Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

18.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3919 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

		§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА						181
	2947.	Вычислить длину дуги			линии	25у2 = 4ха от		острия до
точки пересечения			с параболой	Ьу = хг с точностью до				0,0001.
	2948.	Вычислить длину одной			полуволны синусоиды y~s\nx
с	точностью до 0,001.
	2949.	Фигура,	ограниченная	линией		j/ = arctgx, осью абсцисс
и	прямой	лс = 1/2,	вращается	вокруг		оси	абсцисс.	Вычислить
объем тела вращения с точностью до 0,001.
	2950.	Фигура,	ограниченная		линиями у3 — х3= 1, 4г/+х3 = 0,
прямой у = 1/2 и осью ординат,					вращается		вокруг оси ординат.
Вычислить объем тела вращения с точностью до 0,001.
	2951.	Вычислить с точностью до 0,001 координаты центра масс

Дуги гиперболы у=\1х, ограниченной точками с абсциссами Xj — 1/4 и хх = 1/2.

2952. ВЫЧИСЛИТЬ с точностью до 0,01 координаты центра масс

криволинейной трапеции, ограниченной линией у = ^ - , прямыми

х = 1 , 5 и а = 2 п осью абсцисс.

Г Л А В А X

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

		§ 1. Функции нескольких переменных
2953.		Выразить		объем 2 конуса как функцию его образующей х
и высоты у.
2954.		Выразить		площадь		S треугольника				как функцию его
трех сторон х, у, г.											z — 2x —3//+1,
2955.		Составить		таблицу		значений		функции
давая	независимым			переменным значения от 0 до 5 через единицу-
2956.		Составить таблицу значений функции z = У X s + уа, давая
независимым переменным значения от 0 до									1 через 0,1. Значения
функции вычислять с точностью до 0,01.
2957.		Найти	значение функции:						1- У з
1Ч		/arctg ( * + «)\2				1 + ^ 3
					"Р" Х =
2)	z = es'in(x+v)			при	х — у = ^\
3)	2=	г/*2- 1 +	х»г- 1		при	х = 2,	г/=	2; х — 1,		у = 2;
						х = 2,	у =	1.
2958.		Дана	функция
			F (х,		У)	ф (ху) Ф		(ху)

Найти	F (а, 1 /а).			В частности, положить					ср (и) =		и3, ф(«) = м2 и
подсчитать F (а,			1 /а).
2959.		Дана функция F (х, у) = ух —~ ху. Если х и у меняются

с одинаковой скоростью, то какая функция прих = 3, г/= 2 растет быстрее: та, которая получается из F при фиксированном у (ме няется только х), или же та, которая получается при фиксиро ванном х (меняется только г/)?

2960. Дана функция

и 4- 2

<р(х, у, г) = у2 — (у cos г + г cos у) х -\-х у ~ * .

§ I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ					183
Переменные у	и г сохраняют фиксированные значения уо				и 20,
причем г/0 = 3г0.	Что представляет	собой	график	функции	а =
= ф(х, уо, 2о)? Является ли ф(х, у,		z): 1) рациональной функцией
от у, от г, 2) целой функцией от х?
2961*. Функцию z = f(x, у), удовлетворяющую				тождественно
соотношению
/ (тх, ту) = mkf (х, у)		при	любом т,

называют однородной функцией к-го порядка. Показать, что одно родная функция k-ro порядка z = f(x , у) всегда может быть пред

ставлена в виде z = xkF^ ~ j.

2962. Однородность функции любого числа независимых пере менных определяется аналогично функции двух переменных: например, fix , у, г) —однородная функция &-го порядка, если

f(mx, ту, тг) — mkf (х, у, г) при любом т.

Также имеет место свойство

f { X , у,

2 ) = X V ( £ , I ) ;

доказать его.

2963. Проверить, что функция z = F (х, у) —ху удовлетворяет функциональному уравнению

F (ax + bu, cy + dv) = acF (х, у) + bcF (и, y) + adF (х, v) + bdF(u, v).


