книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

раболический цилиндр, образующие которого параллельны пря-

Вивиани.)

2 2 2 г л . X II, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3592. Гиперболическим параболоидом 2= ^ , цилиндром х2 +

Об ъ е м т е л а . II

Взадачах 3609—3625 вычислить тройныминтегрированием

ь= — 1 и х = 2.

224 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ются под прямым углом. Найти площадь части поверхности одного из цилиндров, лежащей в другом.

М о м е н т ы и ц е н т р м а с с

В задачах 3643—3646 найти двойным интегрированием стати­ ческие моменты однородных плоских фигур (плотность 7 = 1 ) :

3643. Прямоугольника со сторонами а и Ь относительно сто­ роны а.

3644. Полукруга радиуса R относительно диаметра.

3645. Круга радиуса R относительно касательной.

3646. Правильного шестиугольника со стороной а относи­ тельно стороны.

3647. Доказать, что статический момент треугольника с осно­ ванием а относительно этого основания зависит только от вы­ соты треугольника.

В задачах 3648— 3652 найти двойным интегрированием центры масс однородных плоских фигур:

3648. Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса, опи­ рающейся на большую ось.

3649. Фигуры, ограниченной синусоидой t/ = sinx, осью Ох и прямой х — л/4.

В задачах 3653— 3659 найти моменты инерции однородных плоских фигур (плотность 7 = 1):

3653. Круга радиуса R относительно касательной.

3654. Квадрата со стороной а относительно вершины.

3655. Эллипса с полуосями а и Ь относительно центра.

226 ГЛ. XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

сота Я ) относительно диаметра основания и относительно диа­ метра его среднего сечения.

3679. Полого шара внешнего радиуса R, внутреннего г отно­ сительно диаметра.

3680. Параболоида вращения (радиус основания R, высота Я ) относительно оси, проходящей через его центр масс перпенди­ кулярно к оси вращения (экваториальный момент).

В задачах 3681— 3683 вычислить моменты инерции указанных

если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квад­ рата равна единице.

3685. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны R и г (/?> г). Зная, что

плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на окруж­ ности внутреннего круга равна единице.

3686. На фигуре, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь, распределена масса так, что плотность ее пропорциональна рас­ стоянию от большой оси, причем на единице расстояния от этой оси она равна у. Найти всю массу.

3687. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями, радиусы которых равны г и R (R > г). Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра сфер и на расстоянии, равном единице, равна у, найти всю массу тела.

3688. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R и высоты Н, если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.

3689*. Вычислить массу тела, ограниченного круглым кону­ сом, высота которого равна h, а угол между осью и образующей равен а , если плотность пропорциональна п-й степени расстоя­ ния от плоскости, проведенной через вершину конуса парал­ лельно основанию, причем на единице расстояния она равна у

(я > 0).

3690. Найти массу шара радиуса R, если плотность пропор­ циональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния

численно равна квадрату расстояния этой точки от начала коор­ динат. Найти координаты центра масс шара.

Плотность в любой точке тела численно равна расстоянию этой точки от плоскости хОу.

3694*. Доказать, что момент инерции тела относительно ка­ кой-либо оси равен Md2-\-Ic, где М — масса тела, d —расстояние от оси до центра масс тела, а 1С—момент инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела (теорема Штейнера; ср. с задачей 3662).

Основываясь на законе всемирного тяготения Ныбтона (см. указание перед задачей 2670), решить задачи 3695—3698.

3695. Дан однородный шар^радиуса R с плотностью у. Вы­

числить силу, с которой он притягивает материальную точку массы т, находящуюся на расстоянии о (a> R ) от его центра.

8*

228 гл. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Убедиться, что сила взаимодействия такова, как если бы вся

с которой он притягивает материальную точку с массой т, если она находится на оси z на расстоянии 2R от центра шара.

3698. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентри­ ческими сферами (шаровой слой). Доказать, что сила притяже­ ния этим слоем точки, находящейся во внутренней полости тела, равна нулю.

Центром давления называется точка приложения равнодейст­ вующей всех сил давления на данную плоскую фигуру (все силы давления перпендикулярны к плоскости фигуры). При определе­ нии координат центра давления исходят из того, что статиче­ ский момент результирующей силы (т. е. давления на всю пло­ щадку) относительно любой оси равен сумме статических момен­ тов отдельных сил относительно той же оси. Опираясь на это, решить задачи 3699—3701.

3699. Найти центр давления прямоугольника со сторонами а и b (а > Ь ), у которого большая сторона расположена вдоль сво­ бодной поверхности жидкости, а плоскость прямоугольника пер­ пендикулярна к этой поверхности. Показать, что положение центра давления относительно прямоугольника не изменится, если плоскость прямоугольника будет наклонена к поверхности жидкости под углом а (аф О ). Как изменятся предыдущие ре­ зультаты, если большая сторона а расположена не на поверхно­ сти жидкости, а на глубине h (оставаясь параллельной поверх­ ности)?

3700. Треугольник с высотой h расположен в плоскости, на­ клоненной под углом а к свободной поверхности жидкости. На какой глубине лежит центр давления этого треугольника, если:

а) Основание треугольника лежит на поверхности жидкости?

щадку, произвольным образом погруженную в жидкость, равно весу цилиндрического столба этой жидкости, находящегося над площадкой, при условии, что она лежит горизонтально на глу­ бине своего центра масс.

§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра

Н е с о б с т в е н н ы е д в о й н ы е и т р о й н ы е и н т е г р а л ы

В задачах 3712—3715 выяснить, какие из несобственных ин­ тегралов, взятых по кругу радиуса R с центром в начале коор­ динат, являются сходящимися:

3712. ^ ^ In V ^ + ? d x d y . 3713. ^ C ^ d x d y .

з7н- У Ш Ш Шу- 3715- 1

3716. Можно ли так выбрать число т , чтобы несобственный интеграл 1 1 у ~ = = щ , распространенный на всю плоскость, был

сходящимся?

Взадачах 3717— 3719 вычислить несобственные интегралы:

+ oo +oo +oo

3719*. $ $ ^ e~x*-y*-*dxdydz.

—со — со —со

Взадачах 3720—3722 выяснить, сходятся ли несобственные интегралы, взятые по шару Q радиуса R с центром в начале координат: