книги / Сборник задач по курсу математического анализа.-1

ГЛАВА

VIII

ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

§

I. Некоторые задачи геометрии и статики

П л о щ а д ь ф и г у р ы

2455.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

уравнения которых

у2 =* 2х + 1 и х — у —1 = 0 .

2456. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой

у = — х2 + 4х — 3 и касательными

к ней

в точках (0, — 3) и (3, 0).

2457.

Вычислить

площадь фигуры,

ограниченной

параболой

у* = 2 рх

и нормалью к ней, наклоненной к оси абсцисс под

углом 135°.

2458. Вычислить

площадь фигуры,

ограниченной

параболами

у = х2 и

y =

‘

2459.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

у® + 8 * = 1 6

и у2 — 24х = 48.

2460.

Вычислить

площадь фигуры,

ограниченной

параболами

у = х2 и

у = ха/3.

у = х 2/2 на

2461.

Окружность * 2+ у2 = 8 разделена параболой

две части. Найти площади обеих частей.

2462.

Найти площади фигур,

на которые парабола JI2 = 6 IC

тельной оси.

разбивается гиперболой ха — 2у2=

2465. Окружность х2 + у2 = а2

= а2/4 на три части. Определить площади этих частей.

2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образованных

X2

X2

пересечением эллипса - j- + y a = 1

и г и п е р б о л ы — У2 = 1 •

144

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2468.

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линией у=>

=

х (х — I)2 и осью

абсцисс.

2469.

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной осью

ординат

и

линией х = у2 (у — 1).

2470.

Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями

ут= хп и уп= хт , где т и п —целые положительные числа, распо­

ложенной в первом

квадранте. Рассмотреть вопрос о площади всей

фигуры в зависимости от характера четности чисел т и п.

2471.

а) Вычислить

площадь криволинейной трапеции,

ограни­

ченной осью абсцисс и линией

у = х —х2]/ х.

б)

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями

линии (у — х)2 = ха и прямой х = 4.

2472.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линией

(у — х —2)2 = 9х

и осями

координат.

2473.

Найти

площадь

петли

линии у2 = х(х — 1)а.

2474.

Найти

площадь фигуры, ограниченной

замкнутой линией

{/*=

(1 — х2)3.

2475.

Найти

площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией

у2 = х2 —х4.

2476.

Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией

х4 — ах3 -f cPtf = 0.

2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной

линией

х2у2 = 4(х — 1)

и

прямой,

проходящей

через

ее

точки

перегиба.

2478.

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

у = ех, у = е~х и прямой

х = 1 .

2479.

Вычислить

площадь криволинейной трапеции, ограничен­

ной линией у = (х2 + 2х) е~х и осью

абсцисс.

2480.

Вычислить

площадь криволинейной трапеции, ограничен­

ной линией у = в - л'(х2 + 3 х + 1 ) + е2,

осью Ох и двумя прямыми,

параллельными оси Оу, проведенными через точки экстремума

функции у.

2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной

линиями

y = 2x2e-v и у = — х3ех.

2482. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с осно­

ванием [а, Ь], ограниченной линией

у = 1пх.

6)

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линией у = 1 п х ,

осью

ординат и прямыми у = 1па и y = \nb.

2483. Вычислить

площадь

фигуры, ограниченной

линиями

у = 1 п х

и у — 1п2х.

2484.

Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линиями

In X

1

у = - 4 J - И у = X In X.

§ 1. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Г Е О М Е Т Р И И И С Т А Т И К И

145

2486.

Вычислить площадь криволинейного треугольника,

огра-

ничейного осью

а

2

ординат и линиями y = tgx и

i/ = g -co sx .

2487.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией

t/ = sin3x-f-

+ cos3x

и отрезком оси абсцисс, соединяющим две последователь­

ные точки пересечения линии с осью абсцисс.

2488.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс

и линиями y = a rc sin x и у — arccosx.

2489.

Найти

площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией

(у —arcsin х)2=

х — х2.

2490.

Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой

цик­

лоиды x = a ( l —sin/). у = л(\ — cost) и осью

абсцисс.

2491. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

астроидой

x = a co sat, y = asinat.

х —

2492.

Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

= 2 a co sf —acos2/, y = 2 a sm t —asin2<.

2493.

Найти

площадь фигуры, ограниченной: 1) эпициклоидой

радиуса,

проведенного из центра неподвижной окружности в точку

касания.

2494. Найти площадь петли линии:

1) x = W , y = 3t —I3; 2)

х = ( 2-

1, y = t3 — i.

2495.

а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом

спирали

Архимеда р = аср

при

одном его

обороте,

если

началу

движения

соответствует <р = 0.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим

витками спирали и отрезком полярной оси.

2496.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией p = asin2<p

(двулепестковая

роза).

2497.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией p=acos5<p.

2498. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля

р = 2 а (2 + cos <р).

2499.

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной

линией р =■

= a tg < p (a > 0 )

и прямой <р = л/4.

2500.

Найти площадь общей части фигур, ограниченных ли­

ниями p = 3 + cos4<p и р = 2 — cos4cp.

2501.

Найти

площадь

части

фигуры,

ограниченной

линией

p= 2 + cos2<p, лежащей вне линии

p = 2 + sin<p.

1 4 6

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2502. Найти

площадь фигуры,

ограниченной

линией

р2 =

= a2cos/icp

(п —целое положительное число).

2503. Показать,

что площадь фигуры, ограниченной любыми

двумя полярными

радиусами гиперболической спирали рср= а и

ее дугой, пропорциональна разности этих радиусов.

2504. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми

полярными

радиусами логарифмической спирали

р = ает

и ее

дугой, пропорциональна разности квадратов этих радиусов.

2505*. Найти

площадь фигуряя,

заключенной между внешней

2506. Вычислить

площадь фигуры, ограниченной линией

р = У

1 — t2, ф — arcsin* - f У \— А

В

задачах 2 5 0 7 —2511 удобно перейти предварительно к поляр­

ным

координатам.

2507. Найти

площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бер­

нулли (хг + у2)2 =

а2 (х2 — у2).

2508. Найти площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой

= а2 1 2 .

площадь фигуры, ограниченной линией (х2 + у2)2—

2509.

Найти

— а2х2 — Ь2у2 —0.

2510. Найти

площадь фигуры, ограниченной линией

(х2 +

у2)3=

4а2ху (х2 — у2) .

2511. Вычислить площадь

фигуры,

ограниченной

линией

х* + у4 =

х2 + уа.

2512.

Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией

у

-г-.

и ее асимптотой.

а

l+x-*

2513. Найти

площадь

фигуры, заключенной между

линией

у = хег *г/2 и ее асимптотой.

,

2514. Найти площадь фигуры, содержащейся между циссоидой

х>

и ее асимптотой.

tr = n------

а

2 а — х

2515.

Найти

площадь фигуры, заключенной между линией

ху2 = 8 — 4х и ее

асимптотой.

2516*. 1) Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линией

2517. Найти

площадь фигуры, заключенной между трактрисой

x = a|costf + lntg-2 j, y = a$\nt

и осью абсцисс.

2518.

Для

линии

р =

2ф

найти площадь петли и площадь

С08ф

фигуры,

заключенной

между

линией и ее асимптотой.

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ

М7

Д л и н а л и н и и *)

2519.

Вычислить длину дуги цепной линии

y = ach ^ (O T X I= 0

до ха = й).

нараболы уг —2рх от вершины до ее

2520.

Найти длину дуги

точки М(х, у).

(Взять

у в

качестве независимой переменной.)

2521. Найти длину дуги линии у —1пх(от xx= V 3 до *a = l/ 8 ).

2522. Найти длину дуги линии у = In (1 — хг) ^от X i = 0 д о Х г = $ ) •

2523.

Найти длину дуги

^ 4-1

(от

Xi=a до x2 =b).

линии у = In

2524.

Вычислить длину дуги

пюлукубичеекой

нараболы у? =

2

параболы уа = -

X-

<= -3- (х — I)3, заключенной внутри

2525. Вычислить длину дуги полуиубической параболы 5у* =

«= х2, заключенной внутри окружности

х2 + у2 = 6.