2964. Проверить, что			функция г —Fix,			у) = \пх\пу			удовле
творяет функциональному			уравнению
	F(xy, uv) = Fix,		u) + Fix, v) + Fiy,			u) + F(y, v)
		ix, y, u, v положительны).
2965. Из уравнения ^				^ = 1 определить z как					явную
функцию x и у. Будет ли функция однозначной?
2966.	Дана сложная функция z — u°,				где и — х-^у, v = x — y.
Найти значение функции:			1)	при х = 0, у — 1;			2)	при х = 1 , у = 1;
3) при	х = 2, z/=	3; 4) при		х = 0, у = 0;	5)		при	х = — 1,	г/ = — 1.
2967.	z = ^ ~ ,	и = а/, v = w~*, w = V x + y,					t = 2ix — y).		Выра

зить z непосредственно в виде функции от х и у. Является ли г рациональной функцией от и и и; от w и t\ от х и г/?

2968. Дана сложная функция z = uw + wa+v, где и = х-\-у,

v = x — y, w = xy. Выразить z непосредственно			в виде функции от
х и у.				efi>— eq>
				efi>— eq>
2969. и = (Б +	л)* — g* — Л3.	\| =	л =	2 ’
(о = In (х2+ уг - f z * ) ,	ф = 2 In (х -J- у -}- г). Выразить и непосредственно

184	ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

в виде функции от х, у и г. Является ли и целой рациональной функцией от | и я; от а и <р; от х, у, г?

2970. Сложную функцию

г =	'&±xy±t£y« + Х2 +		у *
г =	,Х2— Х1/ +	W
представить в виде «цепочки» зависимостей из двух звеньев.
2971. Исследовать	методом	сечений	график функции 2 =

=(х2—у2). Что представляют собой сечения плоскостями x= const;

г/ = const; 2= const?

2972. Исследовать методом сечений график функции z = xy. Что представляют собой сечения плоскостями х = const; у = const;

г = const?	Исследовать методом сечений график функции z — у1 —г*.
2973-	Исследовать методом сечений график функции z — у1 —г*.
2974.	Исследовать методом сечений график функции
	z3= ах2+ b if (a j> 0 , b > 0).

§ 2. Простейший свойства функции О б л а с т ь о п р е д е л е н и я

2975. Область ограничена параллелограммом со сторонами у —0,
у = 2,	у =	у х, у =	х — 1; граница параллелограмма исключается.
Задать	эту	область	неравенствами.
2976. Областью			служит	фигура, ограниченная		параболами
у = х2 и х = у2 (включая границы). Задать					эту область неравен
ствами.
2977. Записать			с помощью	неравенств	открытую	область, яв

ляющуюся правильным треугольником с вершиной в начале коор динат, со сторонами, равными а, причем одна из них направлена

по положительной полуоси Ох (треугольник лежит в		первом
квадранте).
2978. Область ограничена бесконечным круглым цилиндром
радиуса R (границы исключаются)	с осью, параллельной	оси Ог
и проходящей через точку (а, Ь, с).	Задать эту область с помощью

неравенства.

2979. Записать с помощью неравенства область, ограниченную сферой радиуса R с центром в точке (а, Ь, с) (включая границу).

2980. Вершины прямоугольного треугольника лежат внутри круга радиуса R. Площадь S треугольника является функцией его катетов х и у. S = <р (х, у). Какова область определения функ ции S = ф (х , у ) .

2981. В шар радиуса R вписана пирамида с прямоугольным основанием, вершина которой ортогонально проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Объем V пирамиды является

	§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ				185
функцией	сторон х	и у ее основания. Будет ли эта функция одно
значной?	Составить	для нее	аналитическое	выражение.	Найти
область определения функции.
2982.	Квадратная доска состоит из четырех квадратных клеток;
двух черных и двух белых,			как указано	на рис. 57;	сторона

каждой из них равна единице длины. Рассмотрим прямоугольник, стороны которого х и у параллельны сторонам доски и один из

углов

которого

совпадает с черным ее углом.

Площадь черной

части этого прямоугольника будет функцией

от х

и у.

Какова

область определения этой функции?

Выразить эту

функцию

аналити

чески.

задачах

2983 — 3002

найти

области

определения

функций.

2983.

X* _

у2

а2

Ь* ’

2984.

г « = 1 п ( ^ - 4 х + 8).

2985.

