеции

MxMiN^Ni и M 3M 4AyV3 равновелики;

2)

если

точки М 4 и М2 лежат

на графике функции у = —

(рис. 12), то площади

фигур i4iMiAf2/l2 и BiAfi/W2B 2 равны.

116.

С

помощью

графического

сложения построить график

*2

1

функции у = —

■.

1)

У = х\

2)

у =

2*4

3)

у = 1 — Зх;

4 ) у

=

х2+ 1 ;

5) у

= 7 *.

6)

y =

'i4 7 ;

7) д = х*-2х\

8)

у = {/ха + 1;

9)

у — 10*+1;

10)

y = i +

lg(x + 2);

11)

у

=

log, 2;

20

ГЛ. I. ФУНКЦИЯ

12)У = т & ?'

1 3 ) 9 = i ^

^

+ l ;

14)

^ =

2 sin 3 x S

15)

у =

1 + 2 s i n - ~ j - ;

16)

p = 4arcsin"K l

—х2«

118.

Доказать, что функция, обратная к дробно-линейной функ-

ции у = ^ ~ 4

(считаем,

что ad — bo=fc 0), также дробно-линейна я.

119. При каком условии дробно-линейная функция задачи 118

совпадает

со своей обратной?

120.

Показать, что если

f(x) = yrа —ха,

х > 0 ,

то /|/(•*)] = *•

Найти функцию, обратную f(x).

121.

Какова

особенность

графика

функции,

тождественной

со своей обратной?

от х задана у равнением

— 1 + lo g 2(* — 1)= 0 .

122.

Функция у

Найти

область

определения данной функции и записать функцию,

обратную данной.

123.

Функция

у от х задана уравнением уъ + sin3х — у + 2= 0.

Найти функцию, обратную данной.

С т е п е н н а я ф у н к ц и я

124.

Построить

график функции:

l)*/ = -i**;

2)

д= -

^

;

3) у=х*+3х*',

4) y = t f - x - f 1;

5)

у =

— & + 2х —2;

6) у =

2дс3/а;

7)

у = ~ х ь/*\

8)

у = х °-9;

9)

у = х 2Л\

10) у = х?л2‘,

U)

У= ^хг*-г\

12)

д — 5х~2л;

13)

д = 1 — V\*V

125. Графически найти приближенные значения действительных

корней

уравнения x + 3 = 4i/rx2.

параболу у=*х3 и использовать

126*. Начертить

кубическую

ее для графического решения уравнения:

1) х3+ х - 4 = 0;

2) х3— Зх2—х + 3 = 0;

3) х3— 6х2+ 9х —4 = 0;

4) х3+ Зх2+ 6х + 4 = 0.

127.

По данному условию

составить

уравнение и решить его

графически:

1) Квадрат

какого

числа

равен самому

числу, сложенному