2526.

Вычислить длину неглад линии 9ау? = х(х —За)2.

2527. Найти периметр ««него из криволинейных треугольников,

ограниченных

осью абсцисс

и линиями y = ln c o s x

и у = In sin х.

2528.

Найти длину дуги

линии у — ~4—

заключенной ме­

жду ее наинизшей точкой

и вершиной (точка линии с

экстре­

мальной

кривизной).

_____

2529.

Найти

длину

линии у = у Гх —х2 -]-arcsinl/ x .

25301

Найти длину линии (у — aresinx)2 — 1 — х2.

2531.

На циклоиде x = a(t —sin/), у = а(1 — c o s t) найти точку,

которая делит

первук> арку циклоиды по длине в отношении 1: 3.

2532.

Дана

астроида x = R cos3 t, y = R sinat и

точки

на ней

A (R, 0),

В ф ,

R). Найти на дуге АВ такую точку М, чтобы длина

дуги Ш

составляла четверть длины дуги АВ.

2533*.

Найти

длину

линии (-^-]2/3 +

( т ) ^ * =

2534.

Найти длину

линии x = aco s5(, y = asin&t.

2535. Найти

длину дуги

трактрисы

x = a^cos< +

ln tg

y = asin t

от ее точки (0, а) до ее точки (х, у).

2536. Найти длину

дуги

эвольвенты окружности

x = R (co sf-f-fsin f),

y = R (sin t — / cos t)

(от tx = 0

до /а= я ) .

*) В задачах на вычисление длин дуг там,

где это необходимо, в скобках

148

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

2537. Вычислить длину дуги линии

х = (I2 — 2) sin t - f 2 t cos t, y =

(2 — t2) cos t - f 2 t sin t

(OT ?! = 0 до

t2 = n).

p

2538. Найти длину петли линии

x = i2,

y = t — g-.

2539. По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинако­

вой угловой

скоростью катятся (без скольжения) две окружности

с радиусами,

равными Ь.

В

момент

/ = 0

они касаются своими

точками M i

и М 2 точки

М

неподвижной окружности. Показать,

промежуток времени t, постоянно и равно

(см. задачу 2493).

2540. Доказать, что длина дуги линии

х = Г (0 cos t - f /' (/) sin t,

y = — f" (t) sin t + / '(t) cos t,

соответствующей интервалу (k, t2), равна \f (t) - f /* (*)] |J*.

2541. Применить результат предыдущей задачи к вычислению

длины дуги линии х = & (c o s f-f sin t),

y = e‘ (cost — sint) (от

<i=0

ДО

t2 = t).

2542. Доказать, что

дуги

линий

и

x = f ( t ) —q>' (t),

y= < v(t)+ f'(t)

Х-

f (t) sin t — (p' (t) cos t,

y —f

(0 cos t - f ф' (0 sin i,

соответствующие одному и тому

же

интервалу изменения

пара­

метра t,

имеют равные длины.

2543.

Найти

длину дуги

архимедовой

спирали р = аф от на­

чала до конца первого завитка.

2544.

Доказать, что дуга

параболы У= ^р х2, соответствующая

интервалу 0 - ^ х ^ а ,

имеет

ту

же длину,

что и дуга спирали

р — рф, соответствующая интервалу O ^ p s c a .

2545. Вычислить длину дуги гиперболической спирали РФ=1

(от

ф! = 3/4 до

ф2 =

4/3).

2546.

Найти

длину

кардиоиды р = а(1 +

созф).

2547.

Найти

длину

линии

p = asi n3 ^

(см. задачу 2505).

2548.

Доказать, что

длина линии

p = a s i n' " ^ (m — целое чис­

ло)

соизмерима

с а при т четном и соизмерима с длиной окруж­

ности радиуса а при т нечетном.

k(k= £0) длина

2549.

При

каких

значениях

показателя

дуги

линии у = ахк

выражается

в

элементарных

функциях? (Основы­

ваться на теореме Чебышева

об

условиях

интегрируемости

диф­

ференциального

бинома

в

конечном виде.)

§ I. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ

149

2550.