2 = ■

R2— х2 — у2 ’

2986.

z — У х + у + У х — У-

2987.

z = -7J =

-7J= ^ .

V^+y

V x -y

Рис.

2988.

arcs in у- 1

2989.

In xy.

2990.

г =

x — V у

2991.

arcsin -V2 +

У 2 f- arcsec (x2+ if) .

2992.

Y4x—y2

x + y 2

In (1 — Л'2— y2)

2993.

г -

Ш 2,x + y 2'

2994.

xy у

R*.

x2+ y 2

2= V^sin я (x2H-//2).

2995.

z = ctgn(x + y).

2S96.

2997.

г = "Ух sin y.

2998.

In x — In sin y.

2999.

2 =

In ]X In (// — X)];

3000.

2 =

arcsin[2y(l +

x2) — 1].

3001.

U =

T-

V'y +

v r

V x

3002.

м = У R2- x 2

■У1 -

г'“

( R > r ) .

Y x 2+ y 2+ Z2 —

r 2

П р е д е л . Н е п р е р ы в н о с т ь ф у н к ц и и

В задачах

3003 — 3008

вычислить пределы функций,

полагая,

что независимые переменные произвольно стремятся к своим пре дельным значениям.

186	ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3003.	lim	+
	* - o y V + i/2+ l — 1
	а — о
3005.	И	т ^ Ь Д .
	х _ 0	& + У-
	U- О
		I
3007.	.	е х2 + у‘
3007.	lim	- г - .—г-.
	* - о	Х*+У4

a - о

3004-

	а — о
3006.	l i m	1 — c o s j ^ + y 2)
	" i o	(*2 + S/2)	•
	а —о		1
			1
3008.	lim (1 + х гу2)		x* + v\

х- * 0

а- о

3009.

Показать,

что функция

и = х

У при х - > 0 , у-*-0 может

стремиться к

любому

пределу (в

зависимости

от того, как стре

мятся к нулю х и у). Привести

примеры таких изменений х н у ,

чтобы: a)

lim м = 1;

б)

Н тц = 2.

ЗОЮ. Найти точки

разрыва функции г =

Как ведет себя

функция в окрестности точки разрыва?

ЗОН. Найти

точки

разрыва функции z = -r-r,---- 1—т-з— .

3012.

Где будет разрывна функция z =

3013.

Где

будет

разрывна функция 2 = ^ ^ +

3014.

Где

будет

разрывна

2х

функция z = J-~

„ -?

3015*. Исследовать

непрерывность функции при х = О, у = 0:

1) f(x,y) = ~ ^ ,

/(0 , 0 ) = 0

2) f ( x , y ) = ^

- r ,

/ (0 .0 ) = 0 ;

3) / (*.

/(0.

0 ) = 0

f(x,

y) = * q ^ 5,

/(О,

0) = 0;

5) Н х , У ) = £

/(0,

0) = 0

/(*,

/ (0 .0 ) = 0 .

Л и н и и и п о в е р х н о с т и у р о в н я

3016.

Дана

функция

г = / (х, у) = -тт—г ■

Построить

линии

уровня этой

функции

для

г = 1 ,

“т“У*

3, 4.

3017.

Функция г = /(х, у)

задана следующим образом: в точке

Р (х, у) ее значение

равно

углу,

иод которым виден из этой точки

данный в

плоскости

Оху отрезок

АВ. Найти линии уровня функ

ции

/(X, у).

задачах

3018 — 3021

начертить

линии уровня данных функ

ций,

придавая

z значения

от

— 5 до + 5

через 1.

3018.

z = xy.

3019.

2= х~у-ф х.

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ						187
3022. Построить линии уровня функции z= (x2+t/2)2— 2(х2 — г/2),
придавая г значения	от — 1 до 3/2 через 1/2.
3023. Построить	линии	уровня функции		z, неявно	заданной
уравнением ( у ) * [(* — 5)2 +		У2] =	[(* + 5)2 +	г/2], давая	г	значе
ния от — 4 до 4 через единицу.
3024. Построить	линии	уровня	функции	г, заданной неявно
уравнением у2 = 2 * {х —г),		давая г значения от — 3 до 3 через 1.
3025. Найти линии уровня функции г, заданной неявно урав
нением z -fxln z -}-f/ = 0.
3026. В пространстве дана точка А. Расстояние переменной
точки М от точки А есть		функция	координат точки М ,			Найти

поверхности уровня этой функции, соответствующие расстояниям, равным 1, 2, 3, 4.

			Рис.	58
3027.	Функция		н = / (х , у, г)	задана		следующим образом:
в точке	Р (х, у , г)		ее значение равно сумме расстояний этой точки
от двух	данных точек А(хь уи гi),				В (х.ь	уг, г2). Указать поверх
ности уровня функции fix, у, г).
3028. Найти		поверхности уровня			функции
			» „ i n i ± i а ± г ± £
3029.	Найти	поверхности уровня				д^-L Ф
					функции и = — -— .
3030. Найти поверхности уровня функции:
1) и = &+у-*,			2) и = tg (ха +	г/2 — 2г2) .

183	ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3031. На рис. 58 изображены'линин уровня функции z = f(x, у). Построить график функции:

1)	z = f(x, 0);	2)	z = f(x,	4);	3)	z = f( 1,	у)\
4)	2 = /(—5, //);	5)	z = f (х,	Зх);	6)	z = f ( x ,	х2).

§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е

3032. Объем газа v является функцией его температуры и давления: v = f(p , Т). Средним коэффициентом расширения газа при постоянном давлении и изменении температуры от Тх до Т«

называют выражение v ^• Что следует назвать коэффициен

том расширения при постоянном давлении при данной темпера туре' Т0?

3033. Температура в данной точке А стержня Ох является функцией абсциссы х точки А и времени t: Q= f(x, t). Какой

физический смысл имеют частные производные $0 и Яя

3034. Площадь S прямоугольника выражается через основа

ние Ь и высоту h формулой			S = bh. Найти		~	~	н выяснить
геометрический	смысл полученных			результатов.
3035. Даны	две	функции:	и = У а г — х2		(а —постоянная)				и
г — Уу^ — х1. Найти		j - и	Сравнить результаты.
В задачах	3036 — 3084 найти			частные производные				данных
функций по каждой из независимых переменных						(х,	у, z,	и, и,	t,
« риф — переменные):

3036.	г — х — у.			(а, Ь
303S.	0 = axe ' -\- Ы			(а, Ь
3033.	г =-- “ +		U
		с1	U
3041.	z =	{ b x h j- if +		l f .
3043.	г =	In (х	[- У х2+ у2)-
3043.	2 = — Ц - .
		ard g	г-
			х

3037. г — х'у — ifx.

постоянные).

3040.	г	-{- 1Г
3040.	г	X1 у'-’
		X1 у'-’
3042.	г = х У у + -7Т-.
		г х
3044.	2 = arctg * .
		У
3046.	г = Ау.

3047.	2=	In (х2 + уУ	3048.	г =	1пК	Щ	- » .
		. ухъ-ц*			1	х- “г У'+ х
3049.	г =		3050.	2=	In tg —.
		агстщ ...

V х'--I у-

3051.

3053.

3055.

3057.

3059.

3061.

3063.

3064.

3066.

3068.

3070.

3072.

3074.

3075.

3077.

3078.

	§ 3. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ										189
z = е~х1у.					3052.		г =	In (я + In у).
и =	arctg V-\-W				3054.		г = sin — cos			х
	V — W							У		х
	/ 1 \У/х	‘
Из)		‘			3056.		г = (\+ху)и.
г = ху\п(х + у).					3058.		г = хжу.
и == хуг.					3060.		u = xy-\-yz +			zx.	z.
и = У х 2 + у2+ z2.					3062.		и = х3		yz2 + Зух — x +		z.
w = xyz + yzv + zvx + иху.
и =	ех(•'■+у2+ г*>.				3065.		и ~	sin	(х2	у2 22).
и = I n (* +		г/ + г).			3067.		и = х г .
u = xyz.		3069. f(x, у) = х + у — У х 2 + у2 в								точке (3,	4).
z =	ln ^ +	^ j в	точке		(1,	2).	3071.		г = ( 2 x-\-y)2xiU.
z =	(1 4 - logy х)3.				3073.		г =	хуе*1пяхУ.
z = (x2^ u 2) - - yf				+ y2 .
		l + V ^ + F							_______
г =	arctg Ухй.				3076.		г = 2 1 / * ~ ТН
z= In [ху2 + ух2 +				_________				V	1+ Vxy
z= In [ху2 + ух2 +				У 1+ (ху2+ ух2)2\.
		/х-{-у\2 .			. x -j-y
		ху 1		+ arcsin -		—
		ху 1				ху

3079. 2= arctg (arctg

3080.