Найти длину линии, заданной уравнением

у =

X

'K cos х dx-

$

— я/2

2551.

Вычислить длину дуги

линии

t

t

cos г ,

sin г .

^S—

dz,

y = \ —

dz

от начала координат до ближайшей точки с вертикальной каса­

тельной.

2552.

Доказать, что длина

дуги синусоиды у = sin л:, соответ­

ствующей

периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого

равны У 2 и 1.

2553.

Показать, что длина дуги «укороченной» или «удлинен­

ной» циклоиды x = mt — ns'mt,

у = in —m o s t

(т и и — положи­

тельные числа) в интервале от

Ц = 0 до

U = 2 n равна длине

эллипса

с

полуосями

а = т

+ /г, Ь = \т — п\.

2554*. Доказать, что длина эллипса с полуосями а и & удов­

летворяет

неравенствам л (а + b) < L < л У 2 •У a 1 -f- Ь2

(задача

И. Бернулли).

О б ъ е м

т е л а

2555.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,

образованной вращением параболы

t/2 = 4х вокруг своей

оси (па­

раболоид

вращения),

и плоскостью, перпендикулярной к его оси

и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное единице.

2556.

Эллипс,

большая

ось

которого равна 2а,

малая — 25,

вращается: 1) вокруг

большой

оси,

2) вокруг малой оси. Найти

объем получающихся эллипсоидов

вращения.

В частном‘случае

получить объем шара.

2557.

Симметричный параболический сегмент, основание ко­

торого а, высота Л, вращается вокруг основания. Вычислить

объем тела вращения, которое при этом получается («лимон»

Кавальери).

гиперболой х2 — у2 = аг и прямой

2558.

Фигура, ограниченная

x — a-\-h (h > 0 ), вращается

вокруг оси абсцисс. Найти объем тела

вращения.

трапеция, ограниченная линией у — хех

2559.

Криволинейная

и прямыми х = 1 и у = 0, вращается вокруг

оси абсцисс. Найти

объем тела, которое при этом получается.

2560.

Цепная линия

y = chx

вращается

вокруг оси абсцисс.

При этом

получается

поверхность,

называемая

к а т е н о и д о м .

Найти объем тела, ограниченного

катеноидом

и двумя

плоско­

150

ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

стями, отстоящими от

начала на а и Ь единиц и перпендикуляр­

ными к оси абсцисс.

парабол у = х2 и у2 = х,

2561.

Фигура, ограниченная

дугами

вращается вокруг оси

абсцисс.

Вычислить объем тела, которое

при этом

получается.

2562.

Найти объем

тела, полученного

вращением вокруг оси

синусоиды I/ = sin ас,

соответствующей

полупериоду.

2566. Лемниската

(х2 + t/2)2 = а2

(х2 —у1) вращается вокруг

которая

при этом получается.

2567.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг

оси

абсцисс фигуры,

ограниченной линией: 1) х* + у1 = агхг;

2)

х* + у* = хК

2568.

Одна арка циклоиды x = a(t —sin/), y = a ( l — cost) вра­

щается вокруг своего

основания. Вычислить объем тела, ограни­

ченного

полученной поверхностью.

2569.

Фигура, ограниченная аркой циклоиды (см. предыдущую

чающегося при

этом

тела.

2570. Найти

объем

тела, полученного при вращении астроиды

х2/3_|_у2/г__а2/з

вокруг

своей

оси

симметрии.

С2

2571. Фигура, ограниченная

дугой

линии

у =

x = — cos3 t,

са

эллипса), лежащей

в

первом

квадранте, и

= -£-sins f (эволюта

координатными

осями,

вращается вокруг

оси

абсцисс. Найти

объем получающегося при этом тела.

2572. Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностью

бесконечного веретена,

образованного

вращением

линии

у=а

2573.

Линия у* = 2ехе-2х вращается

вокруг своей

асимптоты.

Найти

объем тела,

ограниченного

поверхностью, которая

полу­

чается

в

результате

этого вращения.

. 2574*.

1) фигура, ограниченная

линией у = е~ х‘

и ее

асимп­

тотой,

вращается вокруг оси ординат.

Вычислить

объем тела,