(*2 -b</2 + 22)2>

3082. и = (sin х)уг.

I	a rctg	- - — 1
	--------*,----------arctg т •
^	arctg	-- + 1
		х

3081. и = arctg (х — у)*.

3083. и = In -— ^ j 2+^ + i 2. 1+ V& + tf + z2

3084.	w = \ tg2 (х2у2+			z2v2 — xyzv) +			In cos (х2у2+ z2v2 — xyzv).
3085.	..	cos (<p	2г\|з)		d u
3085.	U — ----- :----, л ,v . ПсШТИ				5~r	Ф = л/4
		cos (ф +	2i\|;)			Ф = л/4
						tj) =	л
3086.	и = У az* — bt3. Найти				~	и ^ при			2 = b, t = a.
				J т	„		dt
3087.	г =	X COS У — У COS X		J т	„	dz	dz		„
3087.	г =	- — у—.—		. Наити		,	и —	при x = y = 0 .
		I + sin JC + s in g				ox	ду
3088.	u = \|/sin2*-}-sin 2 t/-}-sin2z. Найти							^	.<= 0
									y = o

z = л/4

199

ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3089.

и = \ п (\ у х + у 2 + г*}. Найти ux-\-uy + uz при x = y = z = l.

о/

, £

3090.

/(.V, у ) = х ,у — уэх. Найти дх

ду

х = 1

дх

ду

У—2

3091. Какой угол образует с положительным направлением

оси

абсцисс касательная к линии

г = х -^ У ■, «/=4 в точке (2, 4, 5)?

3092. Какой угол образует с положительным направлением

оси

ординат касательная

линии г = У 1 - М 2 + У2>* = 1 в точке

( 1 , 1 .

К З )?

пересекаются

плоские

линии,

полу

3093.

Под каким углом

чающиеся в результате

пересечения поверхностей

г = х2+ ^- и

хг -4-уг

о-.

г —— ~

плоскостью у —2?

Д и ф ф е р е н ц и а л ы . П р и б л и ж е н н ы е в ы ч и с л е н и я

задачах 3094 — 3097

найти

частные

дифференциалы данных

функций по каждой из независимых переменных.

3094.

г = ху* -

Зх-у2+

2у4.

3095.

г = У х 2 + у2.

3096.

г = - 5 ~ .

3097.

ы =

1п(х3-Ь2г/1- г 3).

л 1

3098.

г = У х + у2. Найти dyz

при х = 2, «/= 5, Д«/ = 0,01.

3099.

г = У\аху. Найти

d„«г при

х = 1 ,

«/=1,2,

Дх = 0,016.

3100.

и = р — ~) + Y p -\ -q + r.

Найти

d^ii

при

р = 1,

</= 3,

г = 5,

Ар = 0 ,0 1 .

задачах 3101— 3109 найти полные дифференциалы функций.

3101 .% [~x2tf — xsy* + xiy2.

3102.

г =

у 1п(х2+ «/2).

3103.

г = ^ .

3104.

г =

arcs in —.

х— У

3105.

2= sin(xi/).

3106.

г =

arctg 1

ху

3107.

г = х-

у~

3108.

г = arctg (ху).

3109.

и = хуг.

П р и м е н е н и я к в ы ч и с л е н и я м

3110.

Найти

значение

полного

дифференциала

функции г =

= х -1- у —у х- -фу2

при

х = 3 , «/= 4,

Дд; =

0,1,

Ду = 0,2.

3111.

Найти

значение полного дифференциала функции z= exy

при х = ] , у = 1,

Дх = 0,15,

Ау = 0,1.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3919 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб41Сборник задач по подземной гидравлике..pdf